二、数学模型的几种表示方式二、数学模型的几种表示方式数学模型时域模型频域模型方框图和信号流图状态空间模型 1、时间域：微分方程、差分方程、状态方程 2、复数域：传递函数、结构图 3、频率域：频率特性 数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其性量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其性能之间的内在关系。能之间的内在关系。第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型一、数学模型一、数学模型三、建立控制系统数学模型的方法三、建立控制系统数学模型的方法分析法依据系统及各元件的变量之间所分析法依据系统及各元件的变量之间所遵循的物理和化学规律列写出相应的数学遵循的物理和化学规律列写出相应的数学表达式，建立模型。表达式，建立模型。实验法人为地对系统施加某种测试信号，实验法人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。也称系统辨识。行逼近。也称系统辨识。四、分析法建立系统数学模型的步骤四、分析法建立系统数学模型的步骤建立物理模型。建立物理模型。mk系统，系统，RLC电路电路列写原始方程。利用适当的物理定律列写原始方程。利用适当的物理定律如如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等量守恒定律等选定系统的输入量、输出量及状态变量选定系统的输入量、输出量及状态变量仅在建立状态模型时要求），消去中间变仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。模型。一一. 机械系统的微分方程机械系统的微分方程基本定理：基本定理： 牛顿第二定律达朗伯定理）：作用于物体牛顿第二定律达朗伯定理）：作用于物体上的合外力与该物体的惯性力构成平衡力系上的合外力与该物体的惯性力构成平衡力系 表达式为：表达式为：2.1 控制系统的微分方程控制系统的微分方程1.平移运动平移运动 mcxF(t)K mcxF(t)Kx(t)mm-物体质量；c粘性阻尼K弹簧刚度x物体运动的位移F(t)物体受外力2.旋转运动旋转运动 JTKJfJ JT 回转粘性阻尼系数； T外力矩扭矩） 扭转弹簧刚度； 转角 J 构件转动惯量根据回转运动力矩平衡方程可得：KJ二二.电气系统微分方程电气系统微分方程1.基本原理：基尔霍夫定律，欧姆定律及电磁感基本原理：基尔霍夫定律，欧姆定律及电磁感应定律应定律 (1) 电流定律电流定律 （节点处）（节点处） （2电压定律电压定律 （闭合回路）（闭合回路）2. 电气系统基本参数电气系统基本参数 R L C 电阻电阻 电感电感 电容电容 1. 以Ui(t)为输入电压，U0(t)为输出电压，列写系统微分方程 消去i1,i2, i 等中间变量可得到：无源网络无源网络R1R2CUi(t)U0(t)i1(t)i2(t) i (t) 将上式代入将上式代入4式可得到只含有输入、输出的微分方程：式可得到只含有输入、输出的微分方程：上式可写成如下形式：上式可写成如下形式：2. 如图所示如图所示Ui(t)为输入电压，为输入电压，U0(t)为输出电压，为输出电压，K为为运算放大器的开环放大倍数，列写系统微分方程运算放大器的开环放大倍数，列写系统微分方程有源网络有源网络对于运算放大器一般对于运算放大器一般来说来说A A点的电位为点的电位为0 0（虚短）（虚短）由于运算放大器的由于运算放大器的K K值很大：可看作值很大：可看作K K断开，断开，A A与与B B连接。（虚断）连接。（虚断）因而有：因而有：+ABC Ui(t) Ri1(t)i2(t)U0(t)K 由于UA(t)近似为0，则有：+ABC Ui(t) Ri1(t)i2(t)U0(t)K 实例：试证明如图 (a)、(b)所示的机械、电气系统是相似系统(即两系统具有相同的数学模型)。 对电气网络(b)，列写电路方程如下： 解： 对机械网络：输入为Xr，输出为Xc，根据力平衡，可列出其运动方程式 化简得：利用、求出 代入并将两边微分得机械系统机械系统电气系统电气系统力-电压相似机系统a和电系统b具有相同的数学模型，故这些物理系统为相似系统。