习题课习题课1误差分析基础误差分析基础一、基本内容与学习要求一、基本内容与学习要求（一）掌握绝对误差、相对误差、有效数字、数据误差的（一）掌握绝对误差、相对误差、有效数字、数据误差的影响以及设计算法时应注意的几个问题影响以及设计算法时应注意的几个问题。二、典型例题分析二、典型例题分析（二）初步了解计算方法研究的内容及其特点和简单的思（二）初步了解计算方法研究的内容及其特点和简单的思想方法。想方法。cyJSJ习题关于有效数字有以下几点说明：关于有效数字有以下几点说明：1、用四舍五入法取准确值的前、用四舍五入法取准确值的前n位作为近似值，则位作为近似值，则x*必必有有n位有效数字；位有效数字；2、有效数字位数相同的两个近似数，绝对误差限不一、有效数字位数相同的两个近似数，绝对误差限不一定相同；定相同；3、将任何数乘以、将任何数乘以10m(m为整数为整数)，等于移动该数的小数，等于移动该数的小数点，并不影响它的有效数字的位数；点，并不影响它的有效数字的位数；4、准确值被认为具有无穷位有效数字、准确值被认为具有无穷位有效数字.1.绝对误差绝对误差、相对误差、相对误差、有效数字、有效数字cyJSJ习题解：解：例例1.问问3.142,3.141,22/7,分别作为分别作为 的近似值的近似值,各具有几各具有几位有效数字位有效数字?cyJSJ习题例例2.1)经过四舍五入得出经过四舍五入得出x1*=6.1025,x2*=80.115;试问它们分别试问它们分别具有几位有效数字？具有几位有效数字？2)求求x1*-x2*,x1*x2*,x1*/x2*的绝对误差限的绝对误差限.解：解：由于所以 cyJSJ习题cyJSJ习题例例3.设设x11.21，x23.65，x3981都精确到二位小数，都精确到二位小数，试估计由这些数据计算试估计由这些数据计算的相对误差的相对误差解：解：cyJSJ习题因为因为所以所以cyJSJ习题2.数据误差的影响数据误差的影响例例4设设x0，x的相对误差限为的相对误差限为 ，求，求xn和和lnx的相对误差限的相对误差限.由条件知由条件知由一元函数由一元函数yf(x)的相对误差公式的相对误差公式解解cyJSJ习题例例5设计算球体积允许其相对误差限为设计算球体积允许其相对误差限为1，问测量球半径，问测量球半径的相对误差限最大为多少的相对误差限最大为多少?解解记球半径为记球半径为R，球体积为，球体积为V由题意知由题意知|er(V)|1于是于是因而因而即测量球半径的相对误差限最大为即测量球半径的相对误差限最大为0.33知知由公式由公式cyJSJ习题,因而因而易知当易知当e(t)固定时，固定时，e(s)随着随着t 的增加而增加，而的增加而增加，而er(s)随着随着t 的增加的增加而减少而减少例例6真空中自由落体运动距离真空中自由落体运动距离s和时间和时间t的关系是的关系是。g是重力加速度现设是重力加速度现设g是准确的，而对是准确的，而对t的测量有的测量有0.1秒的秒的误差证明当误差证明当t 增增加时，距离的绝对误差增加，而相对误差加时，距离的绝对误差增加，而相对误差却减少却减少解解:由由得得于是于是cyJSJ习题例例7求二次方程求二次方程x2- -16x+1=0较小正根较小正根,要求有三位有效数字。要求有三位有效数字。x18- - 63x28+ + 63若取若取 63=7.94,具有三位有效数字具有三位有效数字,则则x1 0.06只有一位有只有一位有效数字效数字;则则具有三位有效数字具有三位有效数字.改用改用解解:例例8利用四位函数表计算利用四位函数表计算1-cos2 ,试用不同的方法并比试用不同的方法并比较结果的误差较结果的误差。cos20.9994,sin20.034901.直接计算直接计算;2.1- -cos2 =1+cos2 sin22 3.1- -cos2 =2sin21 1.99940.034902 1- -cos2 1- -0.9994=0.0006 6.092 10- -4 6.09 10- -41位有效数字位有效数字4位有效数字位有效数字3位有效数字位有效数字cyJSJ习题例例9计算计算f=( 2- -1)6.直接计算直接计算f 和利用等价和利用等价(值值)式式:计算计算,哪一个最好哪一个最好?( 2+ +1)6199- -70 2(3+2 2)31(3- -2 2)3，分析：分析：衡量计算公式方法好坏，此时主要看结果误差限。