第一章第一章 第二节第二节 线性变换及其矩阵线性变换及其矩阵主要内容： 线性变换 线性变换的运算 线性变换的值域与核1矩阵论一线性变换第二节第二节 线性变换及其矩阵线性变换及其矩阵线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示相似矩阵相似矩阵线性变换的特征值与特征向量线性变换的特征值与特征向量不变子空间（自学）不变子空间（自学）JordanJordan标准型介绍标准型介绍2矩阵论一线性变换一、线性映射（变换）的定义及运算一、线性映射（变换）的定义及运算则称则称T T是从是从V V到到W W的一个线性映射或线性算子。的一个线性映射或线性算子。设设V,WV,W是数域是数域F F上的两个线性空间，上的两个线性空间，T T是从是从V V到到W W的一个映的一个映射，如果对于射，如果对于当当 V=W V=W时时, T, T也称为也称为V V上的一个线性变换。上的一个线性变换。3矩阵论一线性变换例例1 1 恒等变换恒等变换例例2 0-2 0-变换变换线性变换举例：线性变换举例：4矩阵论一线性变换例例3 3 求导运算是多项式空间求导运算是多项式空间C C n n x x 上的线性变换。上的线性变换。例例4 4 定定义义在在闭闭区区间间a,ba,b上上的的所所有有连连续续函函数数的的集集合合Ca,bCa,b是是一一个个线性空间，则线性空间，则Ca,bCa,b的积分运算是线性变换。的积分运算是线性变换。5矩阵论一线性变换线性映射（变换）线性映射（变换） 有以下性质：有以下性质：（3 3）T T将将V V中的线性相关向量组映射为中的线性相关向量组映射为W W中的线性相中的线性相关向量组，但把线性无关向量组不一定映射为关向量组，但把线性无关向量组不一定映射为W W中的中的线性无关向量组；线性无关向量组；（4 4）设）设 则则并且并且6矩阵论一线性变换可可以以验验证证，线线性性空空间间V V的的线线性性变变换换经经加加法法与与数数乘乘运运算算后仍为线性变换，并且满足下列基本性质后仍为线性变换，并且满足下列基本性质设设 都是线性空间都是线性空间V V的线性变换，定义线性变换的线性变换，定义线性变换的加法，的加法，设设T T是线性空间是线性空间V V的一个线性变换，的一个线性变换，k k是数域是数域F F上的一个上的一个数，定义线性变换的数乘，数，定义线性变换的数乘，（2 2） 结合律结合律（1 1） 交换律交换律 线性变换的运算：线性变换的运算：7矩阵论一线性变换（8 8） （3 3） 存在零变换存在零变换o,o,（4 4） 存在负变换存在负变换-T,-T,（5 5） 第一分配律第一分配律 （6 6） 第二分配律第二分配律（7 7） 结合律结合律 令令表示表示n n维线性空间维线性空间V V的所有线性变换的集合，则的所有线性变换的集合，则在在线线性性变变换换的的加加法法与与数数乘乘运运算算下下构构成成数数域域F F上上的的一个一个 维线性空间。维线性空间。8矩阵论一线性变换 容容易易验验证证线线性性空空间间V V上上线线性性变变换换的的积积也也是是一一个个线线性性变换，并且满足下述性质变换，并且满足下述性质（1 1） 结合律结合律 设设 都是线性空间都是线性空间V V的线性变换，定义线性变的线性变换，定义线性变换的积，换的积， 需要注意的是，线性变换的积一般不满足交换律，需要注意的是，线性变换的积一般不满足交换律，即即 （2 2） 分配律分配律 例：在例：在 中定义线性变换：中定义线性变换： 由于由于 则则9矩阵论一线性变换当当T T是可逆变换时，定义是可逆变换时，定义 设设T T是线性空间是线性空间V V的一个线性变换，的一个线性变换， 是一个多项式，则是一个多项式，则T T的多项式为的多项式为若线性变换的积可交换，即若线性变换的积可交换，即则称则称可交换的。可交换的。此时也称此时也称 是可逆线性变换。是可逆线性变换。