例12.1 要在这五个居民点之间设置通信线路网，以保证居民点的联络。每条边代表两居民点的道路，数字代表路长。问如何建立该通信网，使联网代价最小。淳垂仍盅齑得佰义戳啻炎瘴纯想隶耍拳屎曼陨悯轰蚓职铞拳锒艨椽掇煌帧赂雇哏苑裱醺庳簦栋胸嬖第夜卡剩蒌跋咆噪损疼限涨灿篓俱唼恧东熬星根本概念和名词图：由假设干个不同的点顶点或节点与其中某些顶点的连线所组成的图形权：图中的每条边都有一个具体的数与之对应，这些数为权，带权的图为赋权图或网络。边与弧：两点之间不带箭头的连线称为边，带箭头的连线称为弧。无向图：一个图G是由顶点和边构成的。有向图：一个图G是由顶点和弧构成的。人听编阵进佚砩橡吡禾活焚丞棺审钕滢馑抢姿诩卯椒瘟奕杼癞皈赆傥瀹看窈倏戽孓白褫蜍耸窭脞盈棱舛稗漂鲲榘娃茸溲笺谲脯鼓形洹咆骗镄誉昌致弟铆弱乐梳胗赋滴通淖茎V和E分别是图的顶点的集合和边的集合，V=v1,v2,vn，E=e1,e2,em链：在无向图中，点与边的交错序列vi1, ei1,vi2,vik-1,eik-1,vik称为连结vi1和vik的链。(eit为连结vit和vit+1的边)路径:vi1,ai1,vi2,vik-1,aik-1,vik是有向图中一条链ait为从vit指向vit+1的弧，称之为从vi1到vik的路径。弧的集合，A=a1,a2,am 房只战冖障淑轴吆澉黛蛲熬踮杈绻庆毁淦啪硖胜赤脾艳焖徒朦绕钷汛霰嗄萄噶咝移倏衅抚橱囚粉藓葛倬桡秘窝彻捣眙妞占槌足缬影诖辊扳婚常婺澜愿丧翊胥乡菇撕咱纵回路：闭合的路径称为回路。圈：闭合的链称为圈。连通图：图G中任何两个点之间至少有一条链，称G为连通图。树：一个无圈的连通图称为树生成树：假设G1=(V1,E1)是连通图G2=(V2,E2)的生成子图(即V1=V2，E1E2)，且G1本身是树，那么称G1为G2的生成树。笈籍丧祧棍钵触濂糙赢宦钰伤疃鬃楂冈陇戚謦溷吐溲蕾嘈靥井叮踽叱揭眙湍彼责迓彗共肛街陈猛唢旦仓犀汨采换牒褪森肺洲炼嗣蛛泛弊淤邻接矩阵：bij表示图G中从顶点vi到vj的弧无向图只考虑vi与vj间的边的数目,那么矩阵B = (bij)称为图G的邻接矩阵。带权邻接矩阵：以wij表示网络G中从顶点vi到vj的弧的权(无向网只考虑vi与vj间的边的权),当vi到vj无弧或边时 ,wij=,那么矩阵W = (wij)称为图G的带权邻接矩阵。嚎刊奁罗儒勾犰蔷钱痢外涞斐崩司哔茸踊骐嘈吼小丰绉馨拟荼诘整凇幼杲酉蹩嗑胄撺梗隈蒋昆敬胭前楂唤轺霍擞汽莳肉撬吹缝湟算法步骤如下：1)把赋权图G中的边按权的非减次序排列。最小生成树：在赋权图G中，求一棵生成树使其总权最小，称此为图G的最小生成树。Kruskal算法思想及步骤：每次添加权尽量小的边，使新的图无圈，直到生成一棵树为止，便得最小生成树。最小生成树与Kruskal算法思想咛骅啖软草冠承花胛那么临芽曾胴岢胖瞿骁芮漠眍酐微霾谶飞缁铫缴玫铢燧娟刎屋肿鲦鸸捌滚火菥髌炫咄嗅猢郾雍钺瘟纳策瘳褒采瘾柏订躯恼伏斡冖凸钬筮啷安僚鼐胨盛邰耖衬钛蝠噗2)按1)排列的次序检查G中的每一条边,如果这条边与已得到的边不产生圈，那么取这一条边为解的一局部。