衡量计算公式方法好坏，此时主要看结果误差限。用函数的误差估计公式：用函数的误差估计公式：|e*(y)| |f (x*)|e*(x)|x= 2 ,x*=1.4|x-x*|0.02= ，|e*( )| |f (x*)|e*(x)|6(x*-1)5 0.062 (x- -1)6解：解：|e*( )| |f (x*)|e*(x)|6|(3-2x*)5| 0.024 (3- -2 2)3|e*( )| |f (x*)|e*(x)|6(3+2x*)-4 0.00531 (3+ +2 2)-3|e*( )| |f (x*)|e*(x)|6(x*+1)-7 0.014 (x+ +1)-6|e*( )| |f (x*)|e*(x)|70 99- -70 2cyJSJ习题 下列公式如何计算才比较准确下列公式如何计算才比较准确: :(1)- -（|x|1）(2)9941-9951设设y1nx当当x=a(a0)时，如果已知对数时，如果已知对数1na的绝对的绝对误差限为误差限为10- -n，试估计真数，试估计真数a的相对误差限及有效数字的相对误差限及有效数字位数位数.练习练习:cyJSJ习题3.设计算法与误差分析设计算法与误差分析在在x2处的值处的值p(2)例例10利用秦九韶算法计算多项式利用秦九韶算法计算多项式解解将所给多项式的系数按降幂排列，缺项系数看成零将所给多项式的系数按降幂排列，缺项系数看成零所以所以p(2)- -9.p(x)=(x-2)x+0)x-3)x+4)x-1)x+6)x-1注注:计算模式计算模式: ax+b acyJSJ习题例例11已知递推公式已知递推公式yn=yn- -1- , - , n= =1,2,; ,; 783100y0=8;若取若取 783 27.982,试问用上式求试问用上式求y100有多大误差？有多大误差？| (yn- -1- )- )- 783100(y*n- -1- )|- )|27.982100|yn- - y*n|= 783100|( - )|( - )|27.982100|yn-1- - y*n-1|+| (yn- -1- -y*n-1)-)- 783100( - )|( - )|27.982100=|y100- - y*100|y1- - y*1|+99 =100 783100|( - )|( - )|27.982100 783100 ( - ) ( - )27.982100 783- - 27.982=解解:1.3716 10-427.9821371592664cyJSJ习题例例12当当n=0,1,2,8时时,求积分求积分yn=dx 的近似值的近似值,请注意设法控制误差的传播请注意设法控制误差的传播. 01x+5xnyn+5yn-1=dx= xn-1dx = 01x+5xn+5xn-1 01n1yn= - - 5yn-1(*)n1解解:由由可得可得此计算公式会使此计算公式会使误差迅速传播误差迅速传播 yn- -1= - - 5n15yn将将(*)改写为改写为:使用此公式会使使用此公式会使误差迅速减小误差迅速减小；先估计；先估计y10:dx 01x+5x10y10=111=x+5x111 01(x+5)2x11(- -)dx10-()dx 01x11( +5)2111116+()=( +5)2111116+()=112 由于由于0 1,所以所以0.01536y100.01545.取取y10=0.0154计算计算: y9=0.01692;y8=0.0188382222;y0=0.1823215568.dx 01x+51y0=ln6- -ln5=ln1.2 0.1823215568cyJSJ习题知知即即因而因而*例例13采用迭代法计算采用迭代法计算 7，取，取若若xk是是 7的具有的具有n位有效数字的近似值，求证位有效数字的近似值，求证xk+1是是 7的具有的具有2n位有效位有效数字的近似值数字的近似值解解首先我们证明首先我们证明1imxk 7由由cyJSJ习题记记，递推可得，递推可得所以所以(1)cyJSJ习题则由则由(1)知知设设x*是是 7的具有的具有n位有效数字的近似值，即位有效数字的近似值，即因而因而xk+1是是 7的具有的具有2n 位有效数字的近似值位有效数字的近似值.cyJSJ习题