10矩阵论一线性变换线性变换的值域与核线性变换的值域与核设设T T是是n n维线性空间维线性空间V V的一个线性变换，定义的一个线性变换，定义T T的值域的值域R(T)R(T)与核与核N (T)N (T)分别为分别为设设A A是是n n阶矩阵，阶矩阵，A A的值域的值域R(A)R(A)与核与核N (A)N (A)分别为分别为-T-T的全体象组成的集合的全体象组成的集合-被被T T变成零向量的向量组成的集合变成零向量的向量组成的集合11矩阵论一线性变换实例实例求导运算求导运算T T在多项式空间在多项式空间C C n n x x 上的值空间上的值空间R(T)R(T)与与核空间核空间N (T)N (T)分别为分别为注：注： C C n n x x R(T)+N(T)R(T)+N(T)R(T)=L1 , x , x2 , , x n-1 N(T)= 1 12矩阵论一线性变换（1 1） T T的值域的值域R(T)R(T)与核与核N (T)N (T)都是都是V V的子空间；的子空间；（3 3）dim(R(T)+dim(N(T)=n.dim(R(T)+dim(N(T)=n.则则定理：设定理：设T T是是n n维线性空间维线性空间V V的一个线性变换，的一个线性变换，是是n n维线性空间维线性空间V V的基的基，分别称为象子空间，核子空间；分别称为象子空间，核子空间；象子空间的维数象子空间的维数dim R(T) dim R(T) 称为称为T T的秩，核子空的秩，核子空间的维数称为间的维数称为T T的零度（或亏）的零度（或亏）13矩阵论一线性变换证（证（3 3）设设令令是是的一组基，的一组基，把它扩充为把它扩充为V的一组基的一组基则有则有要证要证只要证明只要证明线性无关线性无关设设则有则有即即所以所以是是V V的一组基，则的一组基，则线性无关。线性无关。（3 3）dim(R(T)+dim(N(T)=n.dim(R(T)+dim(N(T)=n.14矩阵论一线性变换例例 在在 中定义中定义T：求求T的值域与核，并确定其秩与零度。的值域与核，并确定其秩与零度。解：容易验证解：容易验证T为为 上的线性变换，设上的线性变换，设则由则由解得解得从而从而T的零度为的零度为0； T的秩为的秩为3；又因为又因为所以所以15矩阵论一线性变换设设T T是是n n维线性空间维线性空间V V的一个线性变换，的一个线性变换，是是n n维线性空间维线性空间V V的基，的基，称称A A为为T T在基在基 下的矩阵。下的矩阵。二、线性变换的矩阵表示二、线性变换的矩阵表示（2 2）给定）给定n n维线性空间维线性空间V V的基后，的基后，V V上的线性变换与上的线性变换与n n阶矩阵之间存在一一对应关系。阶矩阵之间存在一一对应关系。基向量的象可以被基线性表出，即基向量的象可以被基线性表出，即说明说明（1 1）矩阵矩阵A A的第的第i i列恰是列恰是 的坐标；的坐标；16矩阵论一线性变换（4 4）设）设n n维线性空间维线性空间V V的一个线性变换的一个线性变换T T在基在基下的矩阵为下的矩阵为且向量且向量在该基下的坐标在该基下的坐标为为则则在该基下的坐标为在该基下的坐标为是是n n维线性空间维线性空间V V的基，的基，（3 3）设）设T T1 1，T T2 2是是n n维线性空间维线性空间V V的两个线性变换，的两个线性变换，T T1 1，T T2 2在该基在该基下的矩阵为下的矩阵为则则T T1 1+T+T2 2，kTkT1 1,T,T1 1T T2 2，T T-1-1在该基下在该基下矩阵分别为矩阵分别为17矩阵论一线性变换（5 5）设）设 是纯量多项式，是纯量多项式，T T为为V V中的线性变换，且对中的线性变换，且对V V的基的基 有有 则则V V的线性变换的线性变换f(T)f(T)在该基下的矩阵为：在该基下的矩阵为： 其中其中f(A)f(A)称为矩阵称为矩阵A A的多项式。的多项式。 18矩阵论一线性变换例例1 1、试确定在多项式空间、试确定在多项式空间P Pn n x x 上的求导运算上的求导运算T T分分别在下列两组基下的表示矩阵别在下列两组基下的表示矩阵说明：同一线性变换在不同基下的表示矩阵一般说明：同一线性变换在不同基下的表示矩阵一般是不同的，它们之间的关系是相似矩阵。是不同的，它们之间的关系是相似矩阵。