2.1离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布1 1、随机变量概念的产生、随机变量概念的产生 在实际问题中，随机试验的结果可以用数在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念量来表示，由此就产生了随机变量的概念. 一、随机变量的概念一、随机变量的概念 （1）有些试验结果本身与数值有关（本）有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）身就是一个数）. 例如，掷一颗骰子面上出现的点数；例如，掷一颗骰子面上出现的点数； 七月份郑州的最高温度；七月份郑州的最高温度；每天从郑州下火车的人数；每天从郑州下火车的人数；昆虫的产卵数；昆虫的产卵数；（2）在有些试验中，试验结果看来与数值）在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果各种结果.也就是说，也就是说，把试验结果数值化把试验结果数值化. 正如裁判员在运动正如裁判员在运动场上不叫运动员的场上不叫运动员的名字而叫号码一样，名字而叫号码一样，二者建立了一种对二者建立了一种对应关系应关系. 这种对应关系在数学上理解为定义了一种这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数实值函数.e.X(e)R（1）它随试验结果的不同而取不同的值，）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值而不能预先肯定它将取哪个值.（2）由于试验结果的出现具有一定的概）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率定范围内的值也有一定的概率. 称这种定义在样本空间上的实值函数为称这种定义在样本空间上的实值函数为随随量量机机变变简记为简记为 r.v. 而表示随机变量所取的值而表示随机变量所取的值时时,一般采用小写字母一般采用小写字母x,y,z等等.随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母或希腊字母,等表示等表示 有了随机变量有了随机变量,随机试验中的各种事件，随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来就可以通过随机变量的关系式表达出来. 2、引入随机变量的意义、引入随机变量的意义 如：单位时间内某电话交换台收到的呼如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用叫次数用X表示，它是一个随机变量表示，它是一个随机变量. 事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫 X 1 没有收到呼叫没有收到呼叫 X= 0 3、随机变量的分类、随机变量的分类 通常分为两类：通常分为两类： 如如“取到次品的个数取到次品的个数”， “收到的呼叫数收到的呼叫数”等等.随随机机变变量量离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个所有取值可以逐个一一列举一一列举例如，例如，“电视机的寿命电视机的寿命”，实，实际中常遇到的际中常遇到的“测量误差测量误差”等等.全部可能取值不仅全部可能取值不仅无穷多，而且还不能无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一一列举，而是充满一个区间一个区间. 解：分析解：分析例例1 一一报报童童卖卖报报，每每份份0.15元元，其其成成本本为为0.10元元. 报报馆馆每每天天给给报报童童1000份份报报，并并规规定定他他不不得得把把卖卖不不出出的的报报纸纸退退回回. 设设X为为报报童童每每天天卖卖出出的的报报纸纸份份数数，试试将将报报童童赔赔钱钱这这一一事事件件用随机变量的表达式表示用随机变量的表达式表示.当当 0.15 X1000 0.1时，报童赔钱时，报童赔钱 故故报童赔钱报童赔钱 X 666报童赔钱报童赔钱 卖出的报纸钱不够成本卖出的报纸钱不够成本 设设X是是一一个个离离散散型型随随机机变变量量，它它可可能能取取的值是的值是 x1, x2 , . 为了描述随机变量为了描述随机变量 X ，我们不仅需，我们不仅需要知道随机变量要知道随机变量X的取值，而且还应知道的取值，而且还应知道X取每个值的概率取每个值的概率.这样，我们就掌握了这样，我们就掌握了X这个这个随机变量取值的概率规律随机变量取值的概率规律.从中任取从中任取3 个球个球取到的白球数取到的白球数X是一个随机变量是一个随机变量X可能取的值是可能取的值是0,1,2取每个值的概率为取每个值的概率为例例2且且二、离散型随机变量的分布律二、离散型随机变量的分布律一般地，我们给出如下定义一般地，我们给出如下定义: 定定义义1 ：设设xk(k=1,2, )是是离离散散型型随随机机变变量量X所取的一切可能值，称所取的一切可能值，称 k=1,2, 为为离离散散型型随随机机变变量量X的的概概率率函函数数或或分分布布律律，也称概率分布也称概率分布.