第三节 导数与函数的极值和最值基础知识梳理1函数的极值函数的极值(1)函数的极值的概念：函数的极值的概念：函数函数yf(x)在点在点xa的函数值的函数值f(a)比它在点比它在点xa附近其他点的函数值都小，附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点；而且在点xa附近的左侧附近的左侧 ，右侧，右侧 ，则点，则点a叫做函数叫做函数yf(x)的的 ，f(a)叫做函数叫做函数yf(x)的的 f(x)0f(x)0极小值点极小值点极小值极小值基础知识梳理 函数函数yf(x)在点在点xb的函数值的函数值f(b)比它在点比它在点xb附近其他点的函数值都大，附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点；而且在点xb附近的左侧附近的左侧 ，右侧右侧 ，则点，则点b叫做函数叫做函数yf(x)的的 ，f(b)叫做函数叫做函数yf(x)的的 极小值点、极大值点统称为极小值点、极大值点统称为 ，极大值和极小值统称为，极大值和极小值统称为 f(x)0f(x)0极大值点极大值点极大值极大值极值点极值点极值极值基础知识梳理(2)求函数极值的步骤：求函数极值的步骤： ； ；检查检查f(x)在方程根左右的值的符号在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取在这个根处取 ，如果左负右正，那么，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取在这个根处取 求导数求导数f(x)求方程求方程f(x)0的根的根极大值极大值极小值极小值基础知识梳理方程方程f(x)0的根就是函数的根就是函数yf(x)的的极值点是否正确？极值点是否正确？【思考思考提示提示】不正确，方程不正确，方程f(x)0的根未必都是极值的根未必都是极值点点基础知识梳理2函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值在闭区间在闭区间a，b上连续，在上连续，在(a，b)内可导内可导，f(x)在在a，b上求最大值与最小值的步骤：上求最大值与最小值的步骤：(1) (2)求求f(x)在在(a，b)内的极值内的极值将将f(x)的各极值与的各极值与f(a)，f(b)比较，其中比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.基础知识梳理3生活中的优化问题生活中的优化问题利用导数解决实际问题中的最值问题应利用导数解决实际问题中的最值问题应注意：注意：(1)在求实际问题中的最大在求实际问题中的最大(小小)值时，一定值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去的值应舍去(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使间内只有一个点使f(x)0的情形，那么不与的情形，那么不与端点值比较，也可知道这就是最大端点值比较，也可知道这就是最大(小小)值值基础知识梳理(3)在解决实际优化问题时，不仅要在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的自变量的函数关系注意将问题中涉及的自变量的函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的定义区间变量的定义区间三基能力强化1(2010年山东烟台模拟年山东烟台模拟)函数函数yx2cosx在在0， 上取得最大值时，上取得最大值时，x的值为的值为_三基能力强化2(2010年江苏扬州模拟年江苏扬州模拟)函数函数f(x)的的定义域为定义域为R，导函数，导函数f(x)的图象如图所示的图象如图所示，则函数，则函数f(x)_无极大值点、有四个极小值点无极大值点、有四个极小值点有三个极大值点、两个极小值点有三个极大值点、两个极小值点有两个极大值点、两个极小值点有两个极大值点、两个极小值点有四个极大值点、无极小值点有四个极大值点、无极小值点三基能力强化解析：解析：设设f(x)与与x轴的轴的4个交点，从左至个交点，从左至右依次为右依次为x1、x2、x3、x4.当当x0，f(x)为增函数，为增函数，当当x1xx2时，时，f(x)|x2|，则有，则有a，b的正负情况是的正负情况是_答案：答案：a0，b0，解得，解得a2或或a2或或a1课堂互动讲练极值是一个局部概念，极值的大小极值是一个局部概念，极值的大小关系是不确定的，即极大值不一定比极关系是不确定的，即极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小小值大，极小值也不一定比极大值小极值在区间端点处不存在极值在区间端点处不存在函数的极值问题函数的极值问题考点一考点一课堂互动讲练例例例例1 1(2009年高考北京卷年高考北京卷)设函数设函数f(x)x33axb(a0)(1)若曲线若曲线yf(x)在点在点(2，f(2)处处与直线与直线y8相切，求相切，求a，b的值；的值；(2)求函数求函数f(x)的单调区间与极值的单调区间与极值点点【思路点拨思路点拨】(1)由由f(2)0，f(2)8求求a，b；(2)求求f(x)，讨论单调性，讨论单调性课堂互动讲练【解解】(1)f(x)3x23a.