【考纲下载考纲下载】1. 1. 理解空间直线、平面位置关系的定义理解空间直线、平面位置关系的定义2 2了解可以作为推理依据的公理和定理了解可以作为推理依据的公理和定理3 3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关 系的简单命题系的简单命题. .第第3 3讲讲 空间图形的根本关系与公理空间图形的根本关系与公理第一页，编辑于星期五：五点 八分。(1)公理公理1：如果一条直：如果一条直线上的上的 在一个平面内，那么在一个平面内，那么这条直条直线上所有的上所有的点都在点都在这个平面内个平面内(2)公理公理2：如果两个平面：如果两个平面(不重合的两个平面不重合的两个平面)有有 ，那么它，那么它们还有其他公共点，且所有有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条些公共点的集合是一条过这个公共点的直个公共点的直线两点两点一个公共点一个公共点1平面的根本性平面的根本性质质(3)公理公理3：经过 的三点，有且只有一个平面的三点，有且只有一个平面推推论1：经过 ，有且只有一个平面，有且只有一个平面推推论2：经过，有且只有一个平面，有且只有一个平面推推论3：经过，有且只有一个平面，有且只有一个平面不在同一条直不在同一条直线上上一条直一条直线和和这条直条直线外一点外一点两条相交直两条相交直线两条平行直两条平行直线第二页，编辑于星期五：五点 八分。 【思考思考】 试试看，你能看，你能说出公理出公理2的作用有哪些？的作用有哪些？答案：答案：它的作用有五个：它的作用有五个：判定两个平面相交；判定两个平面相交；证明点在直明点在直线上；上； 证明三点共明三点共线；证明三明三线共点；共点；画两个相交平面的交画两个相交平面的交线第三页，编辑于星期五：五点 八分。直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系(1) (2) (3)异面异面定义：不同在定义：不同在 一个平面内一个平面内异面直线所成的角：设异面直线所成的角：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线作直线aa，bb，把把a与与b所成的所成的 叫做异面直叫做异面直线线a，b所成的角所成的角( (或夹角或夹角) )范围范围： 平行平行相交相交任何任何锐角或直角角或直角2提提示示：要要弄弄清清楚楚“不不同同在在任任何何一一个个平平面面内内的的两两条条直直线线与与“分分别别在在两两个个平平面面内内的的两两条条直直线线这这两两种种说说法法的的区区别别前前者者所所指指的的两两条条直直线线是是异异面面直直线线，后后者者所所指指的的两两条条直直线线不不一定是异面直线一定是异面直线第四页，编辑于星期五：五点 八分。3直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系平行平行相交相交在平面内在平面内4平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系平行平行相交相交5平行公理：平行公理：平行于平行于 的两条直的两条直线互相平行互相平行同一条直同一条直线第五页，编辑于星期五：五点 八分。假假设三个平面两两相交，且三条交三个平面两两相交，且三条交线互相平行，那么互相平行，那么这三个平面把三个平面把空空间分成分成()A5局部局部 B6局部局部 C7局部局部 D8局部局部解析：如以下图，三个平面解析：如以下图，三个平面、两两相交，交线分别是两两相交，交线分别是a、b、c且且abc.观察图形，可得观察图形，可得、把空间分成把空间分成7局部局部答案：答案：C1第六页，编辑于星期五：五点 八分。a，b是异面直是异面直线，直，直线c平行于直平行于直线a，那么，那么c与与b()A一定是异面直一定是异面直线 B一定是相交直一定是相交直线C不可能是平行直不可能是平行直线 D不可能是相交直不可能是相交直线解析：由直线解析：由直线c与与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，假设为平行直线，假设bc，那么，那么ab，与，与a、b为异面直线相矛盾为异面直线相矛盾答案：答案：C2第七页，编辑于星期五：五点 八分。