第三节 函数的微分3.2 微分的微分的计算计算3.3 微分的应用微分的应用3.1 微分的微分的概念概念边长由3.1 微分的定义微分的定义引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则面积的增量为关于x 的线性主部的高阶无穷小故称为函数在 的微分当 x 在取得增量时,变到其时为定义定义2.3 (81 页页):的微分微分,若函数在点 的增量可表示为( A 为不依赖于x 的常数)则称函数而 称为记作即定理定理2.6: 函数在点 可微的充要条件充要条件是即在点可可微微,1、函数证证: “必要性必要性” 已知在点 可微 ,则故在点 的可导, 且在点 可微的充要条件充要条件是在点 处可导,且即重要结论：证明不作要求证明不作要求“充分性充分性”已知即在点 的可导,则说明说明:时 ,所以时很小时, 有近似公式与是等价无穷小,当故当微分的几何意义微分的几何意义微分的几何意义当 很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分, 记作记3.2 基本初等函数的微分公式与微分运算法则基本初等函数的微分公式与微分运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 则(C 为常数)分别可微 ,的微分为微分形式不变微分形式不变5. 复合函数的微分则复合函数例例1、3.3 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则使用原则:得近似等式:特别当很小时,常用近似公式常用近似公式:很小)证明证明: 令得微分在估计误差中的应用微分在估计误差中的应用某量的精确值为 A , 其近似值为 a ,称为a 的绝对误差绝对误差称为a 的相对误差相对误差若称为测量 A 的绝对误差限绝对误差限称为测量 A 的相对误差限相对误差限误差传递公式误差传递公式 :已知测量误差限为按公式计算 y 值时的误差故 y 的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得 x ,内容小结内容小结1. 微分概念 微分的定义及几何意义 可导可微2. 微分运算法则微分形式不变性 :( u 是自变量或中间变量 )3. 微分的应用近似计算估计误差