（即电系统为机系统的等效网络）相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。为我们利用简单易实现的系统如电的系统去研究机械系统.因为一般来说，电的或电子的系统更容易，通过试验进行研究。机械阻尼 B1阻尼B2弹性系数K1弹性系数K2电气电阻R1电阻R21/C11/C2系统最基本的数学模型是它的微分方程式。系统最基本的数学模型是它的微分方程式。建立微分方程的步骤如下：建立微分方程的步骤如下： 确定系统的输入量和输出量确定系统的输入量和输出量 将系统划分为若干环节，从输入端开始，每个将系统划分为若干环节，从输入端开始，每个环节可考虑列写一个方程，依据各变量所遵循的物环节可考虑列写一个方程，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节的原始方程并线性化将非理学定律，列出各环节的原始方程并线性化将非线性函数展开成泰勒级数，然后略去高于一次的小线性函数展开成泰勒级数，然后略去高于一次的小增量项，工作点处导数或偏导数必须存在）。增量项，工作点处导数或偏导数必须存在）。 消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式。微分方程式。M1 M2K1C1C2x1(t)X2(t)f(t)K1K2CXi(t)Xo(t)UoUiRCL(1)(2)(3)(4)作业： 1.拉普拉斯变换意义： 对于前面所建立的微分方程进行求解，可以得出系统的输入量和输出量间的关系。但对微分方程的求解很复杂，尤其是高阶系统微分方程及复杂系统的求解更困难，因此为分析研究系统的动态性能，寻找一种简单可行的方法来求解系统微分方程。对于线性系统采用拉氏变换的方法将微分方程化为代数方程使求解大为简化。2.2 拉普拉斯变换与反变换拉普拉斯变换与反变换1. 1. 拉氏变换定义拉氏变换定义 设函数设函数f(t)f(t)满足满足 t0 t0时时 f(t)=0 f(t)=0 t0 t0时，时，f(t)f(t)分段连续分段连续 则则f(t)f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作的拉氏变换存在，其表达式记作 f(t)f(t)为原函数，为原函数， F(s) F(s)为象函数为象函数 一一. .拉氏变换的定义及典型函数拉氏变换的定义及典型函数2. 典型函数及其拉氏变换：典型函数及其拉氏变换：（1单位阶跃函数单位阶跃函数 （2单位脉冲函数单位脉冲函数 （3单位斜坡函数单位斜坡函数对脉冲函数有性质（通过分部积分可得）tf(t)1单位阶跃函数t (t)tf(t)t(4) 单位加速度函数 （5指数函数 （6正弦函数和余弦函数 应应用欧拉公式：用欧拉公式： tf(t)单位加速度函数tf(t)指数函数1（7幂函数求下列函数的拉氏变换 二二. . 拉氏变换的性质拉氏变换的性质线性定理线性定理 位移定理位移定理 延时定理延时定理函数如图所示求其拉氏变换函数eg 1. tf(t)a1/Ttf(t)a1/T-1/T（2） 对处理后的函数应用定理线性定理和延时定理）（1应用定义式求解方法：求解方法：eg 2. 知 求其拉氏变换F(S) 终值定理终值定理初值定理初值定理 微分定理微分定理 积分定理积分定理相似定理相似定理三三. .拉氏反变换拉氏反变换 拉氏反变换是指将象函数变换到与其对应的原函数拉氏反变换是指将象函数变换到与其对应的原函数f(t)f(t)的过程。的过程。记为：记为： 1.1.基本方法：基本方法：定义法；定义法； 查表法；查表法； 部分分式法部分分式法 定义式其中 查表法利用拉氏变换表查得相应的f(t)部分分式法 先将一个复杂的象函数F(S)变换成为数个简单的标准形式象函数之和，然后通过查表，分别查出各个的原函数，其和即为所求。 F(s)化成下列因式分解形式：式中 根据F(S)中分母根的不同情况进行讨论已知象函数F(s)且可表示为简单的标准形式象函数之和 Case 1.Case 1.F(s)F(s)中具有不同根时，可展开为中具有不同根时，可展开为eg 1. 