第五讲第五讲微积分运算微积分运算4.1 求极限运算求极限运算lMathematica提供了计算函数极限的命令的一般形式为：Limit函数函数, 极限过程极限过程l具体命令形式为命令形式命令形式1: Limitf, x-x0功能功能:计算 , 其中f是x的函数。命令形式命令形式2: Limitf, x-x0, Direction-1功能功能:计算，即求左极限, 其中f是x的函数。命令形式命令形式3: Limitf, x-x0, Direction-1功能功能:计算，即求右极限，其中f是x的函数。注意注意:在左右极限不相等或左右极限有一个不存在时,Mathematica的默认状态为求右极限。例1. 求极限解：Mathematica 命令为In1:=Limitn2*Sin1/n2,n-InfinityOut1=1例例2: 求极限解：求极限解：Mathematica 命令为命令为In2:=Limit(1+1/n)n, n-InfinityOut2=E例例3: 写出求函数写出求函数 在在x-0的三个极限命令的三个极限命令解：解：Mathematica 命令为命令为1.LimitExp1/x, x-02.LimitExp1/x, x-0, Direction-13.LimitExp1/x, x-0, Direction-1例例4.求解：求解：Sinx/x x-的极限的极限Mathematica 命令为命令为lIn3:=LimitSinx/x, x-InfinityOut3=2lOut3=0例例5求解：求解：e1/x x-0-的极限的极限lIn4:= LimitExp1/x, x-0, Direction-1lOut4=0例例6求解：求解：1/(x*(lgx)2)-1/(x-1)2在在x-1的极限的极限lIn5:= Limit1/(x*Logx2)-1/(x-1)2, x-1lOut5=1/12l例7. 求极限解： sinxtanx (x-Pi/2)Mathematica 命令为In1:=LimitSinxTanx, x-Pi/2Out1=1例例8: 求极限解求极限解 cos(1/x) (x-0)Mathematica 命令为命令为In2:=LimitCos1/x,x-0Out2=Interval-1, 1例例9: 求极限解求极限解 e1/x (x-0+)Mathematica 命令为命令为In3:=LimitExp1/x, x-0, Direction-1Out3=例例10 求极限解求极限解:若输入命令若输入命令In4:=Limit IntegrateArcTant2, t,0,x / Sqrt1+x2 , x-+Infinity屏幕会出现如下的红色英文提示信息屏幕会出现如下的红色英文提示信息: On:none: Message SeriesData:csa not found. ComplexInfinity + encountered.说明不能得出正确结果。此时可以借助人工处理，如用一次说明不能得出正确结果。此时可以借助人工处理，如用一次洛必达法则后再求极限洛必达法则后再求极限:In5:=LimitArcTanx2/(x/Sqrt1+x2), x-InfinityOut5=l4.2 求导数与微分求导数与微分 4.2.1 求一元函数的导数与微分求一元函数的导数与微分l例例6:变上限函数变上限函数 求导求导解：解：Mathematica 命令为命令为In6:=DIntegrateSqrt1-t2, t,0,x2, xOut6= In7:=Simplify%Out7= 显函数求导显函数求导命令形式命令形式1: Df, x 功能功能:求函数求函数f对x的导数。命令形式命令形式2: Df, x, n 功能功能:求函数求函数f对x的n阶导数。参数方程求导参数方程求导l对参数方程 所确定的函数y=f(x),根据公式和命令形式1，可用三个Mathematica命令实现对参数方程的求导: r=Dx, t； s=Dy,t； Simplifys/r 或用Mathematica自定义一个函数： pDx_, y_, t_:=Modules=Dy,t, r=Dx,t, Simplifys/r 来实现。 例7.