19矩阵论一线性变换证明证明定理：定理：T T在基在基 下的矩阵为下的矩阵为A A， 在基在基 下的矩阵为下的矩阵为B B，从基从基 到基到基 的过渡矩阵为的过渡矩阵为P P，则，则再由再由 线性无关可得：线性无关可得：从而有从而有相似矩阵相似矩阵21矩阵论一线性变换矩阵的相似关系是一个等价关系，可以利用这一关系将矩阵的相似关系是一个等价关系，可以利用这一关系将n n阶矩阵划分为若干等价类阶矩阵划分为若干等价类. .进而得出进而得出1 n1 n维线性空间维线性空间V V的同一线性变换在不同基下的矩阵是相的同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的。似的。2 n2 n维线性空间维线性空间V V的一个线性变换与的一个线性变换与n n阶矩阵的一个等价阶矩阵的一个等价类一一对应。类一一对应。设设如果存在可逆矩阵如果存在可逆矩阵P P，使得，使得已知已知A A与与B B相似，则相似，则 则称矩阵则称矩阵A A与与B B是相似的，记为是相似的，记为A BA B为纯量多项式为纯量多项式 则则22矩阵论一线性变换例例3 3、设、设T T是是 的线性变换，的线性变换，有有求求T T在基在基下的表示矩阵。下的表示矩阵。解法一：直接法（同例解法一：直接法（同例1）解法二：利用同一线性变换在不同基下的表示矩阵是相解法二：利用同一线性变换在不同基下的表示矩阵是相似矩阵这一结论。似矩阵这一结论。选取一组简单基：选取一组简单基：基基到基的过渡矩阵为到基的过渡矩阵为基基在在T T下的象为：下的象为：23矩阵论一线性变换T在基在基 下的表示矩阵为：下的表示矩阵为：则则T在基在基 下的表示矩阵为：下的表示矩阵为：24矩阵论一线性变换定义定义 设设T T是是n n维线性空间维线性空间V V的一个线性变换的一个线性变换, ,对于数对于数 ，如果存在非零向量，如果存在非零向量 ，使得，使得， （2 2）特征值）特征值 的全体特征向量及零向量组成的的全体特征向量及零向量组成的集合是一线性空间，记为集合是一线性空间，记为 则称则称 是是T T的特征值，的特征值， 是是T T的属于的属于 的特征向的特征向量，简称特征向量。量，简称特征向量。称为称为V V的的特征子空间特征子空间性质性质（1）若若 是对应于特征值是对应于特征值 的特征向量，的特征向量，则则 也是对应于特征值也是对应于特征值 的特征向量；的特征向量； 下面讨论确定线性变换特征值与特征向量的方法下面讨论确定线性变换特征值与特征向量的方法三、线性变换的特征值与特征向量三、线性变换的特征值与特征向量25矩阵论一线性变换 设设 是是n n维线性空间维线性空间V V的一组基的一组基, ,线性变换线性变换T T在这在这组基下的矩阵为组基下的矩阵为 令令 是是T T的特征值，的特征值， 是是T T的属于的属于 的特征向量。的特征向量。设设 关于基的坐标为关于基的坐标为关于基的坐标分别为关于基的坐标分别为则由知从而有因此 满足26矩阵论一线性变换矩阵的特征值矩阵的特征值定义矩阵定义矩阵A A的特征多项式为的特征多项式为X X是是A A属于属于 的特征向量。的特征向量。则称则称 是是A A的特征值，的特征值，设设A A是是n n阶矩阵，阶矩阵，27矩阵论一线性变换给定一个给定一个n n阶矩阵阶矩阵A A为为A A的特征矩阵。的特征矩阵。 称称为矩阵为矩阵A A的特征方程。的特征方程。称称28矩阵论一线性变换例例计算计算A A的特征值与特征向量。的特征值与特征向量。29矩阵论一线性变换计算过程计算过程A A的特征向量的特征向量矩阵矩阵A A的特征多项式为的特征多项式为A A的特征值为的特征值为对于对于解方程组解方程组(-I-A)X=0,(-I-A)X=0,得特征向量得特征向量x x1 1=(1,0,-1)=(1,0,-1)T T,X,X2 2=(0,1,-1)=(0,1,-1)T T对于对于解方程组解方程组(5I-A)X=0,(5I-A)X=0,得特征向量得特征向量x x3 3=(1,1, 1)=(1,1, 1)T T30矩阵论一线性变换从以上的讨论可知：欲求线性变换从以上的讨论可知：欲求线性变换T T的特征值和特征的特征值和特征向量，只要求出向量，只要求出T T的矩阵的矩阵A A的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。