解： Case 2.F(s)Case 2.F(s)含有多重极点时，可展开为含有多重极点时，可展开为 不重根系数K2KN可按case 1的情况求解，而K11K1r求解如下： eg 2. 解： Case 3. F(s) 分母中含有共轭复根情况：分母中含有共轭复根情况：上式中p1、p2为共轭复根，则有 （1 1将上式两边实部和虚部分别相等可解得将上式两边实部和虚部分别相等可解得k1,k2k1,k2（2 2用不重根情况求解复系数用不重根情况求解复系数解决方案：eg. 解法一： 解法二： 四用拉氏变换解常系数微分方程四用拉氏变换解常系数微分方程 eg . 已知方程，其中 利用拉氏变换解常系数微分方程。对方程取拉氏变换： 解： 作业2： （2）（3） 2.1 、 2.3 、 求下列象函数的原函数（1） 2.3 2.3 系统传递函数的概念系统传递函数的概念及基本环节的传递函数及基本环节的传递函数 传递函数的引入：传递函数的引入： 对于控制系统如果能求解系统的微分方程则可以对于控制系统如果能求解系统的微分方程则可以准确地描述系统的动态性能，但对于改善系统的动态准确地描述系统的动态性能，但对于改善系统的动态品质有一定的困难由于不知道各变量间的关系），品质有一定的困难由于不知道各变量间的关系），为能够直观明了地表示系统各变量间的关系，于是引为能够直观明了地表示系统各变量间的关系，于是引入传递函数。入传递函数。 传递函数是建立在拉氏变换的基础之上，用它描传递函数是建立在拉氏变换的基础之上，用它描述系统免去求解微分方程的麻烦，间接地分析系统结述系统免去求解微分方程的麻烦，间接地分析系统结构参数与性能的关系，找出改善系统品质的方法。构参数与性能的关系，找出改善系统品质的方法。 1.系统传递函数的定义：系统传递函数的定义： 当零初始条件时，线性定常系统的输出量的拉氏当零初始条件时，线性定常系统的输出量的拉氏变换变换C(s)与引起该输出的输入量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换R(s)的的之比。之比。记为：记为：零初始条件：零初始条件： t0时，输入量及其各阶导数均为时，输入量及其各阶导数均为0； 输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即状态，即t 0时，输出量及其各阶导数也均为时，输出量及其各阶导数也均为0。 式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，ai和bi是与系统结构和参数有关的常系数。设r(t)和c(t)及其各阶导数在t=0是的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令C(s)Lc(t)，R(s)=Lr(t)，可得s的代数方程为：于是，由定义得系统传递函数为： 设线性定常系统由下述设线性定常系统由下述n n阶线性常微分方程描述：阶线性常微分方程描述： 例：求如图所示机械系统与电路系统的传递函数。例：求如图所示机械系统与电路系统的传递函数。解： -机械系统传递函数-电系统的传递函数电系统的传递函数2. 2. 传递函数的性质结论）传递函数的性质结论）传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性。即以系统外部输入输出特性来描述系统的内部特性。有特性。即以系统外部输入输出特性来描述系统的内部特性。它不说明所描述系统的物理结构因为许多不同的物理系统具它不说明所描述系统的物理结构因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数有完全相同的传递函数) )传递函数是复数传递函数是复数S S域中的系统数学模型，其参数仅取决于系统域中的系统数学模型，其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。 传递函数只适用于线性定常系统。若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数决定，这一输若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数决定，这一输出与系统在输入作用前的初始状态无关。