7.2偏导数与全微分1偏导数与全微分一偏导数一偏导数1. 一元函数变化率与多元函数变化率一元函数变化率与多元函数变化率 一元函数一元函数y=f(x)y=f(x)只存在只存在y y随随x x变化的变化率，变化的变化率， 即点即点x x沿沿x x轴移动的一个方式下的变化率（变化轴移动的一个方式下的变化率（变化快慢）快慢）oxyPx2偏导数与全微分 二元函数二元函数z=f(x,y)z=f(x,y)存在存在z z随随x x变化的变化率变化的变化率随随y y变化的变化率变化的变化率随随x xy y同时变化的变化率。同时变化的变化率。 即点即点P(x,y)P(x,y)在域在域D D内可沿内可沿x x轴轴沿沿y y轴轴沿其沿其它直线方向移动的多个方式下的变化率。因它直线方向移动的多个方式下的变化率。因而研究二元函数的变化率问题，需区别沿哪而研究二元函数的变化率问题，需区别沿哪一个方向的变化，比一元函数时复杂得多。一个方向的变化，比一元函数时复杂得多。o oxyzMPD D3偏导数与全微分2 2偏导数定义偏导数定义定义定义8.4 设函数 在点 的某个邻域内有定义，如果固定 后，一元函数 在点 处可导，即极限存在，则称A为函数 在点 处关于自变量 的偏导数，记为 或4偏导数与全微分记为记为 或或类似地，类似地， 在点在点 处处对对y的偏导数的偏导数定定义为义为5偏导数与全微分3 3偏导函数概念偏导函数概念 偏导函数：当z=f(x,y)在域内每一点 ( (x,y) )处对 x（ y ）的偏导数都存在， 则它就是x,y的函数，称为偏导函数。 记号：或或或或 在不至混淆时常称偏导函数为偏导数。 z=f(x,y)在(x0,y0)处的偏导数是偏导函数在(x0,y0)处的函数值.6偏导数与全微分4. 4. 偏导数的几何意义偏导数的几何意义切线切线M M0 0T Ty y对对y轴的斜率轴的斜率oxyzM0P0x0y0TyTxz=f(x0,y)z=f(x,y0) 切线切线M0Tx对对x轴的斜率轴的斜率 7偏导数与全微分5 5偏导数的计算法偏导数的计算法 对哪一个自变量求偏导数时，就把其它自对哪一个自变量求偏导数时，就把其它自 变量视为常数，按一元函数求导法则计算：变量视为常数，按一元函数求导法则计算：求求 时，只要把时，只要把y暂时看作常量而对暂时看作常量而对x求导数；求导数；求求 时，只要把时，只要把x暂时看作常量而对暂时看作常量而对y求导数。求导数。8偏导数与全微分例例 1求 在点(1,2)处的偏导数。解解9偏导数与全微分例例2 求 的偏导数。解解：10偏导数与全微分解解:例例3 设 求证：11偏导数与全微分例例4 求 的偏导数。解解:12偏导数与全微分6.6.高阶偏导数高阶偏导数二阶偏导数：二阶偏导数： 设 为D上的二元函数 ，则其在，则其在 D上的偏导数为 若二元函数若二元函数 的偏导数也存在，的偏导数也存在， 则称其是函数则称其是函数 的的二阶偏导数二阶偏导数。13偏导数与全微分z=f(x,y)z=f(x,y)的二阶偏导数的二阶偏导数记号：记号：14偏导数与全微分例例5 求二阶偏导数求二阶偏导数解：15偏导数与全微分解：16偏导数与全微分注记注记： 若若 在在D内连续，则在内连续，则在D内内 （二阶混合偏导数与求导次序无关的充分条件！）（二阶混合偏导数与求导次序无关的充分条件！） 类似二阶偏导数，可得三阶、四阶、类似二阶偏导数，可得三阶、四阶、n阶阶 偏导数，二阶以上的偏导数统称高阶偏导数；偏导数，二阶以上的偏导数统称高阶偏导数； 二元函数的二阶偏导数有二元函数的二阶偏导数有4个，三阶有个，三阶有8个，个， n阶有阶有2n个；三元函数的个；三元函数的n阶偏导数有阶偏导数有3n个；个； 等等。等等。17偏导数与全微分7. 7. 偏导数的经济意义偏导数的经济意义边际需求边际需求:偏弹性偏弹性:两种商品，价格分别为 和需求函数： 称为边际需求发生变化，而 不变时其中：18偏导数与全微分发生变化，而 不变时其中： 称为1商品需求量 对自身价格 的直接价直接价格偏格偏 弹性弹性； 称为1商品需求量 对相关价格 的交叉价格偏弹性交叉价格偏弹性。19偏导数与全微分二全微分二全微分 1 1全增量全增量偏增量：偏增量：对于对于z=f(x,y)z=f(x,y)若两个自变量中只有一若两个自变量中只有一 个变化时，函数个变化时，函数z z的增量称为的增量称为偏增量偏增量。如：矩形板在长为矩形板在长为x x0 0，宽为宽为y y0 0时，若仅当长增加时，若仅当长增加 x x(或宽增加或宽增加 y y)，则面积的增量是偏增量。，则面积的增量是偏增量。20偏导数与全微分如：如：矩形金属板受热喷膨胀时，长和宽都要发生改变，这时面积的改变量（增量）就是全增量。全增量：全增量：对于z=f(x,y)，若两个自变量都取得增量时，函数z的增量称为全增量。oxyx x0 0y y0 0y y0 0+ +y yx x0 0+ +x xx x0 0y yy y0 0x xx xy y21偏导数与全微分2 2全微分全微分定义定义8.5 如果函数 在点 处的改变量 可表示为其中 与 无关， 为 时的无穷小量，即 则称表达式中的线性主部 为函数 在点 处的全微分全微分，记为 即并称函数 在点 处可微分可微分或可微。可微。22偏导数与全微分定理定理8.1：若若z=f(x,y)在点在点 可微分，则可微分，则 z=f(x,y)在在 的偏导数的偏导数 必定存在，且必定存在，且23偏导数与全微分例例6 求 的全微分 解：解： 24偏导数与全微分定理定理8.3： 若函数 在点 的某 邻域内偏导数存在且偏导数连续，则该函 数在点处可微。定理定理8.2 若函数 在点 处可微， 则该函数在点 处连续。25偏导数与全微分多元函数连续、偏导数存在、可微的关系多元函数连续、偏导数存在、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数偏导数存在函数偏导数存在26偏导数与全微分3全微分在近似计算中的应用 27偏导数与全微分1、偏导数的定义、偏导数的定义2、偏导数的计算、偏导数的几何意义、偏导数的计算、偏导数的几何意义（偏增量比的极限）（偏增量比的极限） 小结3、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的概念；4、多元函数全微分的求法；、多元函数全微分的求法；5、多元函数连续、偏导数存在、可微的关系、多元函数连续、偏导数存在、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）28偏导数与全微分