等差数列等差数列 说课说课数学与应用数学数学与应用数学0808级级1 1班班 陈陈 琼琼 教材分析教材分析 教学法分析教学法分析 教学流程教学流程 一、教材中的地位和作用一、教材中的地位和作用数列是高中数学的重要组成部分数列是高中数学的重要组成部分u有着广泛的实际应用有着广泛的实际应用u 起着承前启后的作用起着承前启后的作用u 数列作为一种特殊的函数与函数思数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分想密不可分二、教学目标二、教学目标知识目标知识目标:u 1）理解并掌握等差数列的概念；）理解并掌握等差数列的概念；u 2）了解等差数列通项公式的推导）了解等差数列通项公式的推导过程及思想；过程及思想； u 3）初步引入）初步引入“数学建模数学建模”的思想的思想方法并能运用。方法并能运用。能力目标：能力目标： 培养学生观察、分析、归纳、推理培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，并通过阶梯性练习，提高的能力，并通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。学生分析问题和解决问题的能力。情感目标：情感目标： 通过对等差数列的研究，培养学生通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。结的良好思维习惯。三、教学重点、难点的分析三、教学重点、难点的分析与突破与突破重点：重点： 等差数列的概念；等差数列的通等差数列的概念；等差数列的通项公式的推导过程及应用。项公式的推导过程及应用。 难点：难点：熟悉不完全归纳法；并习惯用数熟悉不完全归纳法；并习惯用数学思想解决实际问题。学思想解决实际问题。四、教法分析四、教法分析 数学是一门培养人的思维，发数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科，因此，在展人的思维的重要学科，因此，在教学中，要使学生教学中，要使学生“知其然知其然”更要更要“知其所以然知其所以然”，我们要展现获取，我们要展现获取理论知识、解决实际问题的思维过理论知识、解决实际问题的思维过程程 在教学中要特别重视学法的指在教学中要特别重视学法的指导，教会学生掌握学习方法。这节导，教会学生掌握学习方法。这节课在引导分析时，注意留出学生的课在引导分析时，注意留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。的问题弄清。五、学法指导五、学法指导 复习引入复习引入 （一）（一） 数列的概念数列的概念（二）（二）数列的通项公式及求法数列的通项公式及求法 2月月 4月月 6月月 8月月 10月月房价房价(元元)20002300260029003200工资工资(元元) 19001900190019001900 表一表一引例引例: 某地统计局拿来几组有关该地区经济软环境的数据某地统计局拿来几组有关该地区经济软环境的数据, , 请同学们仔细观察，想一想每组数据都有什么规律请同学们仔细观察，想一想每组数据都有什么规律? ? 2001年年2002年年2003年年2004年年2005年年2006年年人口总量人口总量(万人万人)53.6053.4553.3053.1553.0052.85耕地面积耕地面积(万亩万亩)28.4028.7029.0029.3029.6029.90表表 问题问题:能用语言来描述上面四个数列的共同特征吗能用语言来描述上面四个数列的共同特征吗? ? 能用数学符号语言来刻划这一特征吗能用数学符号语言来刻划这一特征吗? ? 从第二项从第二项起，每一项与它前一项的差等于起，每一项与它前一项的差等于同一个常数同一个常数 anan1=d （d是常数，是常数，n2，nN*）新课探究新课探究1、由引入自然的给出等差数列的概念：、由引入自然的给出等差数列的概念： 一般地，如果一个数列从一般地，如果一个数列从第第2 2项起项起，每一项与，每一项与它的前一项的差等于它的前一项的差等于同一个常数同一个常数，那么这个数列，那么这个数列就叫做就叫做等差数列等差数列, ,这个常数叫等差数列的这个常数叫等差数列的公差公差，公，公差通常用字母差通常用字母d d表示。表示。 