因为曲线因为曲线yf(x)在点在点(2，f(2)处与直处与直线线y8相切，相切，所以所以解得解得a4，b24.(2)f(x)3(x2a)(a0)当当a0，函数，函数f(x)在在(， )上单调递增；此时函数上单调递增；此时函数f(x)没有极值点没有极值点课堂互动讲练课堂互动讲练【点点评】求函数的极值，与研究函数的单调性的过程求函数的极值，与研究函数的单调性的过程是一致的，为使思路清晰，可以严格按照求是一致的，为使思路清晰，可以严格按照求极值的步骤来推理，最好以列表格的形式来极值的步骤来推理，最好以列表格的形式来体现，对含参数的问题，要注意引起讨论的体现，对含参数的问题，要注意引起讨论的原因再分类讨论原因再分类讨论极值问题有一类逆向思维的题，即已知极值问题有一类逆向思维的题，即已知函数极值求参数的值，此类题目要充分利用函数极值求参数的值，此类题目要充分利用f(x0)0这个条件，其次也要注意单调性对极值这个条件，其次也要注意单调性对极值的限制的限制课堂互动讲练1(2009年高考四川卷年高考四川卷)已知函数已知函数f(x)x32bx2cx2的图象在与的图象在与x轴交点处的切线方轴交点处的切线方程是程是y5x10.(1)求函数求函数f(x)的解析式；的解析式；(2)设函数设函数g(x)f(x) mx，若，若g(x)的极值存在，求实数的极值存在，求实数m的取值的取值范围以及函数范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变取得极值时对应的自变量量x的值的值 跟踪训练跟踪训练课堂互动讲练解：解：(1)由已知，得切点为由已知，得切点为(2,0)，故有故有f(2)0，即，即4bc30.f(x)3x24bxc，由已知，得，由已知，得f(2)128bc5.得得8bc70.联立联立、，解得，解得c1，b1，于是函数解析式为于是函数解析式为f(x)x32x2x2. 跟踪训练跟踪训练课堂互动讲练 跟踪训练跟踪训练课堂互动讲练 跟踪训练跟踪训练课堂互动讲练 跟踪训练跟踪训练x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)g(x)00g(x)极大值极大值极小值极小值课堂互动讲练(1)函数的最大值和最小值是一个整体函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须是整个区间数值中的最大值，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值上所有函数值中的最小值(2)函数的最大值、最小值是比较整个函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的是比较极值点附近的函数值得出来的函数的最值问题函数的最值问题考点二考点二课堂互动讲练例例例例2 2已知函数已知函数f(x)alnxx2(a为实常数为实常数)(1)若若a2，求证：函数，求证：函数f(x)在在(1，)上是增函数；上是增函数；(2)求函数求函数f(x)在在1，e上的最小上的最小值及相应的值及相应的x值；值；(3)若存在若存在x1，e，使得，使得f(x) (a2)x成立，求实数成立，求实数a的取值范围的取值范围课堂互动讲练【思路点思路点拨】(1)代入代入a2，求，求f(x)；(2)分类讨论；分类讨论；(3)存在即有解，构造函数求最值存在即有解，构造函数求最值课堂互动讲练(2)f(x) (x0)，当，当x1，e时，时，2x2aa2，a2e2若若a2， f(x)在在1，e上非负上非负(仅当仅当a2，x1时时，f(x)0)，故函数，故函数f(x)在在1，e上是增函上是增函数，此时数，此时f(x)minf(1)1.课堂互动讲练课堂互动讲练若若a2e2，f(x)在在1，e上非正上非正(仅当仅当a2e2，xe时，时，f(x)0)，故函数，故函数f(x)在在 1，e上是减函数，此时上是减函数，此时f(x)minf(e)ae2.综上可知，当综上可知，当a2时，时，f(x)的最小值为的最小值为1，相应的，相应的x值为值为1；当；当2e2a2时，时，f(x)的最小值为的最小值为aln( ) ，相应的，相应的x值为值为 ；当；当a2e2时，时，f(x)的最小值为的最小值为ae2，相应的，相应的x值为值为e.