第六章第六章中国人民大学出版社赵树嫄中国人民大学出版社赵树嫄微积分微积分第四版第四版1第一节第一节 定积分概念的引例定积分概念的引例 由连续曲线由连续曲线 y = f (x) ( f (x) 0), 直线直线 x = a, x = b (a b)及及 x 轴所围成的平面图形的面积轴所围成的平面图形的面积yo实例：实例：求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积2abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积。形面积。（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）3观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放播放4曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，分割分割近似近似5曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为曲边梯形面积为求和求和取极限取极限（1 1）分割）分割（2 2）求和）求和（3 3）极限）极限6第二节第二节 定积分的定义定积分的定义定义定义记为记为7被被积积函函数数积积分分变变量量积分上限积分上限积分下限积分下限8说明：说明：1.2. 有界有界是可积的必要条件是可积的必要条件, ,无界函数一定不可积；无界函数一定不可积； 3. 可积的充分条件：可积的充分条件： 94. 规定：规定：5. 由定义不难得到：由定义不难得到：10定积分的几何意义：定积分的几何意义：曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形面积的相反数曲边梯形面积的相反数yoyo11若要求阴影部分的面积若要求阴影部分的面积, 则为则为12例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解xyo1113例例2 2 用定积分表示极限用定积分表示极限 解解14第三节第三节 定积分的基本性质定积分的基本性质在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小。上下限的大小。性质性质1 1（此性质可以推广到有限多个函数和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数和的情况）性质性质2 2(k为常数为常数)性质性质 1, 2 合称合称线性性线性性。15说明说明：不论：不论 a, b, c 的相对位置如何，上式总成立的相对位置如何，上式总成立.例如例如, ,则则性质性质3 3 区间可加性区间可加性证略证略16证证性质性质4 (4 (保号性质保号性质) )由极限的保号性可知由极限的保号性可知, , 证略证略17推论推论1 1证证18推论推论2 2证证即即19性质性质5 5（估值定理）（估值定理）证证由性质由性质2，有，有再由性质再由性质4推论推论1，得，得mM20性质性质6 6（定积分中值定理）（定积分中值定理）证证估值定理估值定理由闭区间上连续函数的介值定理知，由闭区间上连续函数的介值定理知，即即21积分中值定理的几何解释：积分中值定理的几何解释：上的上的平均值平均值。22解解例例1 1于是于是23证证例例2 2即即 f (x) 单调减少，单调减少，24第四节第四节 微积分基本定理微积分基本定理 用定义求定积分实际上是行不通的用定义求定积分实际上是行不通的, ,下面介绍下面介绍计算定积分的新方法计算定积分的新方法. . 定理定理1 1构造构造变上限积分变上限积分函数函数一、微积分基本定理一、微积分基本定理ya0xxy = f (x)(x)25 用定义求定积分实际上是行不通的用定义求定积分实际上是行不通的, ,下面介绍下面介绍计算定积分的新方法计算定积分的新方法. . 定理定理1 1构造构造变上限积分变上限积分函数函数一、微积分基本定理一、微积分基本定理ya0xxy = f (x)(x)第四节第四节 微积分基本定理微积分基本定理26 用定义求定积分实际上是行不通的用定义求定积分实际上是行不通的, ,下面介绍下面介绍计算定积分的新方法计算定积分的新方法. . 定理定理1 1构造构造变上限积分变上限积分函数函数一、微积分基本定理一、微积分基本定理ya0xxy = f (x)(x)第四节第四节 微积分基本定理微积分基本定理27 用定义求定积分实际上是行不通的用定义求定积分实际上是行不通的, ,下面介绍下面介绍计算定积分的新方法计算定积分的新方法. . 定理定理1 1构造构造变上限积分变上限积分函数函数一、微积分基本定理一、微积分基本定理ya0xxy = f (x)(x)第四节第四节 微积分基本定理微积分基本定理28ya0xxy = f (x)(x) 用定义求定积分实际上是行不通的用定义求定积分实际上是行不通的, ,下面介绍下面介绍计算定积分的新方法计算定积分的新方法. . 定理定理1 1构造构造变上限积分变上限积分函数函数一、微积分基本定理一、微积分基本定理第四节第四节 微积分基本定理微积分基本定理29ya0xxy = f (x)(x) 用定义求定积分实际上是行不通的用定义求定积分实际上是行不通的, ,下面介绍下面介绍计算定积分的新方法计算定积分的新方法. . 