即传递函数表征了系出与系统在输入作用前的初始状态无关。即传递函数表征了系统内在的固有动态特性。统内在的固有动态特性。3.3.与系统传递函数有关的概念与系统传递函数有关的概念 (1)(1)系统的特征方程：传递函数中分母为系统的特征方程：传递函数中分母为0 0的方程。的方程。(2) (2) 极点：传递函数分母为极点：传递函数分母为0 0的根。即的根。即 p1,-p2p1,-p2pn pn (3) (3) 零点：传递函数中分子为零点：传递函数中分子为0 0的根。即的根。即B(s)=0B(s)=0的解的解(4) (4) 系统的阶次：传递函数分母多项式中系统的阶次：传递函数分母多项式中s s的最高次幂称为系的最高次幂称为系统的阶次。统的阶次。 特征方程：极点：s=-1 零点：-2,-1 系统阶次：3 例：二二 典型环节传递函数典型环节传递函数1比例比例环节环节 系系统统的的输输出量与出量与输输入量成正比的入量成正比的环节环节称称为为比例比例环节环节。如：如：电电子放大器的放大倍数，子放大器的放大倍数，齿轮传动齿轮传动的的传动传动比，在平衡状比，在平衡状态态下杠杆两端所受的力等下杠杆两端所受的力等 其传递函数为 2 2惯性环节惯性环节 系统微分方程可表达为：系统微分方程可表达为： 经经拉氏拉氏变换变换后其后其传递传递函数函数为为 如RC电路，弹簧阻尼系统任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的T -时间常数Kf r(t)c(t) RC 电路传递函数：弹簧阻尼系统传递函数：3 3 微分环节微分环节系统的输出正比于系统输入微分的环节称为微分环节。系统的输出正比于系统输入微分的环节称为微分环节。传递函数为 eg: 液压缸的流量q(t)和活塞位移x(t)间的关系 传递函数为 4 积积分分环节环节系系统统的的输输出正比于出正比于输输入入积积分的分的环节环节称称为积为积分分环节环节。 传递函数 eg: 电容两端的电压与电流的关系 传递函数 5 振振荡环节荡环节 系统中含有两种储能元件，而且该两种储能元件能量可以相互系统中含有两种储能元件，而且该两种储能元件能量可以相互转换。如动能与势能，电能与磁能。转换。如动能与势能，电能与磁能。 传递函数为： eg 1：质质量量弹弹簧阻尼系簧阻尼系统统，其系，其系统统加入外力加入外力为输为输入入x(t)，质质量量块块位移位移为输为输出出y(t)，其，其输输入和入和输输出之出之间间的关系可以表示的关系可以表示为为 系统固有频率 系统阻尼比 Mx(t)y(t)kf6 二二阶阶微分微分如果系统的微分方程可表示为：如果系统的微分方程可表示为： 其传递函数为： 7 一一阶阶微分微分 若系统传递函数为若系统传递函数为 则则称其为一阶微分称其为一阶微分 8延延时环节时环节 若系统的输入和输出间存在关系若系统的输入和输出间存在关系 其传递函数为：其传递函数为： 各环节比较： 惯性环节： 一阶微分 积分环节 微分环节 振荡环节 二阶微分 作业3： 2-6 (a,d,g) 2-82.4 控制系统框图及其简化采用框图的优点： 将各环节联接起来容易构成一个系统； 通过系统框图，可以评价各环节对系统的影响； 各环节组成系统框图，可以进一步将系统框图进行简化，从而写出整个系统传递函数。 一、框图单元、比较点、引出点一、框图单元、比较点、引出点框图单元：中间的框为环节传递函数，箭头的线为信号线，其中指向方框的为流入信号，从方框指出的线为流出信号；信号线上的表达式为信号 G(s)R ( s )C ( s )框图单元框图单元 比较点：比较点： 两个相比较的信号一定具有相同的量纲两个相比较的信号一定具有相同的量纲 引出点： 从同一点引出的信号在大小和性质上完全相同 注意问题：注意问题：+(+)R( s)E( s)B( s) 比较点比较点A引出点引出点二、系统构成方式及运算法则二、系统构成方式及运算法则 基本连接方式：串联、并联、反馈连接1串联连接：各环节传递函数顺序连接称为 推广到n 个环节，则串联系统传递函数为n个环节传递函数的积 X ( s)Y1(s)Y ( s)G2(s)G1(s)2并联连接：各环节传递函数具有共同的输入,输出相加或相减的连接方式称为并联连接 G1(s) G2(s) (-)X (s ) Y ( s) Y2(s) Y1(s)结论：并联环节的等效传递函数等于 所有并联环节传递函数的代数和或差。