第九章第九章 扭转扭转9- -1 工程实际中的受扭杆工程实际中的受扭杆9- -2 受扭杆的内力受扭杆的内力扭矩扭矩 扭矩图扭矩图9- -3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转9- -4 圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转时的应力与变形9- -5 圆轴扭转时的强度与刚度计算圆轴扭转时的强度与刚度计算2021/6/719- -1 工程实际中的受扭杆工程实际中的受扭杆变形特点：变形特点： . 相邻横截面绕杆的轴线相对转动； . 杆表面的纵向线变成螺旋线； . 实际构件在工作时除发生扭转变形外， 还伴随有弯曲或拉、压等变形。受力特点：受力特点： 一对转向相反、作用在垂直于杆轴线的两个平面内的外力偶。第九章第九章 扭转扭转mm2021/6/72生活中的受扭杆件生活中的受扭杆件2021/6/73工程中的受扭杆件工程中的受扭杆件2021/6/742021/6/752021/6/76 本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工作的情况。第九章第九章 扭转扭转2021/6/779-2 受扭杆的内力受扭杆的内力 扭矩扭矩 扭矩图扭矩图. . 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外力偶在t秒钟内所作功等于外力偶之矩Me乘以轮在t秒钟内的转角a 。第九章第九章 扭转扭转2021/6/78第九章第九章 扭转扭转 因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的转速)和主动轮或从动轮所传递的功率 之后，即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶矩：其中：其中：Nk 功率，千瓦（功率，千瓦（KW） n 转速，转转速，转/分（分（rpm） 因此，外力偶 每秒钟所作功，即该轮所传递的功率为2021/6/79 主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同，而从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。第九章第九章 扭转扭转2021/6/710. 扭矩及扭矩图 传动轴横截面上的扭矩T 可利用截面法来计算。第九章第九章 扭转扭转m m11mm2021/6/711 扭矩的正负可按右手螺旋法则确定：扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。第九章第九章 扭转扭转2021/6/712例例9-1已知：一传动轴，已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入，主动轮输入 NK1=500kW，从动轮输出，从动轮输出 NK2=150kW，NK3=150kW，NK4=200kW，试绘制，试绘制扭矩图。扭矩图。nA B C Dm2 m3 m1 m4解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩2021/6/713nA B C Dm2 m3 m1 m4112233求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设）1-1截面：2-2截面：3-3截面：2021/6/714绘制扭矩图绘制扭矩图BC段为危险截面。段为危险截面。nA B C Dm2 m3 m1 m49.56x4.786.372021/6/715扭矩图简洁画法扭矩图简洁画法扭矩图应与原轴平行对齐画扭矩图应与原轴平行对齐画mADABCmBmCmD(Nm)351702468nM2021/6/716作内力图要求：作内力图要求：1 . 1 . 正确画出内力沿杆轴分正确画出内力沿杆轴分正确画出内力沿杆轴分正确画出内力沿杆轴分布规律布规律布规律布规律mADABCmBmCmD2 . 标明特殊截面的内力标明特殊截面的内力 数值数值4 . 4 . 注明单位注明单位注明单位注明单位3 . 3 . 标明正负号标明正负号标明正负号标明正负号(Nm)351702468nM2021/6/717薄壁圆筒：壁厚薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）为平均半径）1 1、变形现象的观察、变形现象的观察实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；9-3 9-3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转施加一对外力偶施加一对外力偶 m。2021/6/718薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转2021/6/719实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；纵向线变成斜直线。