给出以下命出以下命题：和某一直和某一直线都相交的两条直都相交的两条直线在同一个平面内；在同一个平面内；三条两两相交的三条两两相交的直直线在同一个平面内；在同一个平面内；有三个不同公共点的两个平面重合；有三个不同公共点的两个平面重合；两两两两平行的三条直平行的三条直线确定三个平面确定三个平面其中正确命其中正确命题的个数是的个数是()A0 B1 C2 D33解析：和某一直线都相交的两条直线可以异面；三条两两相交的直解析：和某一直线都相交的两条直线可以异面；三条两两相交的直线假设交于同一点，那么可以异面；有三个不同公共点的两个平面可以线假设交于同一点，那么可以异面；有三个不同公共点的两个平面可以是相交；两两平行的三条直线可能共面是相交；两两平行的三条直线可能共面答案：答案：A第八页，编辑于星期五：五点 八分。以下如以下以下如以下图是正方体和正四面体，是正方体和正四面体，P、Q、R、S分分别是所在棱的中点，是所在棱的中点，那么四个点共面的那么四个点共面的图形是形是_4解解析析：在在选选项项中中，可可证证Q点点所所在在棱棱与与面面PRS平平行行，因因此此，P、Q、R、S四四点点不不共共面面可可证证中中四四边边形形PQRS为为梯梯形形；中中可可证四四边形形PQRS为平平行行四四边边形形；中中如如右右图图所所示示取取A1A与与BC的的中中点点为为M、N可证明可证明PMQNRS为为平面图形，且平面图形，且PMQNRS为正六边形为正六边形答案答案：第九页，编辑于星期五：五点 八分。1. 证明点共明点共线时，一般都是将点看成是两个相交平面的公共点，一般都是将点看成是两个相交平面的公共点，2.根据公理根据公理2就可以就可以证明了明了3.2证明明线共点，根本方法是先确定两条直共点，根本方法是先确定两条直线的交点，再的交点，再证交点在第三交点在第三4.条直条直线上，也可将直上，也可将直线归结为两平面的交两平面的交线，交点，交点归结为两平面的公两平面的公5.共点，由公理共点，由公理2证明点在直明点在直线上上第十页，编辑于星期五：五点 八分。 如图，空间四边形如图，空间四边形( (四个顶点不共面的四边形叫做空间四边形四个顶点不共面的四边形叫做空间四边形) )ABCDABCD，平面四边形，平面四边形EFGHEFGH的顶点分别在空间四边形的各边上，的顶点分别在空间四边形的各边上，假设假设EFEF与与GHGH不平行不平行求证：直线求证：直线EFEF、GHGH、BDBD共点共点思维点拨：先确定思维点拨：先确定EFGHEFGHP P，再证，再证PBD.PBD.【例例1】第十一页，编辑于星期五：五点 八分。设EFGHP 连结BD，由由可知可知EFEF、GHGH 、BDBD 共点共点证明：证明： EF与与GH相交相交第十二页，编辑于星期五：五点 八分。 如如以以下下图，E、F、G、H分分别是是空空间四四边形形AB、BC、CD、DA上上的的点点，且且EH与与FG相交于点相交于点O.求求证：B、D、O三点共三点共线证明：明：EAB，HAD，E平面平面ABD，H平面平面ABD. EH平面平面ABD.EHFGO，O平面平面ABD. 同理可同理可证O平面平面BCD，O平面平面ABD平面平面BCD，即，即OBD，所以所以B、D、O三点共三点共线.变式变式1：第十三页，编辑于星期五：五点 八分。证明点明点线共面的常用方法共面的常用方法1纳入平面法：先确定一个平面，再入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、明有关点、线在此平面内在此平面内2辅助平面法：先助平面法：先证明有关的点、明有关的点、线确定平面确定平面，再，再证明其余元素确定明其余元素确定平面平面，最后，最后证明平面明平面、重合重合3反反证法：可以假法：可以假设这些点和直些点和直线不在同一个平面内，然后通不在同一个平面内，然后通过推理，推理，找出矛盾，从而否找出矛盾，从而否认假假设，肯定，肯定结论第十四页，编辑于星期五：五点 八分。 E、F分分别是是长方体方体AC1的棱的棱A1A、C1C上的点，并且上的点，并且A1ECF，求求证：B、F、D1、E四点共面四点共面【例例2】第十五页，编辑于星期五：五点 八分。证明：如以下图，在棱证明：如以下图，在棱B1B上取点上取点G使使BG=A1E.A1AB1B，A1EBG是平行四边形，是平行四边形，A1GBE.那么那么A1GFD1是平行四是平行四边形形A1GD1F.BED1F.BE和和D1F确定一个平面，即确定一个平面，即B、F、D1、E四点共面四点共面.第十六页，编辑于星期五：五点 八分。判定空判定空间两条直两条直线是异面直是异面直线有两种方法：有两种方法：(1)定定义法；法；(2)反反证法法 如右如右图所示，正方体所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，中，M、N分分别是是A1B1，B1C1的中点的中点问：(1)AM和和CN是否是异面直是否是异面直线？