上上下下预备知识一、区间与邻域概念一、区间与邻域概念二、函数（两要素、二、函数（两要素、4种特性、运算）种特性、运算）三、基本初等函数（三、基本初等函数（16个）个）四、初等函数：四、初等函数：基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成且可有一个式子表达的函数1.幂函数2.指数函数3.对数函数4.三角函数5.反三角函数特：特： y=ex特：特： y=lnx特：特： y=C（常数）（常数）请参考请参考第第1节内容节内容1第2节 数列的极限一、数列极限定义二、收敛数列的性质 第一章第一章 函数与极限函数与极限3上上下下一、一、数列极限定义v 数列：数列：如果按照某一法则，对每一个如果按照某一法则，对每一个 ,对应着对应着一个确定的实数一个确定的实数 ，这些实数，这些实数 按照下标按照下标n从小从小到大排列得到的一个序列到大排列得到的一个序列就叫数列，记为就叫数列，记为 . 可视可视 为一种定义域为正整数的函数；为一种定义域为正整数的函数；数列的两种几何表示：数列的两种几何表示：在直线上：在直线上：在平面上：在平面上：1243756数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.4上上下下播放播放问题问题:当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?5上上下下通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题: :“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么? ?如何用数学语如何用数学语言刻画它言刻画它. .分析分析: : 我们用这两个数差的绝对值来表示我们用这两个数差的绝对值来表示两点的两点的距离距离；用绝对值可以任意小来描述；用绝对值可以任意小来描述“无限无限接近接近”。直观印象直观印象: 若当若当n 无限增大时无限增大时, , xn无限接近于某无限接近于某一确定的数值一确定的数值 a，就称，就称当当n， xn 的的极限为极限为a. .6上上下下| |xn- -a| |要多小有多小要多小有多小以下说法是等价的以下说法是等价的：xn无限接近数值无限接近数值 a点点xn 与点与点a距离要多近有多近距离要多近有多近？即：要使即：要使| |xn- -a| | ，只需，只需n？7上上下下数列与固定常数数列与固定常数1 1的距离的距离8上上下下9上上下下如果数列没有极限如果数列没有极限, ,就说数列是就说数列是发散发散的的. .注意：注意：数列极限定义数列极限定义: : 对于任意给定的正数对于任意给定的正数 ( (不论它多么小不论它多么小),),总存在总存在 正整数正整数 , ,使得当使得当 时时 , ,不等式不等式都成立都成立, ,那么就称常数那么就称常数 是数列是数列 的的极限极限, ,或者称数列或者称数列收敛于收敛于 , ,记为记为 或或设设 为一数列，如果存在常数为一数列，如果存在常数 ，1.1.不等式不等式 刻画了刻画了xn 和和a 的的“无限接近无限接近”，2.2. 必须是必须是可以任意小可以任意小的，不能只是局限于某些个别的；的，不能只是局限于某些个别的；2.2. 与与 有关，有关， 通常随着通常随着 的不同而变化；的不同而变化；3.3. 但对于固定的但对于固定的 ， 又是不唯一的！又是不唯一的！3.3. 刻画了变标刻画了变标 的变化程度，的变化程度， 与与 无关！无关！10上上下下几何解释几何解释: :. .符号定义符号定义: :任意给定任意给定存在存在冰冷的美丽和火热的思考.11上上下下数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法. .例例1.证证:所以所以, ,注意：注意：12上上下下例例2. 已知已知证明证证:欲使只要即取则当时, 就有故故也可取N 与 有关, 但不唯一.不一定取最小的 N .说明说明: 小小 结结: 用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时, ,关键是任意给定关键是任意给定 寻找相应的寻找相应的N ；但不必要求最小的；但不必要求最小的N. . 13上上下下例例3. 设设证明等比数列证证:欲使只要即亦即因此 , 取, 则当 n N 时, 就有故的极限为 0 . 14上上下下二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质1.1.唯一性唯一性【定理【定理1 1】 收敛的数列极限唯一收敛的数列极限唯一. .证：证：由定义由定义, ,矛盾矛盾. .