纵向线变成斜直线。结论：结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变， 只是绕轴线作了相对转动。只是绕轴线作了相对转动。 各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。2021/6/7202 2 2 2、横截面上的应力、横截面上的应力、横截面上的应力、横截面上的应力 ： = 0 ， 0 方向：对轴线的矩与扭矩一致。方向：对轴线的矩与扭矩一致。方向：对轴线的矩与扭矩一致。方向：对轴线的矩与扭矩一致。 垂直于计算点所在半径；垂直于计算点所在半径；垂直于计算点所在半径；垂直于计算点所在半径；假设假设假设假设 沿壁厚均匀分布；沿壁厚均匀分布；沿壁厚均匀分布；沿壁厚均匀分布；（为什么？）（为什么？）（为什么？）（为什么？）mnM2021/6/721由由薄壁圆筒横截面上剪应力的计算公式：薄壁圆筒横截面上剪应力的计算公式： ，于是有于是有mmmxr0t dA根据应力分布可知根据应力分布可知2021/6/7223 3、剪应力互等定理：、剪应力互等定理： 上式上式称为剪应力互等定理。称为剪应力互等定理。dxABCD dy z 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，方向共同指向或共同背离两必然成对出现，且数值相等，方向共同指向或共同背离两平面的交线。平面的交线。d2021/6/723dxABCD dy d 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为种应力状态称为纯剪剪应力状态。纯剪剪应力状态。2021/6/7244、剪切虎克定律：、剪切虎克定律： acddxbdy 2021/6/725 剪切虎克定律：剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（时（ p)，剪应力与剪应变成正比关系。，剪应力与剪应变成正比关系。2021/6/726 式中：式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无无量纲，故量纲，故G的量纲与的量纲与 相同，不同材料的相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢值可通过实验确定，钢材的材的G值约为值约为80GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系 可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。就可以推算出来。2021/6/727t2021/6/728作业：作业：9-1，9-2，9-32021/6/7299- -4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件等直圆杆扭转时的应力、强度条件. 横截面上的应力表面变形情况推断横截面的变形情况( (问题的几何方面问题的几何方面) )横截面上应变的变化规律横截面上应力变化规律应力-应变关系( (问题的物理方面问题的物理方面) )内力与应力的关系横截面上应力的计算公式( (问题的静力学方面问题的静力学方面) )第九章第九章 扭转扭转2021/6/730(1). 表面变形情况：(a) 相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和形状未变，小变形情况下它们的间距也未变；(b) 纵向线倾斜了一个角度 。平面假设等直圆杆受扭转时横截面如同刚性平面绕杆的轴线转动，小变形情况下相邻横截面的间距不变。推知：杆的横截面上只有剪应力，且垂直于半径。1 几何方面第九章第九章 扭转扭转2021/6/731（2）.横截面上一点处的剪应变随点的位置的变化规律：即第九章第九章 扭转扭转EAO1Dd DGGO2d/2dxrrbbO1O2d GGDDaadxAErr2021/6/732 可见，在横截面的同一半径 r 的圆周上各点处的剪应变r 均相同；r 与r 成正比，且发生在与半径垂直的平面内。第九章第九章 扭转扭转bbO1O2d GGDDaadxAErr 式中 相对扭转角 沿杆长的变化率，常用 来表示，对于给定的横截面为常量。2021/6/7332 物理方面由剪切胡克定律 t = G 知第九章第九章 扭转扭转 可见，在横截面的同一半径 r 的圆周上各点处的剪应力tr 均相同，其值 与r 成正比，其方向垂直于半径。2021/6/7343 静力学方面其中 称为横截面的极惯性矩Ip，它是横截面的几何性质。从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处剪应力计算公式以 代入上式得：第九章第九章 扭转扭转2021/6/735第九章第九章 扭转扭转横截面周边上各点处 的最大剪应力为式中 称为抗扭截面系数，其单位为 m3。