第第1章章 函数、极限、连续函数、极限、连续第第1节节 集合、映射与函数集合、映射与函数第第2节节 数列的极限数列的极限第第3节节 函数的极限函数的极限第第4节节 无穷小量及无穷大量无穷小量及无穷大量第第5节节 连续函数连续函数2008年10月20日1南京航空航天大学理学院数学系第第4节节 无穷小量及无穷大量无穷小量及无穷大量n4.1 无穷小量及其阶无穷小量及其阶 n4.2 无穷小的等价代换无穷小的等价代换n4.3 无穷大量无穷大量2008年10月20日2南京航空航天大学理学院数学系1.无穷小量无穷小量（1定义定义4.1(无穷小量无穷小量)当当 假设假设时时 , 函数函数则称函数则称函数例如例如 :函数函数 当当时为无穷小时为无穷小;函数函数 时为无穷小时为无穷小;为为时的无穷小量时的无穷小量 .2008年10月20日3南京航空航天大学理学院数学系注意注意1.1.无穷小是以无穷小是以0 0为极限的函数为极限的函数, ,不能与很小的不能与很小的数混淆数混淆; ;例：例：同时无穷小是相对于某变化过程而言同时无穷小是相对于某变化过程而言! 2008年10月20日4南京航空航天大学理学院数学系注意注意2.2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数. .即即 除除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为因为当当时时, 显然显然 C 只能是只能是 0 !CC2008年10月20日5南京航空航天大学理学院数学系（2 2无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系其中其中 为为时的无穷小量时的无穷小量 . 定理定理 4. 1( 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系 )证证: :当当时时, ,有有对自变量的其它对自变量的其它变化过程类似可证变化过程类似可证 .2008年10月20日6南京航空航天大学理学院数学系意义意义1.1.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题( (无穷小无穷小););2008年10月20日7南京航空航天大学理学院数学系（3 3无穷小的运算性质无穷小的运算性质定理定理4.2 4.2 在同一极限过程中在同一极限过程中, ,(1)(1)有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小; ;(3)(3)有极限的函数与无穷小的乘积是无穷小有极限的函数与无穷小的乘积是无穷小. .推论推论 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小. .(2)(2)有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小. .2008年10月20日8南京航空航天大学理学院数学系定理定理4.3 4.3 设设在在x0处局部有界，那么处局部有界，那么定理定理4.34.3常描述为有界函数与无穷小的乘积是无穷小常描述为有界函数与无穷小的乘积是无穷小. .证证从而有从而有由夹逼性由夹逼性,有有都是无穷小都是无穷小.2008年10月20日9南京航空航天大学理学院数学系2. 无穷小的比较无穷小的比较极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢程度不快慢程度不同同.观观察察各各极极限限不可比不可比.2008年10月20日10南京航空航天大学理学院数学系（1 1无穷小的阶无穷小的阶定义定义4.24.22008年10月20日11南京航空航天大学理学院数学系注意注意例例解解例如例如2008年10月20日12南京航空航天大学理学院数学系例例2 证明证明: 当当时时,证证2008年10月20日13南京航空航天大学理学院数学系等价无穷小的刻画等价无穷小的刻画例如例如,2008年10月20日14南京航空航天大学理学院数学系常用的等价无穷小常用的等价无穷小:2008年10月20日15南京航空航天大学理学院数学系（2 2无穷小的等价代换无穷小的等价代换定理定理4.4(4.4(无穷小量的等价代换无穷小量的等价代换) )证证2008年10月20日16南京航空航天大学理学院数学系例例解解不能滥用等价无穷小量代换不能滥用等价无穷小量代换.注意注意 只能对分子分母中的无穷小因子进行代换只能对分子分母中的无穷小因子进行代换. .不能对不能对所求极限表达式中的被加所求极限表达式中的被加, ,被减函数进行代换被减函数进行代换, ,否则否则会产生错误会产生错误. .2008年10月20日17南京航空航天大学理学院数学系例例解解解解错错2008年10月20日18南京航空航天大学理学院数学系3. 无穷大量无穷大量观察：观察：越来越大越来越大越来越大越来越大越来越小越来越小越来越大越来越大越来越大越来越大2008年10月20日19南京航空航天大学理学院数学系定义定义4.3 若任给若任给 M 0 ,一切满足不等式一切满足不等式的的 x , 总有总有则称函数则称函数当当时为无穷大时为无穷大, 使对使对若在定义中将若在定义中将 式改为式改为则记作则记作(正数正数 X ) ,记作记作总存在总存在无穷大无穷大( (量量) )的定义的定义2008年10月20日20南京航空航天大学理学院数学系证证2008年10月20日21南京航空航天大学理学院数学系注意注意1.无穷大量是变量无穷大量是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3. 无穷大量是一种特殊的无界变量无穷大量是一种特殊的无界变量,但是但是无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.2008年10月20日22南京航空航天大学理学院数学系2008年10月20日23南京航空航天大学理学院数学系4.4.无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系假设假设为无穷大为无穷大,为无穷小为无穷小 ;假设假设为无穷小为无穷小, 且且那那么么为无穷大为无穷大.那那么么据此定理据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论无穷小来讨论.定理定理4.5 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中,意义意义:2008年10月20日24南京航空航天大学理学院数学系2008年10月20日27南京航空航天大学理学院数学系 O O记号的含义记号的含义 (P63) (P63) 定义定义2008年10月20日28南京航空航天大学理学院数学系解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷大量与无穷小量的关系由无穷大量与无穷小量的关系,得得例例7 72008年10月20日29南京航空航天大学理学院数学系例例8 8 解解2008年10月20日30南京航空航天大学理学院数学系无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子, ,分母分母, ,以分出无穷小以分出无穷小, ,然后再求极限然后再求极限. .小结2008年10月20日31南京航空航天大学理学院数学系EX.求极限求极限解答解答2008年10月20日33南京航空航天大学理学院数学系极限求法小结极限求法小结:a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d. 变量代换法变量代换法e.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;f.利用无穷小与无穷大的关系求极限利用无穷小与无穷大的关系求极限;g. 利用左右极限求分段函数绝对值函数的极限利用左右极限求分段函数绝对值函数的极限;h. 夹逼性夹逼性;i. 单调有界准则单调有界准则;j. 两个重要极限两个重要极限2008年10月20日34南京航空航天大学理学院数学系