故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一. .15上上下下二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质2.2.有界性有界性【定理【定理2 2】 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证：证：由定义由定义, ,注意注意：有界是数列收敛的有界是数列收敛的必要条件必要条件. .逆否命题？逆否命题？ 推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .此性质反过来不一定成立 .虽有界但不收敛 .16上上下下二二、收敛数列的性质、收敛数列的性质3.3.保号性保号性【定理【定理3 3】如果如果 且且 ( (或或 ) )，那么存，那么存在正整数在正整数 ，当，当 时，都有时，都有 ( (或或 ) ) . .证明：设由数列极限的定义，对存在正整数当 时有或即17上上下下二二、收敛数列的性质、收敛数列的性质3.3.保号性保号性【推论】【推论】如果数列如果数列 从某项起有从某项起有 ( (或或 ) ) ，且且 那么那么 ( (或或 ) )【定理【定理3 3】如果如果 且且 ( (或或 ) )，那么存，那么存在正整数在正整数 ，当，当 时，都有时，都有 ( (或或 ) ) . .证明：不妨设 时，用反证法若由定理3知存在N2，当 时， 有取当 时即有矛盾.又有故必有18上上下下二二、收敛数列的性质、收敛数列的性质4.4.与子列的关系与子列的关系【子数列定义】【子数列定义】 在一个数列中任意抽取无限多项，并保在一个数列中任意抽取无限多项，并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列的一个为原数列的一个子数列子数列，简称子列，简称子列. .如数列的几个子列为：如数列的几个子列为：一般地子列可写为：一般地子列可写为：注意：注意：是子列的第是子列的第项，是原数列的第项，是原数列的第n项项19上上下下*20上上下下例例4二二、收敛数列的性质、收敛数列的性质4.4.与子列的关系与子列的关系【定理【定理4 4】 每个收敛数列的子数列也收敛，且极限相同。每个收敛数列的子数列也收敛，且极限相同。证略：证略：逆否命题？逆否命题？证明：证明：即两个子列极限不同，即两个子列极限不同， 故原数列是发散的；故原数列是发散的；21上上下下本次课小结本次课小结一、数列极限一、数列极限: :唯一性唯一性有界性有界性 定义定义: :几何意义几何意义: :二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质保号性保号性与子列的关系与子列的关系22作业：P30 1预习预习：3 函数的极限函数的极限23上上下下*证证: 设数列是数列的任一子数列 .若则当 时, 有现取正整数 K , 使于是当时, 有从而有由此证明 *24上上下下例例如如,趋势不定收 敛发 散39上上下下所以所以,说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.例例例例 证：证：40上上下下1.1.割圆术割圆术: :如何求圆的周长？如何求圆的周长？如何用圆的半径如何用圆的半径来表示圆的周长？来表示圆的周长？数列的极限（问题的引入）：数列的极限（问题的引入）：41上上下下 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣不可割，则与圆周合体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽42上上下下用正用正6 6n多边形的周长去逼近圆的周长多边形的周长去逼近圆的周长解决办法：解决办法：43上上下下问题的引入：问题的引入：庄子天下篇中记载：一庄子天下篇中记载：一尺之棰，日取其半，万尺之棰，日取其半，万世不竭。世不竭。短木棍初始长度为：短木棍初始长度为：1 12 2、截丈问题：、截丈问题：第第n天剩的长度为：天剩的长度为：得到了数列得到了数列: :当当n 越来越大时越来越大时, ,棰越来越短棰越来越短, ,逐渐趋于逐渐趋于0.0.44上上下下 通过这两个例子我们可以看出，正通过这两个例子我们可以看出，正n边边形周长数列、剩余长度数列，它们的形周长数列、剩余长度数列，它们的共同点共同点是：在数列的项数是：在数列的项数n不断增大的过程中，数不断增大的过程中，数列的变化趋势都是逐渐向一个常数靠近（即列的变化趋势都是逐渐向一个常数靠近（即趋于一个常数）。这类数列是我们感兴趣的。趋于一个常数）。这类数列是我们感兴趣的。45