目录 上页 下页 返回 结束 习题课一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法二、有关定积分计算和证明的方法二、有关定积分计算和证明的方法定积分及其相关问题 第五五章 目录 上页 下页 返回 结束 一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法1. 用定积分概念与性质求极限2. 用定积分性质估值3. 与变限积分有关的问题例例1. 求解解: 因为时,所以利用夹逼准则得目录 上页 下页 返回 结束 1) 思考例1下列做法对吗 ?利用积分中值定理不对不对 ! 因为 依赖于且说明说明: 2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 . 如, P270 题7故没理由认为目录 上页 下页 返回 结束 解：解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式已知利用夹逼准则夹逼准则可知(1998考研) 例例2. 求目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: :提示提示: :由上题故目录 上页 下页 返回 结束 练习练习: 1.求极限解：解：原式2. 求极限提示提示：原式左边= 右边目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 估计下列积分值解解: 因为即目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明证证: 令则令得故目录 上页 下页 返回 结束 例例5.设在上是单调递减的连续函数， 试证都有不等式证明证明：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立 .明对于任何目录 上页 下页 返回 结束 例例6.且由方程确定 y 是 x 的函数 , 求解：解：方程两端对 x 求导, 得令 x = 1, 得再对 y 求导, 得故目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求可微函数 f (x) 使满足解解: 等式两边对 x 求导, 得不妨设 f (x)0,则目录 上页 下页 返回 结束 注意 f (0) = 0, 得目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 求多项式 f (x) 使它满足方程解解: 令则代入原方程得两边求导:可见 f (x) 应为二次多项式 ,设代入 式比较同次幂系数 , 得故再求导:目录 上页 下页 返回 结束 二、有关定积分计算和证明的方法二、有关定积分计算和证明的方法1. 熟练掌握定积分计算的常用公式和方法2. 注意特殊形式定积分的计算3. 利用各种积分技巧计算定积分4. 有关定积分命题的证明方法思考思考: 下列作法是否正确?目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 求解解: 令则原式目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 选择一个常数 c , 使解解: 令则因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使即可使原式为 0 .目录 上页 下页 返回 结束 例例11. 设解解: 目录 上页 下页 返回 结束 例例12. 如图, 曲线 C 的方程为解解: 是它的一个拐点, 线, 其交点为(2,4), 设函数f (x)具有三阶连续导数, 计算定积分直线 l1与 l2 分别是曲线C在点(0, 0)与(3, 2)处的切 (2005 考研)043211 2 3 4 xO目录 上页 下页 返回 结束 例例13. 若解解: 令试证 :则目录 上页 下页 返回 结束 因为对右端第二个积分令综上所述目录 上页 下页 返回 结束 例例14. 证明恒等式证证: 令则因此又故所证等式成立 .目录 上页 下页 返回 结束 例例15.试证使分析分析: 即证故作辅助函数至少存在一点即目录 上页 下页 返回 结束 证明证明: 令在上连续,在至少使即因在上连续且不为0 , 从而不变号,因此故所证等式成立 .故由罗尔定理知 ,存在一点目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 本题能否用柯西中值定理证明 ?如果能, 怎样设辅助函数?要证: 提示提示: 设辅助函数 例15 目录 上页 下页 返回 结束 例例16.设函数 f (x) 在a, b 上连续,在(a, b) 内可导, 且 (1) 在(a, b) 内 f (x) 0 ; (2) 在(a, b) 内存在点 , 使 (3) 在(a, b) 内存在与 相异的点 , 使 (2003 考研) 目录 上页 下页 返回 结束 证证: (1) 由 f (x)在a, b上连续, 知 f (a) = 0. 所以f (x) 在(a, b)内单调增, 因此 (2) 设满足柯西中值定理条件, 于是存在 目录 上页 下页 返回 结束 即 (3) 因 在a, 上用拉格朗日中值定理代入(2)中结论得因此得 例16 题目录 上页 下页 返回 结束 例例17. 设证证: 设且试证 :则故 F(x) 单调不减 ,即 成立.目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P269 4 (1) , (2) ; 7 ; 8 (1) ; 10 (2) , (5) ,(9) ; 13第四节