2.4 指数与指数函数指数与指数函数1要点梳理要点梳理1.1.根式根式（1 1）根式的概念）根式的概念 如果一个数的如果一个数的n n次方等于次方等于a a（n n1 1且且n nN N* *），那么这），那么这 个数叫做个数叫做a a的的n n次方根次方根. .也就是，若也就是，若x xn n= =a a，则，则x x叫做叫做 _, _,其中其中n n1 1且且n nN N* *. .式子式子 叫做叫做_,_, 这里这里n n叫做叫做_，a a叫做叫做_. _. a a的的n n次方根次方根根式根式根指数根指数被开方数被开方数基础知识基础知识 自主学习自主学习2（2 2）根式的性质）根式的性质 当当n n为奇数时为奇数时, ,正数的正数的n n次方根是一个正数，负数的次方根是一个正数，负数的 n n次方根是一个负数，这时，次方根是一个负数，这时，a a的的n n次方根用符号次方根用符号_ 表示表示. . 当当n n为偶数时，正数的为偶数时，正数的n n次方根有两个，它们互为次方根有两个，它们互为 相反数相反数, ,这时，正数的正的这时，正数的正的n n次方根用符号次方根用符号_表示表示, , 负的负的n n次方根用符号次方根用符号_表示表示. .正负两个正负两个n n次方根次方根 可以合写为可以合写为_（a a0 0）. . =_. =_. a a3当当n n为奇数时，为奇数时， =_; =_;当当n n为偶数时，为偶数时， =_. =_.负数没有偶次方根负数没有偶次方根. . 2.2.有理数指数幂有理数指数幂(1)(1)幂的有关概念幂的有关概念正整数指数幂：正整数指数幂： （n nN N* *）；）；零指数幂：零指数幂：a a0 0=_=_（a a00）；）；负整数指数幂：负整数指数幂：a a- -p p=_=_（a a00，p pN N* *）；）；a a1 14正分数指数幂：正分数指数幂： =_ =_（a a00，m m、n nN N* *， 且且n n11）；）；负分数指数幂：负分数指数幂： = = ( = = (a a0,0,m m、n n N N* *, ,且且n n1).1).00的正分数指数幂等于的正分数指数幂等于_，0 0的负分数指数幂的负分数指数幂 _. _.（2 2）有理数指数幂的性质）有理数指数幂的性质 a ar ra as s= = _(_(a a0,0,r r、s sQ Q);); ( (a ar r) )s s= = _(_(a a0,0,r r、s sQ Q);); ( (abab) )r r= = _(_(a a0,0,b b0,0,r rQ Q). ). a ar r+ +s sa arsrsa ar rb br r0 0没有意义没有意义5基础自测基础自测1.1.已知已知a a 11y y1100y y1100y y11减函数减函数增函数增函数72.2.下列函数中，既是偶函数又在（下列函数中，既是偶函数又在（0 0，+）上单调递）上单调递 增的是增的是 （ ） A. A.y y= =x x3 3 B.B.y y=-=-x x2 2+1+1 C. C.y y=|=|x x|+1 D.|+1 D.y y=2=2-|-|x x| | 解析解析 因为因为y y= =x x3 3是奇函数，从而可排除是奇函数，从而可排除A A，因为函数，因为函数 y y=-=-x x2 2+1+1及及y y=2=2-|-|x x| |在（在（0 0，+）上单调递减，所以排）上单调递减，所以排 除除B B、D. D. C83.3.右图是指数函数（右图是指数函数（1 1）y y= =a ax x，（2 2）y y= =b bx x, ,（3 3）y y= =c cx x, ,（4 4）y y= =d dx x 的图象的图象, ,则则a a，b b，c c，d d与与1 1的大的大 小关系是小关系是 ( ) ( ) A. A.a a b b11c c d d B. B.b b a a11d d c c C.1 C.1a a b b c c d d D. D.a a b b11d d c c 9解析解析 方法一方法一 当指数函数底数大于当指数函数底数大于1 1时，图象上升，时，图象上升，且当底数越大时，在第一象限内，图象越靠近且当底数越大时，在第一象限内，图象越靠近y y轴；轴；当底数大于当底数大于0 0且小于且小于1 1时时, ,图象下降图象下降, ,且在第一象限内且在第一象限内, ,底数越小，图象越靠近底数越小，图象越靠近x x轴轴. .故可知故可知b b a a11d d d d1 1 a a1 1 b b1 1, ,b b a a11d d 00且且a a11 解析解析 a a=2. =2. C12题型一题型一 指数幂的化简与求值指数幂的化简与求值【例例1 1】计算下列各式：计算下列各式：题型分类题型分类 深度剖析深度剖析13 先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算算性质进行计算. .解解 思维启迪思维启迪14 根式运算或根式与指数式混合运算时根式运算或根式与指数式混合运算时, ,将将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果据要求写出结果. .但结果不能同时含有根号和分数指但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数数，也不能既有分母又含有负指数. . 