即即: anan1=d （d是常数，是常数，n2，nN*）特别强调特别强调： “从第二项起从第二项起”满足条件；满足条件； 公差公差d一定是由后项减前项所得；一定是由后项减前项所得； 每一项与它的前一项的差必须是每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调同一个常数（强调“同一个常数同一个常数” ）；）； a1 a2 a3 a4 a5 a653.6053.4553.3053.1553.0052.8528.4028.7029.0029.3029.6029.902000230026002900320019001900190019001900请分别指出上面四个数列的公差请分别指出上面四个数列的公差d d各是各是多少多少? ?2、等差数列的通项公式、等差数列的通项公式 若一等差数列若一等差数列an 的首项是的首项是a1,公差是公差是d,则据其定义可得：则据其定义可得： ua2 - a1 =d 即：即： a2 =a1 +dua3 a2 =d 即：即： a3 =a2 +d = a1+2dua4 a3 =d 即：即： a4 =a3 +d = a1 +3duu猜想猜想a50=？a50=a1 +49d 进而归纳出等差数列的通项公式进而归纳出等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d 这种求通项公式的办法叫这种求通项公式的办法叫不完全不完全归纳法归纳法 a2 a1 =d a3 a2 =d a4 a3 =d an an-1=d 将这（将这（n-1）个等式左右两边分别）个等式左右两边分别相加相加,就可以得到就可以得到 an a1= (n-1) d即即 an= a1+(n-1) d （1） 对一切对一切n N，上面的公式都成立，上面的公式都成立 这种方法即是这种方法即是叠加法叠加法an= a1+(n-1) d n N 等差数列等差数列an的通项公式的通项公式： 在迭加法的证明过程中，采用在迭加法的证明过程中，采用启发式教学方法启发式教学方法 利用等差数列概念启发学生写利用等差数列概念启发学生写出出n-1个等式个等式 a1 a2 a3 a4 a5 a653.6053.4553.3053.1553.0052.8528.4028.7029.0029.3029.6029.902000230026002900320019001900190019001900请分别写出下面四个数列的通项公式请分别写出下面四个数列的通项公式: : an=53.60+(n1)x (-0.15) an an=2000+(n1)x 300 an=1900+(n1)x 0例题讲解：例题讲解：例例1：若一个等差数列若一个等差数列an的首项的首项是，公差是，得出这个数列的是，公差是，得出这个数列的通项公式通项公式例例2：求等差数列求等差数列8，5，2，的第的第20项；第项；第30项；第项；第40项项 例例3： -401是不是等差数列是不是等差数列-5，- 9，-13，的项？如果是，是第几项？的项？如果是，是第几项？ 设计意图：设计意图：巩固等差数列通项公式运巩固等差数列通项公式运用。用。例例4 是一个实际建模问题是一个实际建模问题 2001年年2002年年2003年年2004年年2005年年2006年年人口总量人口总量(万人万人)53.6053.4553.3053.1553.0052.85 如果在一定时间内该地的人口按这样的规律发展下去，请如果在一定时间内该地的人口按这样的规律发展下去，请同学们求出同学们求出20112011年该地人口数量？到第几年该地人口数量会小年该地人口数量？到第几年该地人口数量会小于于5151万？万？ 这道题我采用这道题我采用启发式启发式和和讨论式讨论式相结合的教学方法。启发学生注意相结合的教学方法。启发学生注意每级台阶每级台阶“等高等高”使学生想到每级使学生想到每级台阶离地面的高度构成等差数列，台阶离地面的高度构成等差数列，引导学生将该实际问题转化为数学引导学生将该实际问题转化为数学模型模型-等差数列等差数列 反馈练习反馈练习 小节后的练习中的第小节后的练习中的第1题和第题和第2题题（要求学生在规定时间内完成）目（要求学生在规定时间内完成）目的：使学生熟悉通项公式，对学生的：使学生熟悉通项公式，对学生进行基本技能训练。进行基本技能训练。 归纳小结归纳小结 1.1.