目目 录录13.1 13.1 基本概念与运动分解基本概念与运动分解13.2 13.2 平面图形内各点的速度计算平面图形内各点的速度计算13.3 13.3 平面图形内各点的加速度计算平面图形内各点的加速度计算 刚体的平面运动是工程上常见的一种运动，这是一种较为刚体的平面运动是工程上常见的一种运动，这是一种较为复杂的运动。对它的研究可以在研究刚体的平动和定轴转动的复杂的运动。对它的研究可以在研究刚体的平动和定轴转动的基础上，通过运动合成和分解的方法，将平面运动分解为上述基础上，通过运动合成和分解的方法，将平面运动分解为上述两种基本运动然后应用合成运动的理论，推导出平面运动刚两种基本运动然后应用合成运动的理论，推导出平面运动刚体上一点的速度和加速度的计算公式。体上一点的速度和加速度的计算公式。13. .1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解一平面运动的定义一平面运动的定义 在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变。也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的保持不变。也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面内运动，具有这种特点的运动称为刚体的平面运动。某一平面内运动，具有这种特点的运动称为刚体的平面运动。例如：例如： 曲柄连杆机构中连杆AB的运动， A点作圆周运动，点作圆周运动，B点作直线运动点作直线运动，因此，AB 杆的运动既不是平动也不是定轴转动，而是平面运动。请请看看动动画画 二平面运动的简化二平面运动的简化刚体的平面运动可以简刚体的平面运动可以简化为平面图形化为平面图形S在其自身平面在其自身平面内的运动。内的运动。 即在研究平面运动时，不即在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究平面图形的运动，只需研究平面图形的运动，确定平面图形上各点的速度确定平面图形上各点的速度和加速度。和加速度。三平面运动方程三平面运动方程为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定平面图形内任意一条线段的位置。需确定平面图形内任意一条线段的位置。 任意线段任意线段AB的位置可的位置可用用A点的坐标和点的坐标和AB与与x轴夹轴夹角表示，因此图形角表示，因此图形S 的位的位置决定于三个置决定于三个独立的参变量。所以独立的参变量。所以四平面运动分解为平动和转动四平面运动分解为平动和转动 当图形当图形上上点不动时，则刚体作定轴转动；点不动时，则刚体作定轴转动； 当图形当图形上上 角不变时，则刚体作平动；角不变时，则刚体作平动；故刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动。故刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动。平面运动方程平面运动方程对于每一瞬时对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的，都可以求出对应的 ，图形，图形S在该瞬时的位置也就确定了。在该瞬时的位置也就确定了。例如例如车轮的运动。车轮的运动。 车轮的平面运动可以看成车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢的平动和相对是车轮随同车厢的平动和相对车厢的转动的合成。车厢的转动的合成。 车轮对于静系的平面运动车轮对于静系的平面运动 （绝对运动）（绝对运动） 车厢（动系车厢（动系Ax y ) 相对静系的平动相对静系的平动 （牵连运动）（牵连运动） 车轮相对车厢（动系车轮相对车厢（动系Ax y ）的转动）的转动 （相对运动）（相对运动） 我们称动系上的原点为基点基点，于是车轮的平面运动车轮的平面运动随基点随基点A的平动的平动绕基点绕基点A的转动的转动刚体的平面运动可以刚体的平面运动可以分解为随基点的平动分解为随基点的平动和绕基点的转动和绕基点的转动再例如再例如：平面图形在时间内从位置I运动到位置II1.以A为基点: 随基点A平动到AB 后,绕基点转 角到AB2.以B为基点: 随基点B平动到AB 后, 绕基点转 角到AB图中看出：AB AB AB ，。于是有 所以，平面运动随基点平动的运动规律与基点平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关。(即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的 、 都是相同的）基点的选取是任意的基点的选取是任意的。(通常选取运动情况已知的点作为基点)曲柄连杆机构曲柄连杆机构AB杆作平面运动杆作平面运动平面运动的分解平面运动的分解（请看动画）（请看动画）13. .2 平面图形内各点的速度计算平面图形内各点的速度计算根据速度合成定理则点速度为：一、基点法，又称为合成法一、基点法，又称为合成法 取B为动点, 则B点的运动可视为牵连运动为平动和相对运动为圆周运动的合成已知：图形S内一点A的速度，图形角速度求：指向与 转向一致。 取A为基点, 将动系固结于A点,动系作平动。 由于A、 B点是任意的，因此 表示了图形上任意两点速度间的关系。由于恒有 ，因此将上式在AB上投影，有速度投影定理速度投影定理 即平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相等相等。这种求解速度的方法称为 速度投影法速度投影法。即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和。这种求解速度的方法称为基点法，也称为合成法。它是求解平面图形内一点速度的基本方法。速度投影法速度投影法1. 问题的提出问题的提出 若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大简化于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何确定？ . .速度瞬心的概念速度瞬心的概念 平面图形S，某瞬时其上一点A速度 ， 图形角速度，沿 方向取半直线AL， 然后顺 的转向转90o至AL的位置，在AL上取长度 则：二、瞬心法二、瞬心法 即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心。面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心。