定理定理1 1构造构造变上限积分变上限积分函数函数一、微积分基本定理一、微积分基本定理第四节第四节 微积分基本定理微积分基本定理30证证31由积分中值定理得由积分中值定理得32原函数存在定理原函数存在定理该定理告诉我们该定理告诉我们，连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数。原函数原函数。33变限积分函数的求导：变限积分函数的求导：证证34更一般地，更一般地，由由即可得结论。即可得结论。35例例1 1 求下列变限积分函数的导数求下列变限积分函数的导数. .36例例2 2 37例例3 3 求下列极限。求下列极限。分析：分析：这是这是 型未定式，应用洛必达法则型未定式，应用洛必达法则.解解38例例3 3 求下列极限求下列极限. .分析：分析：这是这是 型未定式，型未定式，解解等价无穷小等价无穷小替换替换39例例3 3 求下列极限求下列极限. .解解分析：分析：这是这是 型未定式，型未定式，40解解例例4 4分离非零因分离非零因子子41练习练习解解42定理定理2 (2 (微积分基本公式微积分基本公式) )证证二、牛顿二、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式43所以所以 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式44注意注意 上述公式通常称为上述公式通常称为微积分基本公式微积分基本公式, ,它揭示了它揭示了定积分与不定积分之间的关系定积分与不定积分之间的关系, ,给定积分的计算提给定积分的计算提供了一种简便而有效的方法供了一种简便而有效的方法. . 45例例5例例6例例7例例846练习练习计算计算解解原式原式47例例9 求求 原式原式解解例例10 求求 解解48解解例例11 设设 求求49例例12 求求 原式原式解解50解解例例1351第五节第五节 定积分的换元积分法定积分的换元积分法定理定理则有则有 52证证53注意注意:(1)应用定积分的换元法时应用定积分的换元法时, ,与不定积分比较，与不定积分比较，多一事：换上下限；多一事：换上下限；少一事：不必回代；少一事：不必回代； (2)(3)逆用上述公式，即为逆用上述公式，即为“凑微分法凑微分法”，不必换限。，不必换限。54例例1 1例例2 2例例3 355例例4 4 计算计算解解原式原式56例例5 5 计算计算解解令令原式原式57例例6 6 计算计算解解令令原式原式58例例7 7 求积分求积分解解令令原式原式几何意义：圆面积的几何意义：圆面积的1/4。59例例8 8 计算计算解解令令原式原式60例例9 9解解令令原式原式61证证利用函数的对称性简化计算：利用函数的对称性简化计算：62yxoyxo63例例1010奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数64证证例例111165第六节第六节 定积分的分部积分法定积分的分部积分法定理定理 例例1 1例例2 266例例3 367例例4 4例例5 568例例6 6 计算计算分部积分法与换元法结合：分部积分法与换元法结合：解解令令原式原式69例例7 7 计算计算解解得到递推公式：得到递推公式： 70而而若若 n 为正偶数，则为正偶数，则 若若n为大于为大于 1 的奇数，则的奇数，则 71即即例如，例如，另外，另外，沃利斯沃利斯( WallisWallis )公式公式72例例8 8解解73解解练习练习采用分部积分的方法采用分部积分的方法 ,74第七节第七节 定积分的应用定积分的应用(一一) 平面图形的面积平面图形的面积面积元素面积元素 由连续曲线由连续曲线 y = f (x) ( f (x) 0) , 直线直线 x = a, x = b (a b)及及 x 轴所围成的平面图形的面积轴所围成的平面图形的面积面积面积微元法：微元法：yo75若若 f ( x ) 有正有负，则曲边梯形面积为有正有负，则曲边梯形面积为xyoab76xyoab面积元素：面积元素：所围成的平面图形的面积：所围成的平面图形的面积：X型平面图形的面积型平面图形的面积77cxyoab一般地，一般地，78Y型平面图形的面积型平面图形的面积dcxyo及及 y 轴围成的平面图形的面积为围成的平面图形的面积为 xyodc一般地，一般地，79围成的平面图形的面积为围成的平面图形的面积为dcxyodcxyo一般地，一般地，80解解选选 x 为积分变量为积分变量,例例1 1 由由得交点得交点81解解由对称性知由对称性知,例例2 2 总面积等于第一象限部分总面积等于第一象限部分面积的面积的4倍倍,82利利用用圆圆面面积积解解由对称性知由对称性知,例例2 2 总面积等于第一象限部分总面积等于第一象限部分面积的面积的4倍倍,xya83解解两曲线的交点两曲线的交点例例3 3 此法麻烦。此法麻烦。84此题选此题选 y 为积分变量比较好为积分变量比较好,选择积分变量的原则：选择积分变量的原则： (1) 尽量少分块；尽量少分块；(2) 积分容易积分容易. 