探究提高探究提高15知能迁移知能迁移1 1 16解解17题型二题型二 指数函数的性质指数函数的性质【例例2 2】(12(12分分) )设函数设函数f f( (x x)= )= 为奇函数为奇函数. . 求：求：（1 1）实数）实数a a的值；的值；（2 2）用定义法判断）用定义法判断f f（x x）在其定义域上的单调性）在其定义域上的单调性. . 由由f f（- -x x）=-=-f f（x x）恒成立可解得）恒成立可解得a a的值的值; ; 第第(2)(2)问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可. .思维启迪思维启迪18解解 (1)(1)方法一方法一 依题意，函数依题意，函数f f（x x）的定义域为）的定义域为R R， f f（x x）是奇函数，）是奇函数，f f（- -x x）=-=-f f（x x），）， 2 2分分2(2(a a-1)(2-1)(2x x+1)=0+1)=0，a a=1. 6=1. 6分分方法二方法二 f f( (x x) )是是R R上的奇函数，上的奇函数，f f(0)=0(0)=0，即，即 a a=1. 6=1. 6分分（2 2）由）由(1)(1)知，知， 设设x x1 1 )f f( (x x1 1),),f f( (x x) )在在R R上是增函数上是增函数. 12. 12分分 (1)(1)若若f f( (x x) )在在x x=0=0处有定义处有定义, ,且且f f( (x x) )是奇函是奇函数数, ,则有则有f f(0)=0,(0)=0,即可求得即可求得a a=1.=1.（2 2）由）由x x1 1 x x2 2推得推得 实质上应用了函数实质上应用了函数 f f（x x）=2=2x x在在R R上是单调递增这一性质上是单调递增这一性质. . 探究提高探究提高20知能迁移知能迁移2 2 设设 是定义在是定义在R R上的函数上的函数. .（1 1）f f（x x）可能是奇函数吗？）可能是奇函数吗？（2 2）若）若f f（x x）是偶函数，试研究其单调性）是偶函数，试研究其单调性. . 解解 (1) (1)方法一方法一 假设假设f f( (x x) )是奇函数是奇函数, ,由于定义域为由于定义域为R R, , f f（- -x x）=-=-f f（x x）, ,即即 整理得整理得 即即 即即a a2 2+1=0,+1=0,显然无解显然无解. . f f（x x）不可能是奇函数）不可能是奇函数. . 21方法二方法二 若若f f( (x x) )是是R R上的奇函数，上的奇函数，则则f f(0)=0,(0)=0,即即f f( (x x) )不可能是奇函数不可能是奇函数.(2)(2)因为因为f f( (x x) )是偶函数，所以是偶函数，所以f f(-(-x x)=)=f f( (x x),),即即整理得整理得 又又对任意对任意x xR R都成立，都成立，有有 得得a a=1.=1.当当a a=1=1时，时，f f( (x x)=e)=e- -x x+e+ex x, ,以下讨论其单调性，以下讨论其单调性，任取任取x x1 1, ,x x2 2R R且且x x1 1 x x2 2, , 22当当 f f( (x x1 1)00，即增区间为，即增区间为0,+),0,+),反之反之(-,0(-,0为减区间为减区间. .当当a a=-1=-1时，同理可得时，同理可得f f( (x x) )在（在（-，0 0上是增函数，上是增函数，在在0 0，+）上是减函数）上是减函数. . 23题型三题型三 指数函数的图象及应用指数函数的图象及应用【例例3 3】已知函数已知函数 (1) (1)作出图象；作出图象； (2) (2)由图象指出其单调区间；由图象指出其单调区间； (3) (3)由图象指出当由图象指出当x x取什么值时函数有最值取什么值时函数有最值. . 思维启迪思维启迪 化去绝对值符号化去绝对值符号将函数写成分段函数的形式将函数写成分段函数的形式作图象作图象写出单调区间写出单调区间写出写出x x的取值的取值24解解 （1 1）由已知可得）由已知可得其图象由两部分组成：其图象由两部分组成：一部分是：一部分是： 另一部分是：另一部分是：y y=3=3x x ( (x x0) 0) y y=3=3x x+1+1 ( (x x-1). 0,0,且且a a 1) 1)的图象有两个公共点的图象有两个公共点, ,则则a a的取值范围是的取值范围是_._. 解析解析 数形结合数形结合. . 当当a a11时，如图时，如图,只有一个公共点，不符合题意只有一个公共点，不符合题意. . 当当00a a11时，如图时，如图, ,由图象知由图象知0202a a1,1,271.1.单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的 无限伸展性，当无限伸展性，当00a a111，x x-时时, ,y y0;0;当当a a11时，时， a a的值越大，图象越靠近的值越大，图象越靠近y y轴，递增的速度越快；轴，递增的速度越快； 当当00a a10,0,a a1)1)的图象和性质与的图象和性质与a a的取值的取值 有关，要特别注意区分有关，要特别注意区分a a11与与00a a11,1,b b01,1,b b00 C.0 C.0a a1,00 D.0 D.0a a1,1,b b0 0 30解析解析 由图象得函数是减函数，由图象得函数是减函数，00a a1.0,0,即即b b0.0.