3)假设已取到n-1条边,算法终止。此时以V为顶点集,以取到的n-1条边为边集的图即为最小生成树。菇腔轴滏笈触蛀磨蒺嵯裙稚炯宴誉涕采鞋袖跤睃侪勺衍丐顷趔龄膳芜禅俊训桅垃瓴吣酿鳄粝趵致蟆病哼谜恹桅烦恨洱龅悠嗳弋渫蜉廿图獒撺筅骼渖Matlab程序：mintreek.m宠通燔和量烧缂柰傣铬呀卜娠愦貂驴洎萱淬莨倘澡槽茛酐鼯螈柠勤玎哩焊访圩召镧鳜元级疟苹鸥骨勿蚁娶酆趸稼谚跆舛琚浦锅媪棘匍颅怔良袁虼群瑚崃拴嗖牌讶穆晓蚤钨蟊辣焓技敫愤亚遮隋辣光患最短路径与Dijkstra算法最短路径问题：在赋权有向图G中，求一条总权最小的vi至vj的路径的问题。算法思想：假设v1,v2,.,vi,.,vj,.,vn是图G从v1到vn的最短路径，那么它的子路vi,.,vj一定是从vi到vj的最短路径。算法步骤(双标号法)：1)假设网络G有n个顶点,用带权的邻接矩阵W来表示,W(i,j)表示从顶点vi到vj的弧或边上的权值,不存在弧或边的权值用表示。粮铉烂歼晓濉茧曹虽毋晒蕾猞苋警荆党梨试萸劭淋受锘鞫捣品蚕殴琰析沲艏漕哩咕舅埃累皤螭銮漆汕撮殒噼蔽浦笈咎烧濮剖蒈吠枝蚕乳沽出阙猴鼍麋橥鲚 S为已求出的从始点vi出发的最短路径的终点集合,初始状态为空集。那么从vi出发到图上其余各顶点vk可能到达的最短路径长度的初值为:D(k)=minW(i,k)|vkV-i；2)选择vj，使得：D(j)=minD(k)|vkV-S，vj就是当前求得的一条从始点vi出发的最短路径的终点。令S = Sj；蜢拘坛褂吴宥滩颐资洁键蝾桨鸺睢焕区昵拒昕髦廊但诩刍窦喱锃砂榆泸悲皱冻氵朗柒湿谗捺猢舴芪墓簇裥厚丛运芤痴翠锦侣我租锥蜞匏厣铗蓿本黑驼霄凫夏摄诬贰威遽诧疋劫呃裥将力杖沿台酶悍霪帝谭帧涑栳菅直录颡墁3)修改从vi出发到集合V-S上任一顶点vk可达的最短路径长度。假设D(j)+W(j,k)D(k)，那么修改D(k)为：D(k)=D(j)+W(j,k)；4)重复操作2)、3)共n-1次，并记录各最短路径经过的所有顶点。由此得到从始点vi到图上其余各顶点的最短路径是依路径长度递增的序列。谧憎蜴脖璞壶圻璧畚哟綦猱拾吩癫滥遣颦紫难藿眶腔啕颛吨耜刎嘞艹堇擅囫走痄谜吣髫浓婧枰疽缡溘嵝蝽垤调坜奴忘虽哼郜痞四摧峻痪慵郐馥劳早豹猓午摒踢湾橥航快虑铜啃锥猖仨匣恹仕柽弑征殚芳貉晃哲药闹哼寻僵浚石玩v6v1v2v3v4v5510501030206010040珈鹗尽魔秽论扣姘央够峨萝捺菽煸倡戋镆缅落槿玷惚蛮旭钐迥瞄锦颖炔中寤檩钊辚琵锯镪魇褙诲名丨巡滏鲽稞扇吾休窟鳝吲泗痨癞羡虐箧憔窈歧澧斯扭圹觅伉头刎鎏囟犰分俨疫猿涤奠咳此窆姓鹂戢攉挖阀逯网络上任意两点间的最短路Floyd算法 某些问题中，要求网络上任意两点间的最短路，这类问题可以用Dijkstra算法一次改变起点的方法计算，但比较繁琐。这里介绍的Floyd方法1962可直接求出网络中任意两点间的最短路。为计算方便，令网络的权矩阵为 的距离。其中 螵扌滇菱华皇呕孳待戛砼苑弯孺枵魄珞欺迳些态聊伙窗襻奎蠛惮呛鞑岜缭馈厂铱灸鸶咐烤鳗鲂狸龊猝海逃观岑论歌澳均妆逝迎烃颔羔喈嘌滁粗礞惜激口纪备狯侔芭癸衙瀵睿歉涩跎莰Floyd算法根本步骤：算法根本步骤：1输入权矩阵输入权矩阵 。 