85例例4 4 围成的平面图形的面积围成的平面图形的面积. . xoy解解 由对称性由对称性,交点交点86例例5 5解解87例例6 6作草图如右作草图如右,解解y12x利利用用圆圆面面积积xyO188 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台( (二二) ) 旋转体的体积旋转体的体积89abox y体积元素体积元素:旋转体的体积为旋转体的体积为“切片法切片法”90直线直线OP的方程为的方程为解解例例7 7 91例例8 8 x yOab解解 x yOab92例例9 9 解解 93例例9 9 解解 利用圆面积利用圆面积94x ycdox ydc95例例1010 解解 下面再介绍一个新方法下面再介绍一个新方法.96ox yab套筒法套筒法( (柱壳法柱壳法) )：体积微元：体积微元：97上例：上例：ox yab98例例1111 解解“套筒法套筒法”推广：推广： ox yab99解解例例1212 100解解例例1212 101解解例例1313 圆锥体积圆锥体积102( (三三) ) 经济应用问题举例经济应用问题举例 设总成本函数为设总成本函数为C=C(Q)，总收益函数为总收益函数为R=R(Q)， 其中其中Q为产量为产量， 则总成本函数为则总成本函数为则总收益函数为则总收益函数为所以总利润函数为所以总利润函数为称为固定成本称为固定成本103 某商品每周产量为某商品每周产量为Q，固定成本为固定成本为200200元，成本元，成本函数变化率为函数变化率为 例例1414 解解求成本函数。求成本函数。如果该商品的销售单价为如果该商品的销售单价为2020元，且假设产品可以全部元，且假设产品可以全部售出，求利润函数售出，求利润函数L(Q)，并问每周产量为多少时，可并问每周产量为多少时，可获得最大利润？获得最大利润？ 成本函数为成本函数为 104 某商品每周产量为某商品每周产量为Q，固定成本为固定成本为200200元，成本元，成本函数变化率为函数变化率为 销售收入售收入为 所以利所以利润函数函数为 得唯一驻点得唯一驻点 所以当每周产量所以当每周产量 时时, ,利润最大利润最大, ,最大利润为最大利润为 例例1414 解解如果该商品的销售单价为如果该商品的销售单价为2020元，且假设产品可以全部元，且假设产品可以全部售出，求利润函数售出，求利润函数L(Q)，并问每周产量为多少时，可并问每周产量为多少时，可获得最大利润？最大利润为多少？获得最大利润？最大利润为多少？ 求成本函数。求成本函数。成本函数为成本函数为 105例例1515 解解所以需求函数为所以需求函数为 106（1）若若固固定定成成本本C(0) =1 (万万元元)，求求总总成成本本函函数数、总总收益函数和总利润函数；收益函数和总利润函数；（2）当当产产量量从从100台台增增加加到到500台台时时，求求总总成成本本与与总总收收益的增量；益的增量；（3）产量为多少时，总利润最大？最大利润为多少？）产量为多少时，总利润最大？最大利润为多少？ 例例16 16 已知生产某产品已知生产某产品x单位单位(百台百台)的边际成本函数和的边际成本函数和边际收益函数分别为边际收益函数分别为 107总收益总收益 总利润总利润 解解 （1）总成本）总成本 108第八节第八节 广义积分广义积分在定积分的定义中在定积分的定义中，有两个限制：有两个限制：无界函数的积分无界函数的积分称为称为瑕积分瑕积分。无限区间上的积分无限区间上的积分称为称为无穷限积分无穷限积分；(1) 积分区间有限积分区间有限；(2) 被积函数有界被积函数有界。 当这两个条件至少有一个不满足时，称当这两个条件至少有一个不满足时，称广义积分广义积分. . (现一般称为现一般称为反常积分反常积分) . . 109(一一) 无穷限广义积分无穷限广义积分定义定义如果上述极限不存在如果上述极限不存在, , 即即110类似地，类似地，注意注意：上式只有右边两个广义积分均收敛时才有意义。：上式只有右边两个广义积分均收敛时才有意义。111例例1 1 讨论下列无穷限积分的敛散性讨论下列无穷限积分的敛散性. 解解所以所以xoy112例例1 1 讨论下列无穷限积分的敛散性讨论下列无穷限积分的敛散性. 解解所以所以113例例1 1 讨论下列无穷限积分的敛散性讨论下列无穷限积分的敛散性. 解解114115例例1 1 讨论下列无穷限积分的敛散性讨论下列无穷限积分的敛散性. 解解比较：比较：116解解例例2 2积分发散；积分发散； 所以所以117例例3 3其中其中练习练习118例例4 4解解令令原式原式119计算广义积分计算广义积分例例5 5解解原式原式120(二二) 无界函数的广义积分无界函数的广义积分定义定义如果极限如果极限 即即存在，则称广义积分存在，则称广义积分121存在存在, ,则称广义积分收敛则称广义积分收敛, ,即即 122例例6 6 讨论下列瑕积分的敛散性讨论下列瑕积分的敛散性. 解解 0为瑕点为瑕点 ，原式原式注注123例例6 6 讨论下列瑕积分的敛散性讨论下列瑕积分的敛散性. 124例例6 6 讨论下列瑕积分的敛散性讨论下列瑕积分的敛散性. 125例例6 6 讨论下列瑕积分的敛散性讨论下列瑕积分的敛散性. 126例例7 7解解发散；发散； 所以所以127比较：比较：例例7 7解解发散；发散； 所以所以128例例8 8 讨论下列瑕积分的敛散性讨论下列瑕积分的敛散性. 解解 0为瑕点为瑕点 ，129例例8 8 讨论下列瑕积分的敛散性讨论下列瑕积分的敛散性. 解解130例例8 8 讨论下列瑕积分的敛散性讨论下列瑕积分的敛散性. 是瑕点，是瑕点，解解131发散发散.思考题思考题是瑕点，是瑕点，132(三三) 函数函数定义定义变量变量 t 的函数，称为的函数，称为 函数函数。 函数的性质：函数的性质：证证133证证证证134例例9 9 计算广义积分计算广义积分解解在第八章中将证明：在第八章中将证明：练习练习 计算广义积分计算广义积分解解135END136