3.反馈连接：指将系统或某一环节的输出量，全部或部分地通 过反馈回路重新输入到系统中去。 概念介绍：概念介绍： X(s) 输入信号； Y(s) 输出信号； X1(s) 反馈信号； E(s) 偏差信号闭环系统、闭环系统传递函数正反馈：若反馈信号与输入信号相同则为正反馈信号都正或都负）负反馈：反馈信号与输入信号方向相反则为负反馈。各信号间关系： X ( s) Y(s)E (s )X1(s) H (s) G (s) 输出信号与偏差信号的比 G(s)，前向传递函数 由式推导得 主反馈信号与输出信号的 比H(s)，称为反馈传递函数 若H(s)=1则称为单位反馈传递函数。 上式信号中消去X(s)和Y(s)得到的信号比为： 闭环系统中主反馈信号与偏差信号之比G(s)H(s)，开环传递函数Open-loop Transfer Function ）： 消去X1(s)和Y(s)有 偏差信号与输入信号比称为误差传递函数 消去X1(s)和E(s) 在闭环系统中，系统输出与输入拉氏变换的比称为闭环传递函数Closed-loop Transfer Function） 闭环传递函数： 正反馈闭环传递函数：负反馈闭环传递函数： 三、干扰信号作用下的闭环系统三、干扰信号作用下的闭环系统 产生干扰信号的来源有：系统中参数的变化，输入误差，电气噪声，电压波动等等 对于线性系统而言，输入量和干扰量对系统的输出可进行线性叠加，分别计算 (1) 输入信号(即输入为X(s)作用下的系统输出为Y1(s) (N(s)=0) X (s)Y (s )E (s )X1(s)H (s )G1(s)G2(s)N (s )断开(2) 系统在干扰信号(即输入为N(s)作用下系统输出为Y2(s) (X(s)=0)干扰信号和输入信号共同作用下系统的总输出为干扰信号和输入信号共同作用下系统的总输出为Y(s)Y(s)Y2(s)X1(s)H (s )G1(s)G2(s)N (s)1E (s) 四、方框图的变换及简化四、方框图的变换及简化 1变换的原则及对象原则：（原则：（1 1前向通路的传递函数保持不变前向通路的传递函数保持不变 (2) (2) 各反馈回路的传递函数保持不变各反馈回路的传递函数保持不变对象：比较点、引出点对象：比较点、引出点 信号流向：指沿着信号线的流向，信号先流过的点称为信号流向：指沿着信号线的流向，信号先流过的点称为向前，信号后流过的点称为向后向前，信号后流过的点称为向后 2比较点、引出点变换方法 比较点移动示意图 左分支点移动示意图 右解：这是一个具有交叉反馈的多回路系统，如果不对它作适当的解：这是一个具有交叉反馈的多回路系统，如果不对它作适当的变换，就难以应用串联、并联和反馈连接的等效变换公式进行化变换，就难以应用串联、并联和反馈连接的等效变换公式进行化简。本题的求解方法是把图中的点简。本题的求解方法是把图中的点A先后移至先后移至B点，然后从内环点，然后从内环到外环逐步化简，其简化过程如下图。到外环逐步化简，其简化过程如下图。Eg1: Eg1: 用方块图的等效法则，求如图所示系统的传递函数用方块图的等效法则，求如图所示系统的传递函数 G1 G2 G3 G4 G6AB G5 G7+X (s)Y (s)G7G1G2BG5G7+X(s)Y(s)1/G4G8G1G7+X(s)Y(s)G9 G10X(s)Y(s)G1G2G3G4G6ABG5+X(s)Y(s)1/ G4Eg2: Eg2: 用方块图的等效法则，求如图所示系统用方块图的等效法则，求如图所示系统 的传递函数的传递函数 C(s)/ R(s) C(s)/ R(s)解：这是一个具有交叉反馈的多回路系统，如果不对它作适当的变换，就难以应用串联、并联和反馈连接的等效变换公式进行化简。本题的求解方法是把图中的点A先前移至B点，化简后，再后移至C点，然后从内环到外环逐步化简，其简化过程如下图。+ 反馈公式 串联和并联本章小结：本章小结：建立系统数学模型即列写微分方程）建立系统数学模型即列写微分方程）拉氏变换及反变换拉氏变换及反变换系统传递函数求解及传递函数有关的概念系统传递函数求解及传递函数有关的概念框图简化法求传递函数比较点、引出点移动）框图简化法求传递函数比较点、引出点移动）