2. 2. 正项级数及其审敛正项级数及其审敛电气学院学习部资料库定理定理1.(1.(正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件):):即正项级数的部分和数列是一个单调递增数列即正项级数的部分和数列是一个单调递增数列, ,从而有从而有一一. . 正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件电气学院学习部资料库证明证明: :即部分和数列有界即部分和数列有界.定理定理2(2(比较判别法比较判别法) )二二. . 比较审敛法比较审敛法电气学院学习部资料库注注: :2.2.比较审敛法的不便比较审敛法的不便: : 须有参考级数须有参考级数. . 电气学院学习部资料库解解: :由图可知由图可知电气学院学习部资料库重要参考级数重要参考级数: : 几何级数几何级数, P-, P-级数级数, , 调和级数调和级数. .推论推论: :电气学院学习部资料库定理定理2(2(比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式) )电气学院学习部资料库证明证明:由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论, , 得证得证. .(2)(2)和和(3)(3)可类似证明可类似证明( (略略).).电气学院学习部资料库例例2. 2. 判别下述级数的敛散性判别下述级数的敛散性解解: : (1)(1)收敛收敛,从而根据比较审敛法的极限形式知级数从而根据比较审敛法的极限形式知级数(1)收敛收敛.电气学院学习部资料库(2)(2)收敛收敛,从而根据比较审敛法的极限形式知级数从而根据比较审敛法的极限形式知级数(2)收敛收敛.(3)(3)发散发散,从而根据比较审敛法的极限形式知级数从而根据比较审敛法的极限形式知级数(3)发散发散.电气学院学习部资料库练习练习. . 判别下述级数的敛散性判别下述级数的敛散性电气学院学习部资料库定理定理3(3(达朗贝尔达朗贝尔 DAlembert DAlembert 判别法判别法) ) 三、比值判别法电气学院学习部资料库定理定理3(3(比值判别法极限形式比值判别法极限形式) ) 电气学院学习部资料库比值审敛法的优点比值审敛法的优点: 不必找参考级数不必找参考级数. . 两点注意两点注意:电气学院学习部资料库电气学院学习部资料库解：解：从而由定理从而由定理3 3知此级数发散。知此级数发散。电气学院学习部资料库练习练习. . 判别下述级数的敛散性判别下述级数的敛散性电气学院学习部资料库四、根值判别法定理定理4 4（CauchyCauchy判别法）判别法）电气学院学习部资料库解法解法1 1：故级数收敛。故级数收敛。解法解法2 2：根据定积分的定义知根据定积分的定义知故故级数收敛。级数收敛。电气学院学习部资料库解：解：电气学院学习部资料库练习练习. . 判别下述级数的敛散性判别下述级数的敛散性电气学院学习部资料库电气学院学习部资料库电气学院学习部资料库例例7、求数列的极限。、求数列的极限。电气学院学习部资料库五、小结正正 项项 级级 数数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法3.按基本性质按基本性质;注：凡可利用比值判别法审敛的级数均可用注：凡可利用比值判别法审敛的级数均可用根式判别法，但反之不真。根式判别法，但反之不真。电气学院学习部资料库思考题思考题电气学院学习部资料库