其中其中 (k=1,2, ) 满足：满足： k=1,2, （1）（2）用这两条性质判断用这两条性质判断一个函数是否是一个函数是否是概率函数概率函数表示方法表示方法（1）列表法：）列表法：（2）图示法）图示法（3）公式法）公式法再看例再看例2任取任取3 个球个球X为取到的白球数为取到的白球数X可能取的值可能取的值是是0,1,20.10.30.6kPK012X P 举例举例例例3. 某篮球运动员投中篮圈概率是某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求，求他两次独立投篮投中次数他两次独立投篮投中次数X的概率分布的概率分布.解：解： X可取可取0、1、2为值为值 P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01 P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18 P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81 且且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1常常表示为：常常表示为： 这就是这就是X的概率分布的概率分布.例例4. 某某射射手手连连续续向向一一目目标标射射击击，直直到到命命中中为为止止，已已知知他他每每发发命命中中的的概概率率是是p，求求所所需需射射击击发数发数X 的概率函数的概率函数.解解: 显然，显然，X 可能取的值是可能取的值是1,2, ， P(X=1)=P(A1)=p, 为计算为计算 P(X =k )， k = 1,2, ，Ak = 第第k发命中发命中，k =1, 2, ，设设于是于是可见可见这就是求这就是求所需射击发数所需射击发数X的概率函数的概率函数. P(X=1)=P(A1)=p, Ak = 第第k发命中发命中，k =1, 2, ，设设于是于是 若若随随机机变变量量X的的概概率率函函数数如如上上式式，则则称称X具有具有几何分布几何分布. 不难验证不难验证:三、常用的三种离散型随机变量的分布律三、常用的三种离散型随机变量的分布律 1、01分布（两点分布）分布（两点分布）设随机变量设随机变量X只取只取1，0两个值，且对应的概率分别两个值，且对应的概率分别为为p，q(0p1)且且因此因此设设Y表示同一时刻表示同一时刻80台设备中发生故障的设备的台设备中发生故障的设备的台数，则台数，则则设备发生故障不能得到及时维修的概率为则设备发生故障不能得到及时维修的概率为可见用第二方案不但可以少用一人，而且设备发生可见用第二方案不但可以少用一人，而且设备发生故障不能得到及时维修的概率又小，因此第二方案故障不能得到及时维修的概率又小，因此第二方案优于第一方案优于第一方案例例11. 某加油站替公共汽车站代营出租汽车某加油站替公共汽车站代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元元. 因代营业务，每天加油站要多付给职因代营业务，每天加油站要多付给职工服务费工服务费60元元. 设每天出租汽车数设每天出租汽车数 X是一个是一个随机变量，它的概率分布如下：随机变量，它的概率分布如下： 求因代营业务得到的收入大于当天的额外求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率支出费用的概率.分析：加油站代营每出租一辆车，可得分析：加油站代营每出租一辆车，可得3元元.每天出租汽车数为每天出租汽车数为X，因代营业务得到的收入，因代营业务得到的收入为为3 X元元. 每天加油站要多付给职工服务费每天加油站要多付给职工服务费60元，即元，即当天的额外支出费用当天的额外支出费用. 因代营业务得到的收入大于当天的额外因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为：支出费用的概率为：P3X60即即 PX20注意到注意到 也就是说，加油站因代营业务得到的收也就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.PX20=PX=30+PX=40=0.6 对于离散型随机变量，如果知道了它的对于离散型随机变量，如果知道了它的概率函数概率函数,也就知道了该随机变量取值的概率也就知道了该随机变量取值的概率规律规律. 在这个意义上，我们说在这个意义上，我们说 这一讲，我们介绍了离散型随机变量及这一讲，我们介绍了离散型随机变量及其概率分布其概率分布.离散型随机变量由它的概率函数唯一确定离散型随机变量由它的概率函数唯一确定. 以后，我们将向大家介绍另一种类型以后，我们将向大家介绍另一种类型的随机变量的随机变量-连续型随机变量的描述方连续型随机变量的描述方法法.