从而从而D D正确正确. . 答案答案 D D312.2.已知函数已知函数y y=4=4x x-32-32x x+3,+3,当其值域为当其值域为1,71,7时时, ,x x的取的取 值范围是值范围是 （ ） A.2 A.2，4 B.(-4 B.(-，00 C.(0 C.(0，1212，4 D.(-4 D.(-，0101，22 解析解析 y y=(2=(2x x) )2 2-32-32x x+3+3 2 2x x-1-1，1212，44， x x(-(-，0101，2. 2. D323.3.定义运算：定义运算：a a* *b b= = 如如1*2=1,1*2=1,则函数则函数f f( (x x) ) =2 =2x x *2*2- -x x的值域为的值域为 （ ） A. A.R R B.(0,+) B.(0,+) C.(0 C.(0，1 D.11 D.1，+)+) 解析解析 f f（x x）=2=2x x *2*2- -x x= = f f（x x）在）在(-(-，00上是增函数，上是增函数， 在在(0(0，+)+)上是减函数，上是减函数， 0 01,)1,而而 在（在（1,+)1,+)上上 单调递减，故单调递减，故 在在(-,+)(-,+)上单调递上单调递 减，且无限趋于减，且无限趋于0 0，故无最小值，故无最小值. . A345.5.函数函数 的部分图象大致是如图所的部分图象大致是如图所 示的四个图象中的一个，根据你的判断示的四个图象中的一个，根据你的判断, ,a a可能的取可能的取 值是值是 （ ） A. B. C.2 D.4 A. B. C.2 D.4 35解析解析 函数为偶函数，排除函数为偶函数，排除，又函数值恒为正，又函数值恒为正值，则排除值，则排除，故图象只能是，故图象只能是，再根据图象先增，再根据图象先增 后减的特征可知后减的特征可知2 2a a-31,-31,即即a a2,2,符合条件的只有符合条件的只有D D选选项，故选项，故选D. D. 答案答案 D D36二、填空题二、填空题6.6. 若若f f( (x x)=)=a a- -x x与与g g( (x x)=)=a ax x- -a a ( (a a00且且a a1)1)的图象关于直的图象关于直 线线x x=1=1对称，则对称，则a a=_.=_. 解析解析 g g（x x）上的点）上的点P P（a a，1 1）关于直线）关于直线x x=1=1的对称的对称 点点P P(2-(2-a a,1),1)应在应在f f( (x x)=)=a a- -x x上，上， 1= 1=a aa a-2-2.a a-2=0,-2=0,即即a a=2. =2. 2 2377.7.设函数设函数f f( (x x)=)=a a-|-|x x| | ( (a a00且且a a1),1),若若f f(2)=4(2)=4，则，则f f(-2) (-2) 与与f f(1)(1)的大小关系是的大小关系是_._. 解析解析 由由f f(2)=(2)=a a-2-2=4,=4,解得解得a a= = f f( (x x)=2)=2| |x x| |,f f(-2)=42=(-2)=42=f f(1). (1). f f(-2)(-2)f f(1)(1)388.8.(2009(2009江苏江苏) )已知已知 函数函数f f( (x x)=)=a ax x, ,若实数若实数 m m、n n满足满足f f( (m m)f f( (n n),),则则m m、n n的大小关系为的大小关系为_._. 解析解析 函数函数f f( (x x)=)=a ax x在在R R上是减函数上是减函数. . 又又f f( (m m)f f( (n n),),m m n n. . m m n n39三、解答题三、解答题9.9.已知对任意已知对任意x xR R, ,不等式不等式 恒成恒成 立，求实数立，求实数m m的取值范围的取值范围. . 解解 由题知由题知: :不等式不等式 对对x xR R恒恒 成立，成立， x x2 2+ +x x20+40对对x xR R恒成立恒成立. . = =（m m+1+1）2 2-4-4（m m+4+4）0.0. m m2 2-2-2m m-150.-3-150.-3m m5. 00且且a a1)1)在在x x-1,1-1,1上的上的 最大值为最大值为1414，求，求a a的值的值. . 解解 令令a ax x= =t t,t t00，则，则y y= =t t2 2+2+2t t-1=(-1=(t t+1)+1)2 2-2,-2,其对称轴其对称轴 为为t t=-1.=-1.该二次函数在该二次函数在-1-1，+）上是增函数）上是增函数. . 若若a a11，x x-1-1，1 1，t t= =a ax x 故当故当t t= =a a, ,即即x x=1=1时，时，y ymaxmax= =a a2 2+2+2a a-1=14,-1=14, 解得解得a a=3(=3(a a=-5=-5舍去舍去).).41若若00a a11，x x-1-1，1 1，t t= =a ax x 故当故当t t= = 即即x x=-1=-1时，时，综上可得综上可得a a=3=3或或 4211.11.已知函数已知函数 满足满足 （1 1）求常数）求常数c c的值；的值；（2 2）解不等式）解不等式 解解 （1 1）依题意）依题意00c c1,1,c c2 2 c c, ,43 返回返回 44