说明理由；明理由；(2)D1B和和CC1是否是异面直是否是异面直线？说明理由明理由【例例3】思维点拨：思维点拨：(1)由于由于M、N分别是分别是A1B1和和B1C1中点，可证明中点，可证明MNAC，因此，因此AM与与CN不是异面直线不是异面直线(2)由空间图形可感知由空间图形可感知D1B和和CC1为异面直线的可能性较大，判断为异面直线的可能性较大，判断的方法可用反证法的方法可用反证法第十七页，编辑于星期五：五点 八分。解：解：(1)不是异面直线理由：不是异面直线理由：M、N分别是分别是A1B1、B1C1的中点的中点MNA1C1，又，又A1A綊綊D1D，而，而D1D綊綊C1C，A1A綊綊C1C，四边形四边形A1ACC1为平行四边形为平行四边形A1C1AC，得到，得到MNAC，A、M、N、C在同一个平面内，故在同一个平面内，故AM和和CN不是异面直线不是异面直线(2)是异面直线，证明如下：是异面直线，证明如下：假设假设D1B与与CC1在同一个平面在同一个平面D1CC1内，那么内，那么B平面平面CC1D1，C平面平面CC1D1.BC平面平面CC1D1，B面面CC1D1D，这与，这与ABCDA1B1C1D1是正方体相矛盾是正方体相矛盾假设不成立，故假设不成立，故D1B与与CC1是异面直线是异面直线.第十八页，编辑于星期五：五点 八分。【方法规律方法规律】主要题型的解题方法主要题型的解题方法(1)要证明要证明“线共面线共面或或“点共面点共面可先由局部点或直线确定一个平面，可先由局部点或直线确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内再证其余直线或点也在这个平面内(即即“纳入法纳入法)(2)要证明要证明“点共线点共线可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理这两个平面的公共点，根据公理2可知这些点在交线上，因此共线可知这些点在交线上，因此共线1判定空间两条直线是异面直线的方法判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点判定定理：平面外一点A与平面内一点与平面内一点B的连线和平面内不经过的连线和平面内不经过该点该点B的直线是异面直线的直线是异面直线(2)反证法：证明两线平行、相交不可能或证明两线共面不可能，从反证法：证明两线平行、相交不可能或证明两线共面不可能，从而可得两线异面而可得两线异面.2第十九页，编辑于星期五：五点 八分。(12分分)在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，ABCD3，点，点E、F分别是边分别是边BC和和AD上的点，并上的点，并且且BE ECAF FD1 2，EF如以下图，求异面直线如以下图，求异面直线AB和和CD所成角的大小所成角的大小第二十页，编辑于星期五：五点 八分。【阅卷实录阅卷实录】第二十一页，编辑于星期五：五点 八分。第二十二页，编辑于星期五：五点 八分。【教师点评教师点评】第二十三页，编辑于星期五：五点 八分。【标准解答】【标准解答】在在BCD中中， EGDC 2分分同理在同理在ABD中，中，GFAB AB 4分分EG和和FG所成的锐角所成的锐角( (或直角或直角) )就是异面直线就是异面直线AB和和CD所成的角所成的角(EGF就是就是AB与与CD所成的角或其补角所成的角或其补角) 6分分解：解：在在BD上取靠近上取靠近B的三等分点的三等分点G，连接连接FG、GE， 1分分第二十四页，编辑于星期五：五点 八分。在在BCD中，由中，由GECD，CD=3， = ，得，得EG=1.在在ABD中，由中，由FGAB，AB=3， = ，得，得FG=2.在在EFG中，中，EG=1，FG=2，EF=由余弦定理，得由余弦定理，得cosEGF . 10分分EGF120，AB与与CD所成角所成角为为60. 12分分第二十五页，编辑于星期五：五点 八分。【状元笔记状元笔记】 因因为为异异面面直直线线所所成成角角的的取取值值范范围围是是090，所所以以当当在在三三角角形形中中求求的的角角为为钝钝角角时时，应应取取它它的的补补角角作作为为异异面面直直线线所所成成的的角角求求异异面面直直线线所所成成的的角角，通通常常通通过过平平移移或或放放缩缩，将两条异面直线转化为三角形中的两边所成的角将两条异面直线转化为三角形中的两边所成的角点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册第二十六页，编辑于星期五：五点 八分。