等差数列的概念及数学表达式等差数列的概念及数学表达式等差数列的概念及数学表达式等差数列的概念及数学表达式 强调关键字：强调关键字：强调关键字：强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一从第二项开始它的每一项与前一从第二项开始它的每一项与前一从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数项之差都等于同一常数项之差都等于同一常数项之差都等于同一常数 2.2.等差数列的通项公式等差数列的通项公式等差数列的通项公式等差数列的通项公式 an= a1+(n-1) dan= a1+(n-1) d 会知三求一会知三求一会知三求一会知三求一 3 3用用用用“ “数学建模数学建模数学建模数学建模” ”思想方法解决实际问题思想方法解决实际问题思想方法解决实际问题思想方法解决实际问题作业布置：作业布置： 1、课本、课本p114习题第习题第2，6题题 2、等差数列有很多性质，请大等差数列有很多性质，请大家回去后寻找一些实例继续探索家回去后寻找一些实例继续探索 等差数列等差数列1.等差数列等差数列的定义的定义2.等差数列等差数列的通项公式的通项公式 等差数列通等差数列通项公式的推项公式的推导导例例1、2:(写写要点要点)例例3、4:(1)详写详写(2)写关键写关键步骤步骤板书板书设计设计 等差数列的概念等差数列的概念数学与应用数学数学与应用数学0808级级1 1班班 陈陈 琼琼、数列的定义数列的定义一、回顾一、回顾:、数列的通项公式及求法、数列的通项公式及求法； ( (今天我们继续学习数列，请看下面的问题今天我们继续学习数列，请看下面的问题) ) 某地统计局拿来几组有关该地区经济软环境的数据某地统计局拿来几组有关该地区经济软环境的数据, , 请同请同学们仔细观察，想一想每组数据都有什么规律学们仔细观察，想一想每组数据都有什么规律? ? 2001年年2002年年2003年年 2004年年2005年年2006年年人口总量人口总量(万人万人)53.6053.4553.3053.1553.0052.85耕地面积耕地面积(万亩万亩)28.4028.7029.0029.3029.6029.90 2月月 4月月 6月月 8月月 10月月房价房价(元元)20002300260029003200工资工资(元元) 19001900190019001900表表表表二、引例二、引例: a1 a2 a3 a4 a5 a653.6053.4553.3053.1553.0052.8528.4028.7029.0029.3029.6029.902000230026002900320019001900190019001900抛开具体的背景,我们从表格中抽象出下面几个数列: 问题问题:能用语言来描述上面四个数列的共同特征吗能用语言来描述上面四个数列的共同特征吗? ?（通过反例强调，第2项起，同一个常数）从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数 能用数学符号语言来刻划这一特征吗能用数学符号语言来刻划这一特征吗? ? anan1=d （d是常数，是常数，n2，nN*）满足这样特征的数列很多满足这样特征的数列很多, , 取一个什么名字好呢？取一个什么名字好呢？三、等差数列的定义：三、等差数列的定义： 一般地，如果一个数列从一般地，如果一个数列从第第2 2项起项起，每一项与，每一项与它的前一项的差等于它的前一项的差等于同一个常数同一个常数，那么这个数列，那么这个数列就叫做就叫做等差数列等差数列, ,这个常数叫等差数列的这个常数叫等差数列的公差公差，公，公差通常用差通常用字母字母d d表示。表示。 即即: anan1=d （d是常数，是常数，n2，nN*） a1 a2 a3 a4 a5 a653.6053.4553.3053.1553.0052.8528.4028.7029.0029.3029.6029.902000230026002900320019001900190019001900请分别指出上面四个数列的公差请分别指出上面四个数列的公差d d各是多少各是多少? ?0 0 300 300 结合上一节课对一般数列的研究结合上一节课对一般数列的研究, ,想一想一想想, ,我们从哪方面去研究等差数列呢我们从哪方面去研究等差数列呢? ?等差数列的分类等差数列的分类 当当d d0 0时，是递增数列；时，是递增数列； 当当d d0 0时，是递减数列；时，是递减数列； 当当d=0d=0时，时， 是常数列。