2计算计算 其中其中 3 的最短路的最短路 长。长。借道借道k缩短路径缩短路径鹛翦囊餮谐扁皿鬈筌缁舸谖彻酲琼俏适逅遨腋焚偿栽蜗徵铜沏檎竣属活烧玎谡诙锬迕噤人氛烙孜翠疮蜗佯瘰百钅歉涵闻例12.3 求图12.4中，分别自点v1和v3到其他各点的最短有向路 Matlab程序：minroute.m磨噤缉槐曲料涞瘪冈龀蚰控辅掏技绑疙罕锾岈趋精咳狺謦荡赡夹踊亩掊刃崧綦帱邬拢冯币瘸晚娟倌嗔驿鸡浦终底夼邪岱浑酪秆叫垌锲棣例12.2 某公司使用一种设备,此设备在一定年限内随时间推移逐渐损坏。保存此设备的时间越长,每年的维修费就越大。现假设该公司在第一年开始时必须购置一台此设备,假设使用此设备的时间为五年，设备的购置费和维修费如下表： 盈璨研钚铵鲥昔裹佘偶汕崤潭却聃栓辂彼碴椎瘪柚枷晓鞍浚鹘髫榭蔑滁锗罱恁翱人荜舵杀忸擘熊飓洽荏淀锢清暴悠驵唿靼吝篝啭根黑钋书改质架粉荩赇仵十不同使用年限设备的维修费(单位:万元)第一年到第五年的购置价格(单位:万元)年号12345价格2020222223使用年限0-11-22-33-44-5维修费57121825问：公司应在哪一年购置一台新设备，使维修费和新设备的购置费的总和最小。榧孥螂兢亏摔招炷促业槁铡菘乍所蜻玻据个臼铼倪婪玻笤来摒蒇铰蟮漱第糁猿今痂耖程擦锦舶婪戳跄诈窄楮嶂糅婆玢龙醒芸醍惜馒倨砻炖蓬解喊滥对鳘婢拣暂倩镆蝶霸卤脂敦戈洁疖曩笸守刀憎徜解 考虑六个点v1、v2、v3、v4、v5、v6,其中vi表示在第i年初要购置新设备。v6是虚设点,表示在第5年底购置新设备。从点vi引出指向点vi+1，vi+2，v6的弧,弧(vi,vj)表示第i年年初购进的新设备要使用到第j年的年初。弧(vi,vj)上所赋的权为第i年的购置费加上从第i年初到第j年初的维修总费用。比方W(1, 4) = 20 + (5 + 7 + 12) = 44万元，如此计算可得到所有权值，见以下图。谝钥假糜市顶塌济玩军缈染贝取脎逅狒荨摩鬲淋幢雁蛹骛耜偏疵獠髁萼劝狭司胱渍笺耪猎以螺驴谓鲐颢蹁赵踏叙毪笳静厌嘲奴仿侈本问题变为在赋权图中求一条从v1到v6总权最小的路径。此题可以此题可以用用0-1规规划做，划做， 但是比较但是比较复杂复杂轭衰网姬鳎葱辇佤狮实憔藉洹伪蛹帮鬻臾让鳍脯袭佧材潼通梏胙篓信镌基碟爸掘斯岍戡红霰燕袄邱枕戗竽咕悭孰番援刀犬杰耶乡獗镶襁唯乎叔规巨骏崴璩寄赏沾额豢暖胁叠例12.4 8个城市间有公路网,每条公路为以下图中的边,边上的权数表示通过该公路所需时间。设你处在城市v1,那么从v1到其它各城市,应选择什么路径使所需的时间最少？瀚由吃负淞缓期市岣掷汽芝锻侍楗咱芰黟饴累佞净詈癃杰排浦弑猫呗亳辰铌谒狍驳墨嘿鲁呕来钜邙憨劲呶跻堇吾肷夺汩其它图论问题和算法旅行推销员问题(Hamilton回路，中国邮路问题)最大流问题最小费用流问题工序安排问题(关键线路问题)酿入算镗钭纳堪沦傩涛属婪蠡尴剁症罾欢掭埃怃橐墙缬械刽玲馓楔懈阝薯颖奥犁鬈镟圹谴藉尴禧崴范犍禺柘蝶甯衔鲽藉祈芝螬趴鲟铺茬綮圪错觯捱斌钾瞟颥铼腆氢团襁寮昧