2021/6/736实心圆截面：圆截面的极惯性矩Ip和抗扭截面系数Wp第九章第九章 扭转扭转2021/6/737思考：思考：对于空心圆截面， ,其原因是什么？空心圆截面：第九章第九章 扭转扭转2021/6/738 例题例题9- -2 实心圆截面轴(图a)和空心圆截面轴(图b) （ ）除横截面不同外，其它均相同。试求两种圆轴在横截面上最大剪应力相等的情况下，D2与d1之比以及两轴的重量比。第九章第九章 扭转扭转2021/6/739解：第九章第九章 扭转扭转由t1,max=t2,max，并将a 0.8代入得2021/6/740两轴的重量比即为其横截面面积之比：空心圆轴的自重比实心圆轴轻。实际应用中，尚需考虑加工等因素。第九章第九章 扭转扭转2021/6/741 低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？第九章第九章 扭转扭转.两种典型材料的扭转破坏现象两种典型材料的扭转破坏现象2021/6/742. . 强度条件强度条件此处t为材料的许用剪应力。对于等直圆轴亦即 铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上的剪应力有固定关系，故仍可以剪应力和许用剪应力来表达强度条件。第九章第九章 扭转扭转2021/6/743 例题例题9- -3 图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120 mm，BC段直径d2=100 mm。扭转力偶矩MA =22 kNm，MB =36 kNm，MC =14 kNm，材料的许用剪应力t =80 MPa。试校核该轴的强度。第九章第九章 扭转扭转2021/6/744BC段内AB段内解：解：1. 绘扭矩图 2. 求每段轴的横截面上的最大剪应力第九章第九章 扭转扭转2021/6/7453. 校核强度 需要指出的是，阶梯状圆轴在两段的连接处仍有应力集中现象，在以上计算中对此并未考核。 t2,max t1,max，但有t2,maxt = 80MPa，故该轴满足强度条件。第九章第九章 扭转扭转 2021/6/7469-5 等直圆杆扭转时的变形等直圆杆扭转时的变形刚度条件刚度条件. 扭转时的变形扭转时的变形 等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移) 来度量。第九章第九章 扭转扭转MeADB CMej j 2021/6/747 由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭转角)为 可知，杆的相距 l 的两横截面之间的相对扭转角为第九章第九章 扭转扭转 当等直圆杆相距 l 的两横截面之间，扭矩 及材料的切变模量G为常量时有2021/6/748解：解： 1. 各段轴的横截面上的扭矩：例题例题9- -4 图示钢制实心圆截面轴，已知：M1=1 592 Nm，M2 = 955 Nm，M3 = 637 Nm，lAB = 300 mm，lAC = 500 mm，d = 70 mm ，钢的剪切弹性模量G = 80 GPa。试求横截面C相对于B的扭转角CB(这里相对扭转角的下角标的注法与书上不同，以下亦如此)。第九章第九章 扭转扭转2021/6/7493. 横截面C相对于B的扭转角：2. 各段轴的两个端面间的相对扭转角：第九章第九章 扭转扭转2021/6/750式中的许可单位长度扭转角 的常用单位是()/m。此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：. . 刚度条件刚度条件第九章第九章 扭转扭转对于精密机器的轴 0.150.30 ()/m；对于一般的传动轴 2 ()/m。2021/6/751解解: 1. 按强度条件求所需外直径D 例题例题9-5 由45号 钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比a = 0.5 。已知材料的许用剪应力t = 40 MPa，切变模量G= 80 GPa。轴的横截面上扭矩的最大者为Mnmax = 9.56 kNm，轴的许可单位长度扭转角=0.3 ()/m。试选择轴的直径。第九章第九章 扭转扭转2021/6/7522. 按刚度条件求所需外直径D3. 空心圆截面轴所需外直径为D125.5 mm(由刚度条件控制)，内直径则根据a = d/D = 0.5知第九章第九章 扭转扭转2021/6/753思考： 从图a所示受扭圆杆中取出的分离体如图b所示。根据横截面上剪应力沿直径CD的分布规律，由剪应力互等定理可知径向截面ABCD上沿圆轴的半径方向亦有如图所示分布的剪应力。试问此径向截面上剪应力所构成的合力偶矩是与什么力偶矩平衡的？第九章第九章 扭转扭转2021/6/754作业：作业：9-5，9-10，9-132021/6/755部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！