课堂互动讲练(3)不等式不等式f(x)(a2)x，可化为，可化为a(xlnx)x22x.x1，e，lnx1x且等号不能同且等号不能同时取得，所以时取得，所以lnx0，因而，因而a课堂互动讲练当当x1，e时，时，x10，lnx1，x22lnx0，从而，从而g(x)0(仅当仅当x1时时取等号取等号)，所以，所以g(x)在在1，e上为增函数上为增函数，故，故g(x)的最小值为的最小值为g(1)1，所以，所以a的的取值范围是取值范围是1，)课堂互动讲练【点点评】一般地，求函数一般地，求函数yf(x)在在a，b上的最大上的最大值与最小值的步骤如下：值与最小值的步骤如下：(1)求函数求函数yf(x)在在(a，b)内的极值；内的极值；(2)将函数将函数yf(x)的各极值与端点处的各极值与端点处的函数值的函数值yf(a)，yf(b)比较，其中最比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值大的一个是最大值，最小的一个是最小值课堂互动讲练2(2010年济南市高三模拟年济南市高三模拟)设函数设函数f(x)是定义在是定义在1,0)(0,1上的奇函数，上的奇函数，当当x1,0)时，时，f(x)2ax (aR)(1)求函数求函数f(x)的解析式；的解析式；(2)若若a1，试判断，试判断f(x)在在(0,1上的上的单调性；单调性；(3)是否存在是否存在a，使得当，使得当x(0,1时，时， f(x)有最大值有最大值6. 跟踪训练跟踪训练课堂互动讲练解：解：(1)设设x(0,1，则，则x1,0)，f(x)2ax ，f(x)是奇函数，是奇函数，f(x)f(x)，当当x(0,1时，时，f(x)2ax ， f(x) 跟踪训练跟踪训练2ax (0,12ax+ -1,0).课堂互动讲练 跟踪训练跟踪训练即即f(x)0.f(x)在在(0,1上是单调递增函数上是单调递增函数(3)当当a1时，时，f(x)在在(0,1上单调递增上单调递增f(x)maxf(1)6，课堂互动讲练 跟踪训练跟踪训练课堂互动讲练 跟踪训练跟踪训练x(， )( ，)f(x)0f(x)最大值最大值课堂互动讲练本类题主要是指函数方程根的个数本类题主要是指函数方程根的个数或两函数图象交点个数问题，常用构造或两函数图象交点个数问题，常用构造函数的方法，转化为研究函数极值及图函数的方法，转化为研究函数极值及图象的相关问题象的相关问题利用导数法研究图象交点问题利用导数法研究图象交点问题考点三考点三课堂互动讲练例例例例3 3(2009年高考陕西卷年高考陕西卷)已知函数已知函数f(x)x33ax1，a0.(1)求求f(x)的单调区间；的单调区间；(2)若若f(x)在在x1处取得极值，处取得极值，直线直线ym与与yf(x)的图象有三个不同的图象有三个不同的交点，求的交点，求m的取值范围的取值范围课堂互动讲练【思路点思路点拨】(1)求求f(x)，讨论，讨论a；(2)由由f(1)0，求出，求出a，求，求f(x)的极值，观察图象，求的极值，观察图象，求m的范围的范围【解解】(1)f(x)3x23a3(x2a)，当当a0，当当a0时，时，f(x)的单调增区间为的单调增区间为(，)课堂互动讲练课堂互动讲练(2)f(x)在在x1处取得极值，处取得极值，f(1)3(1)23a0，a1.f(x)x33x1，f(x)3x23，由由f(x)0解得解得x11，x21.由由(1)中中f(x)的单调性可知，的单调性可知，f(x)在在x1处取得极大值处取得极大值f(1)1，在，在x1处取得极处取得极小值小值f(1)3.直线直线ym与函数与函数yf(x)的图象有三个的图象有三个不同的交点，不同的交点，又又f(3)191，结，结合合f(x)的单调性可知，的单调性可知，m的取值范围是的取值范围是(3,1)课堂互动讲练【点点评】用求导的方法确定方程根的个数，是一种用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法它首先通过求导，明确函很有效的方法它首先通过求导，明确函数的单调性以及函数的极值，然后粗略地数的单调性以及函数的极值，然后粗略地画出函数的图象，根据函数的变化情况，画出函数的图象，根据函数的变化情况，运用数形结合的思想来确定函数图象与运用数形结合的思想来确定函数图象与x轴轴的交点个数的交点个数课堂互动讲练3例例3条件不变，若函数条件不变，若函数f(x)与与x轴有轴有三个不同的交点，求三个不同的交点，求a的取值范围的取值范围(只写只写出限制条件不必计算出结果出限制条件不必计算出结果) 互动探究互动探究课堂互动讲练利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系函数关系yf(x)(2)求函数的导数求函数的导数f(x)解方程解方程f(x)0.(3)比较函数在区间端点和使比较函数在区间端点和使f(x)0的点的数的点的数值的大小，最大值的大小，最大(小小)者为最大者为最大(小小)值值导数在实际问题中的应用导数在实际问题中的应用考点四考点四课堂互动讲练例例例例4 4(解题示范解题示范)(本题满分本题满分12分分)如图所示，将一矩形花坛如图所示，将一矩形花坛ABCD扩扩建成一个更大的矩形花园建成一个更大的矩形花园AMPN，要求，要求B在在AM上，上，D在在AN上，且对角线上，且对角线MN过过C点，点，|AB|=3米，米，|AD|=2米米课堂互动讲练【思路点思路点拨】(1)利用相似三角形中线段成比例，表示利用相似三角形中线段成比例，表示出线段长；出线段长；(2)利用导数法求最值利用导数法求最值(1)要使矩形要使矩形AMPN的面积大于的面积大于32平平方米，则方米，则AM的长应在什么范围内？的长应在什么范围内？