是常数列。 若一个数列若一个数列 an 是等差数列，它的首项是是等差数列，它的首项是a1 ，公，公差是差是d d , ,那么数列那么数列 an 的通项公式是什么的通项公式是什么? ?思路思路1. 递推、归纳、猜想递推、归纳、猜想根据等差数列的定义可得：根据等差数列的定义可得：a2 - a1 =d a2 - a1 =d 即：即： a2 =a1 +d a2 =a1 +da3 a2 =d a3 a2 =d 即：即： a3 =a2 +d = a1 +2d a3 =a2 +d = a1 +2da4 a3 =d a4 a3 =d 即：即： a4 =a3 +d = a1 +3d a4 =a3 +d = a1 +3d猜想猜想a50=a50=？由此归纳等差数列的通项公式可得：由此归纳等差数列的通项公式可得： a an n = a= a1 1+(n-1)d +(n-1)d a50=a1 +49d a50=a1 +49d 思路思路2. 2. 迭加迭加由定义可得：由定义可得： an - an-1=d an-1- an-2=d an-2- an-3=d a3-a2=d a2-a1=d两边分别相加可得两边分别相加可得: :an - a1=(n-1)d即即 an = a1+(n-1)d （四个量，两个基本量，方程思想，知三求一，数形（四个量，两个基本量，方程思想，知三求一，数形结合加深理解）结合加深理解） a1 a2 a3 a4 a5 a653.6053.4553.3053.1553.0052.8528.4028.7029.0029.3029.6029.902000230026002900320019001900190019001900请分别写出下面四个数列的通项公式请分别写出下面四个数列的通项公式: : an=53.60+(n1)x (-0.15) an an=2000+(n1)x 300 an=1900+(n1)x 0 如果在一定时间内该地的人口按这样的规律发展下去，请如果在一定时间内该地的人口按这样的规律发展下去，请同学们求出同学们求出20112011年该地人口数量？到第几年该地人口数量会小年该地人口数量？到第几年该地人口数量会小于于5151万？万？ 2001年年2002年年2003年年2004年年2005年年2006年年人口总量人口总量(万人万人)53.6053.4553.3053.1553.0052.85再根据表格，研究下面的问题：再根据表格，研究下面的问题： 依题可得 : a1=53.60 , d=-0.15 ,2011年为第11年,即n=11, 所以2011年人口数量是 a11=53.60+(111)x (-0.15)=52.10 (万人) 设第设第n年的人口数量为年的人口数量为an， 则则 an=53.60+(n1)x (-0.15)，由，由an 51 解得解得 n，所以第，所以第14年后即年后即2014年该地总人年该地总人口小于口小于15万万解解:2 2、若一个等差数列若一个等差数列anan的首项是，公差是，得出这个的首项是，公差是，得出这个数列的通项公式数列的通项公式 求等差数列求等差数列8 8，5 5，2 2，的第的第2020项；第项；第3030项；第项；第4040项项 3 3、在等差数列、在等差数列aan n 中，已知中，已知 a a3 3=9 , a=9 , a9 9=3 =3 ，求，求 a a1212 四、练习四、练习: 1 1、-401-401是不是等差数列是不是等差数列 -5 -5 ，-9 -9 ，-13 -13 ，的项？的项？ 如果是，是第几项？如果是，是第几项？ 1 1、 等差数列的概念等差数列的概念，从第从第2 2项起，后一项减去前一项的项起，后一项减去前一项的差是同一常数。差是同一常数。 2 2、等差数列的通项公式、等差数列的通项公式 a an n = a= a1 1+(n-1)d+(n-1)d 知道其中三知道其中三个字母变量，可用列方程的方法，求余下的一个变量。个字母变量，可用列方程的方法，求余下的一个变量。五、小结：五、小结： 3 3、等差数列通项公式、等差数列通项公式a an n 的推导方法的推导方法( (归纳法，迭加法）及归纳法，迭加法）及简单应用。简单应用。六、作业：六、作业：1 1、课本、课本114114页习题第页习题第2 2，6 6题题 2 2、等差数列有很多性质，请大家回去后寻、等差数列有很多性质，请大家回去后寻找一些实例继续探索。找一些实例继续探索。