几种确定速度瞬心位置的方法几种确定速度瞬心位置的方法 已知图形上一点的速度 和图形角速度， 可以确定速度瞬心的位置。（P点）且在 顺转向绕A点 转90的方向一侧。 已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚 动， 则图形与固定面的接触点P为速度瞬 心。 已知某瞬时图形上A 、B两点速度 大小，且(b)(a) 已知某瞬间平面图形上A,B两点速度 的方向，且 。过 A 、 B两点分别作速度 的垂线， 交点 P即为该瞬间的速度瞬心。另：对种(a)的情况，若vAvB， 则是瞬时平动。 已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相同，且不与AB连线 垂直。此时， 图形的瞬心在无穷远处,图形的角速度 =0， 图形上各点速度相等，这种情况称为瞬时平动瞬时平动。 (此时各点 的加速度不相等) 例如例如：曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动。此时连杆BC的图形角速度 ，BC杆上各点的速度都相等，但各点的加速度并不相等。设匀角速度，则 而的方向沿AC的， 瞬时平动与平动不同。瞬时平动与平动不同。. 速度瞬心法速度瞬心法利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法，称为速度瞬心法。 平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度大小为 ，方向AP，指向与 一致 。 . 注意的问题注意的问题 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。 速度瞬心处的速度为零, 加速度不一定为零。不同于定轴转动。 刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速度是不一定相同的。不同于刚体作平动。 解解：机构中，OA作定轴转动，AB作平面运动，滑块B作平动。 基点法（合成法） 研究 AB，以 A为基点，且方向如图示。（） 例例1 已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，取柄OA以匀 转动。 求：当 =45时， 滑块B的速度及AB杆的角速度。根据在点做 速度平行四边形，如图示。（）试比较上述三种方法的特点。根据速度投影定理不能求出 速度投影法 研究AB, ,方向OA, 方向沿BO直线 速度瞬心法研究AB，已知的方向，因此可确定出P点为速度瞬心。13. .3 平面图形内各点的加速度计算平面图形内各点的加速度计算 取A为基点，将平动坐标系固结于A点取B动点，则B点的运动分解为相对运动为圆周运动和牵连运动为平动。于是由牵连平动时加速度合成定理可得如下公式。已知：图形S 内一点A 的加速度 和图形 的 、 （某一瞬时）。 求：该瞬时图形上任一点B的加速度。其中：，方向AB，指向与 一致；，方向沿AB，指向A点。 即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。 这种求解加速度的方法称为这种求解加速度的方法称为基点法基点法，也称为，也称为合成法合成法。是求。是求解平面图形内一点加速度的基本方法。解平面图形内一点加速度的基本方法。 上述公式是一平面矢量方程。需知其中六个要素，方能求出其余两个。由于 方位总是已知，所以在使用该公式中，只要再知道四个要素，即可解出问题的待求量。分析：大小 ？ 2 方向 ？ 故应先求出 （） 例例2 半径为R的车轮沿直线作纯滚动,已知轮心O点的速度及加速度 ，求车轮与轨道接触点P的加速度。解解：轮O作平面运动，P为速度瞬心，由于此式在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而（） 由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心。当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心P的加速度指向轮心。以O为基点，有 其中： 做出加速度矢量图，由图中看出： （ 与 等值反向） 即解：解：(a) AB作平动， 例例3 已知O1A=O2B, 图示瞬时 O1A/O2B。 试问(a)、(b)两种情况下1和 2，1和2是否相等？(a)(b)(b) AB作平面运动, 图示瞬时作瞬时平动, 此时 例例4 曲柄滚轮机构，滚子半径R=15cm， n =60 rpm。求：当 =60时 (OAAB)，滚轮的，。翻页请看动画翻页请看动画请请看看动动画画例例4 曲柄滚轮机构解解：OA定轴转动，AB杆和轮B作平面运动研究AB：（）P为其速度瞬心分析分析： 要想求出滚轮的、 先要求出 vB, aBP2P1vBP2为轮速度瞬心取A为基点，指向O点大小？ ？ 方向 作加速度矢量图，将上式向BA线上投影）(）(研究轮B：P2为其速度瞬心 例例5 曲柄肘杆压床机构。已知：OA=0.15m ， n=300 rpm ，AB=0.76m， BC=BD=0.53m。图示位置时，AB水平求该位置时的、 及 。翻页请看动画翻页请看动画请请看看动动画画例例5 曲柄肘杆压床机构解：解：OA，BC作定轴转动， AB，BD均作平面运动 根据题意： 研究AB， P为其速度瞬心。（ ）研究BD，P2为其速度瞬心，BDP2为等边三角形DP2=BP2=BD（） 例例6 平面机构中，楔块M： =30，v=12cm/s ；盘： r = 4cm ，与 楔块间无滑动。求圆盘的及轴O的速度和B点速度。请请看看动动画画 解解：轴O， 杆OC， 楔块M均作平动， 圆盘作平面运动，P为速度瞬心。）( 例例6 平面机构中， 楔块M： =30，v=12cm/s ；盘： r = 4cm ，与 楔块间无滑动。求圆盘的及轴O的速度和B点速度。 解解：OA定轴转动 ； AB、 BC均作平面运动，滑块B和C均作平动。 求对AB杆应用速度投影定理：对BC杆应用速度投影定理： 例例7 已知已知：配气机构中，OA= r , 以等 o转动, 在某瞬时j= 60， ABBC， AB=6 r ， BC= 。求求 该瞬时滑块Cj的速度和加速度。 求以A为基点为基点求B点加速度：( a )P1为AB杆速度瞬心，而作加速度矢量图作加速度矢量图，并沿BA方向投影作加速度矢量图作加速度矢量图, P2 为BC的瞬心,而 P2C = 9 r再以再以B为基点为基点, 求将 (b) 式在BC方向线上投影注注 指向可假设，结果为正说明假设与实际指向相同，指向可假设，结果为正说明假设与实际指向相同， 反之，结果为负，说明假设与实际指向相反。反之，结果为负，说明假设与实际指向相反。30