T T的特征值就是的特征值就是A A的特征值，而的特征值，而T T的特征向量在线性空间的特征向量在线性空间V V的基下的坐标与的基下的坐标与A A的特征向量一致。的特征向量一致。例：设线性变换T在线性空间V中的一组基 下的矩阵为求T的特征值和特征向量31矩阵论一线性变换计算过程计算过程的特征向量的特征向量矩阵矩阵A A的特征多项式为的特征多项式为T T的特征值为的特征值为对于对于解方程组解方程组(-I-A)X=0,(-I-A)X=0,得基础解系：得基础解系：x x1 1=(1,0,-1)=(1,0,-1)T T,X,X2 2=(0,1,-1)=(0,1,-1)T T解方程组解方程组(5I-A)X=0,(5I-A)X=0,得基础解系得基础解系x x3 3=(1,1, 1)=(1,1, 1)T T对于对于T T的属于的属于的两个线性无关的特征向量为的两个线性无关的特征向量为T T的属于的属于T T的全体特征向量为的全体特征向量为32矩阵论一线性变换(1) (1) 特征多项式相等，即特征多项式相等，即(2) (2) 行列式相等，迹相等行列式相等，迹相等(3) (3) 秩相等秩相等 (4) (4) 特征值相同。特征值相同。相似矩阵的性质相似矩阵的性质33矩阵论一线性变换特征值性质特征值性质设矩阵设矩阵A=(aA=(a ij ij ) )的特征多项式为的特征多项式为35矩阵论一线性变换矩阵的谱矩阵的谱称称m m i i 是特征值是特征值 的代数重复度。的代数重复度。设设A A是是n n阶矩阵，阶矩阵，A A的相异特征值的集合的相异特征值的集合称为矩阵称为矩阵A A的谱的谱. .设矩阵设矩阵A A的特征多项式为的特征多项式为36矩阵论一线性变换A A的特征子空间的特征子空间称称n n i i 为为 的几何重复度。的几何重复度。设设A A是是n n阶矩阵阶矩阵, ,定义定义A A的相应于特征值的相应于特征值 的特征子空的特征子空间为间为定理定理 n n阶矩阵阶矩阵A A的任一特征值的几何重复度不大于的任一特征值的几何重复度不大于代数重复度。代数重复度。37矩阵论一线性变换定理定理 n n阶矩阵阶矩阵A A的任一特征值的几何重复度不大于代数重复度。的任一特征值的几何重复度不大于代数重复度。证明证明 设设A A是线性空间是线性空间C C n n的线性变换的线性变换T T在某组基下的表示矩在某组基下的表示矩阵，阵， m m i i ， n n i i是特征值是特征值 的代数重复度与几何重复度，对的代数重复度与几何重复度，对于特征子空间于特征子空间W,W,存在补空间存在补空间V,V,使得使得则则T T在此基下的表示矩阵为在此基下的表示矩阵为取取W W与与V V的一组基，不妨记做的一组基，不妨记做因为因为A A与与B B相似，故相似，故所以，所以， 的代数重复度不小于的代数重复度不小于n n i i38矩阵论一线性变换 定定义义 设设V,WV,W是是数数域域F F上上的的两两个个线线性性空空间间，T T是是从从V V到到W W的的一一个个线线性性映映射射，如如果果T T是是1-11-1映映射射，则则称称T T是是从从V V到到W W的的一个同构映射；并称线性空间一个同构映射；并称线性空间V,WV,W是同构的。是同构的。线性空间线性空间V,WV,W是同构的意义在于它们有相同的代数性质是同构的意义在于它们有相同的代数性质定理定理 设设T T是从是从V V到到W W的一个同构变换，则的一个同构变换，则T T将将V V的线性无关组变换为的线性无关组变换为W W的线性无关组的线性无关组; ;T T将将V V的基变换为的基变换为W W的基的基; ;(1)(2)(3)(4) 例例 R R上的任意上的任意n n维线性空间维线性空间V V与与n n维向量空间维向量空间 是同构的；是同构的；n n维线性空间维线性空间V V的所有线性变换形成的的所有线性变换形成的 维线性空维线性空间间 与与 阶矩阵形成的线性空间同构。阶矩阵形成的线性空间同构。39矩阵论一线性变换