(2)当当AM，AN的长度是多少时，矩的长度是多少时，矩形形AMPN的面积最小？并求出最小面积的面积最小？并求出最小面积课堂互动讲练【解解】(1)设设AM的长为的长为x米米(x3)，SAMPN|AN|AM| ，3分分由由SAMPN32得得 32，x3，x216x480，即即(x4)(x12)0，3x12.即即AM长的取值范围是长的取值范围是(3,4)(12，).6分分课堂互动讲练当当x6时，时，y0，即函数在，即函数在(6，)上单调递增，上单调递增，x6时，时，y0，函数在，函数在(3,6)上上单调递减，单调递减，10分分当当x6时，时，y 取得最小值，取得最小值，即即SAMPN取得最小值取得最小值24(平方米平方米)，此时此时|AM|6米，米，|AN|4米米.12分分课堂互动讲练【点点评】在求实际问题中的最大值或最小值时，在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合，用导数求解实际问题中的情况相结合，用导数求解实际问题中的最大最大(小小)值时，如果函数在区间内只有一值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点点也就是最值点课堂互动讲练4(本题满分本题满分14分分)烟囱向其周围地烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染已知区散落烟尘造成环境污染已知A、B两两座烟囱相距座烟囱相距20 km，其中，其中B烟囱喷出的烟尘量是烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比(比比例系数为例系数为k)若若C是是AB连线上的点，设连线上的点，设ACx km，C点的烟尘浓度记为点的烟尘浓度记为y. 自我挑战自我挑战课堂互动讲练(1)写出写出y关于关于x的函数表达式；的函数表达式；(2)是否存在这样的点是否存在这样的点C，使该点的，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出烟尘浓度最低？若存在，求出AC的距离的距离；若不存在，说明理由；若不存在，说明理由 自我挑战自我挑战解：解：(1)不妨设不妨设A烟囱喷出的烟尘量烟囱喷出的烟尘量为为1，则，则B烟囱喷出的烟尘量为烟囱喷出的烟尘量为8，由，由ACx(0x20)可得可得BC20x.课堂互动讲练 自我挑战自我挑战依题意，点依题意，点C处的烟尘浓度处的烟尘浓度y的函数的函数表达式为：表达式为：y ，(0x20).7分分课堂互动讲练 自我挑战自我挑战课堂互动讲练 自我挑战自我挑战规律方法总结1可导函数的极值可导函数的极值(1)极值是一个局部性概念，一个函数极值是一个局部性概念，一个函数在其定义域内可以有许多个极大值和极小在其定义域内可以有许多个极大值和极小值，在某一点的极小值也可能大于另一点值，在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，也就是说极大值与极小值没有的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系必然的大小关系(2)若若f(x)在在(a，b)内有极值，那么内有极值，那么f(x)在在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间内绝不是单调函数，即在某区间上单调递增或减的函数没有极值上单调递增或减的函数没有极值规律方法总结2函数的最大值和最小值是一个整函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须是整有函数值中的最大值，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值个区间上所有函数值中的最小值规律方法总结3函数的最大值、最小值是比较整个定函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的函数的极值可极值点附近的函数值得出来的函数的极值可以有多有少，但最值只有一个；极值只能在区以有多有少，但最值只有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值可的未必有最值，有最值的未必有极值；极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值能成为最值，最值只要不在端点必定是极值规律方法总结4闭区间上的连续函数一定有最大闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值，开区间上的连续函数不一值和最小值，开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值定有最大值和最小值5以导数为工具求函数的最值，先以导数为工具求函数的最值，先找到极值点，再求极值和区间端点函数找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值一个是最小值