第第6262讲讲 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系11能用坐标法解决简单的直线与圆锥 曲线的位置关系等问题2理解数形结合思想、方程思想的应用2B32.若ab且ab0,则直线ax-y+b=0和二次曲线bx2+ay2=ab的位置关系可能是( )C4 由已知，直线方程可化为y=ax+b,其中a为斜率,b为纵截距，二次曲线方程可化为 =1，应用淘汰法可知A、B、D均自相矛盾.故选C.解析5A6解析7281直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，若 0，则直线与椭圆_；若 =0，则直线与椭圆_；若 0时，直线与双曲线_；当 =0时，直线与双曲线_；当 b0)的一条弦，M(x0，y0)是AB的中点，则 =_， =_.点差法求弦的斜率的步骤是：()将端点坐标代入方程： ；()两等式对应相减： .()分解因式整理： 12(2)运用类比的方法可以推出：已知AB是双曲线 - =1的弦，弦AB的中点为M( ， )，则 =_.已知抛物线 =2px(p0)的弦AB的中点为M( )，则 =_. 133弦长公式14题型一 直线与圆锥曲线的位置关系例1分析15解析1617 评析 在讨论直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形18变式1解析1920题型二 弦长及中点弦问题例2分析21解析22评析23变式2解析24评析25 过点(1,0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为 的椭圆C相交于A、B两点，直线y= x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.题型三 直线与圆锥曲线的综合问题例326 (方法一)由e= = ,得 = ,从而a2=2b2,c=b.设椭圆的方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12-x22)+2(y12-y22)=0,即 =- .设线段AB的中点为(x0,y0)，则kAB=- .又(x0,y0)在直线y= x上，所以 = x0，解析27于是- =-1,故kAB=-1,所以直线l的方程为y=-x+1.设右焦点(b,0)关于直线l的对称点为(x,y), =1 x=1 y=1-b.由点(1,1-b)在椭圆上，得1+2(1-b)2=2b2,则b2= ,故a2= .所以所求椭圆C的方程为 =1,直线l的方程为y=-x+1.则,解得28(方法二)由e= = ，得 = ,从而a2=2b2,c=b.设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,直线l的方程为y=k(x-1).将直线l的方程代入椭圆C的方程，得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2b2=0,则x1+x2= ,故y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=- .29直线l:y= x过线段AB的中点( , ),则 = ,解得k=0或k=-1.若k=0,则直线l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不可能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=-1，故直线l的方程为y=-(x-1),即y=-x+1,以下同方法一.30 由题设情境中点在直线y= x上，联想“点差法”，从而应用点差法及点在直线y= x上而求得直线l的方程，进一步应用对称的几何性质求得“对称点”，利用“对称点”在椭圆上求得椭圆方程，同时应注意，涉及弦的中点与弦的斜率问题常常可应用“点差法”求解.评析31变式3分析32解析33解析343536 评析本例主要涉及的知识有直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力 1.直线交双曲线右支，联立方程后得到的关于x的方程的根分布的区间(0，+)上，由一元二次方程根分布的区间的充要条件得到了关于k的不等式组，可求出k的取值范围 2.问题(2)中，假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F，这时用了圆的几何性质FAFB，再转化为坐标之间的关系，结合韦达定理，得到k的方程，求出k值371.直线与圆锥曲线位置关系探究方法.直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度来看有三种：相离、相交和相切.从代数角度一般通过他们的方程来研究：设直线l:Ax+By+C=0，二次曲线C:f(x,y)=0.联立方程组 Ax+By+C=0 f(x,y)=0,消去y(或x)得到一 个 关 于 x(或 y)的 方 程 ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)，然后利用方程根的个数判定，同时应注意如下五种情况：38(1)对于椭圆来说，a不可能为0，即直线与椭圆有一个公共点，直线与椭圆必相切；反之，直线与椭圆相切，则直线与椭圆必有一个公共点.(2)对于双曲线来说，当直线与双曲线有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行.(3)对于抛物线来说，当直线与抛物线有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合.39(4)0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件.(5)0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件.402.数形结合思想的应用.要注意数形结合思想的运用.在做题时，最好先画出草图，注意观察、分析图形的特征，将形与数结合起来.特别地：(1)过双曲线 外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条；41P点在两渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P为原点时，不存在这样的直线.(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.423.特殊弦问题探究方法.(1)若弦过焦点时（焦点弦问题），焦点弦的弦长的计算一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用焦半径公式求解.(2)若问题涉及弦的中点及直线斜率问题（即中点弦问题），可考虑“点差法”（即把两点坐标代入圆锥曲线方程，然后两式作差），同时常与根和系数的关系综合应用.43错解44错解分析45正解4647