求参数方程 的一阶导数 解:Mathematica命令In8:=x=t*(1-Sint);y=t*Cost; s=Dy,t; r=Dx,t; Simplifys/r Cost - t SintOut8= - 1 - t Cost - Sint或In9:= pDx_,y_,t_:=Modules=Dy,t, r=Dx,t, Simplifys/rIn10:= pDt*(1-Sint ), t*Cost, t Cost - t SintOut10= - 1 - t Cost - Sint隐函数求导隐函数求导 由方程f(x, y) = 0所确定的函数y=y(x)的导数可用一个自定义函数完成，这个函数为: impDeqn_,y_,x_:=Modules, r, t, s=Deqn, x, NonConstants-y; r=Solves, Dy, x, NonConstants-y; t=Dy,x, NonConstants-y/.r; Simplifyt 例例8. In11:= DTanx+a,xOut11= Seca + x 2In12:=D2(x/Logx),xOut12= In13:=Dx*Tanx-Sqrtx,xOut13=In14:=DSinxn*Cosn*x,xOut14=In15:=PlotEvaluateDSinx2,x,x,-2,2Out15= 练习练习. 1 要对一个方程求导，应该怎么做？ 例如方程y5+2y-x-3x7=02 选择一道与求导有关的应用题，用mathematica数学软件命令来计算。 微分微分 微分是函数增量的线性主部，函数微分是函数增量的线性主部，函数y=f(x)的微分与导数的的微分与导数的关系为关系为: dy = df =f (x)dxMathematica命令为：命令为：命令形式：命令形式：Dtf 功能功能:对函数对函数f(x)求微分求微分df例例9. 求微分求微分.解解:In13:=DtSinx2 Out13=2 x Cosx2 DtxIn14:=DtSinv Out14=Cosv Dtv例例. lIn1:=DtSinu6 Out1=6 CosuDtuSinu5lIn2:=Dtx*Sin2x Out2= 练习练习. 1 一幢楼的后面是一个很大的花园，在花园中紧靠着楼房有一个温室，温室深入花园宽2m，高3m，温室正上方是楼房的窗台。清洁工打扫窗台周围，他得用梯子越过温室，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上。因为温室是不能承受梯子压力的，所以梯子太短不行，现有一架7m长的梯子。问：它能达到要求吗？通过mathematica计算至少需要多长？2 在你所学的微积分教材中，选择两道有关泰勒公式计算的习题，用mathematica数学软件命令来计算。 l4.2.2 求多元函数偏导数与全微分求多元函数偏导数与全微分l偏导数偏导数对多元函数对多元函数f(x1,x2,xn)的求导数的命令有如下几个：的求导数的命令有如下几个：l命令形式命令形式1: Df, x或或 Df,x,n l功能功能:求函数求函数f对对x的偏导数；的偏导数；l命令形式命令形式2: Df, x1, x2, l功能功能:求函数求函数f高阶混合偏导数；高阶混合偏导数；l命令形式命令形式3: Df, x, NonConstants-v1,v2,l功能功能:求函数求函数f对对x的偏导数，其中的偏导数，其中v1,v2,是关于是关于x的函数。的函数。例10: 求z=asin(xy)对y和 对z的偏导数.解:Mathematica命令In15:=Da*Sinx*y, y Out15=axCosx yIn16:=DExpx+y+z2, z Out16=例例11:对函数 ,求解:Mathematica命令In17:=Dx3 *y2+Sinx*y, x, y Out17=例例12: 对函数 , 求解:Mathematica命令 In18:=Dx3 *y2+Sinx y, x,3; Out18=例例13. ，其中y，z是x的函数。解:Mathematica命令In19:=Dx2+y2+z2, x, NonConstants-y, zOut19=2 x + 2 y Dy, x, NonConstants - y, z + 2 z Dz, x, NonConstants - y, z例例例例全微分全微分多元函数多元函数f(x,y,z,)的全微分命令同一元函数的微分，其命令为：的全微分命令同一元函数的微分，其命令为：命令形式命令形式: Dtf 功能功能:求函数求函数f的全微分。的全微分。例例14:求求 的全微分的全微分dz。解解:Mathematica命令命令In20:=Dtx2+y2Out20=2 x Dtx + 2 y Dty Mathematica有如下两个求全导数的命令：有如下两个求全导数的命令：命令形式命令形式1: Dtf, x 功能功能: 求函数求函数f的全导数。的全导数。命令形式命令形式2: Dtf, x, Constants-c1,c2,功能功能: 求函数求函数f的全导数，其中的全导数，其中f中的变元与中的变元与x无关。无关。例例15:求求 的全导数，其中的全导数，其中y是是x的函数。的函数。解解:Mathematica命令命令In21:=Dtx2+y2,xOut21=2 x + 2 y Dty, x例例16:求求 ，其中，其中y是与是与x无关的独立变量。无关的独立变量。解解:Mathematica命令命令In22:=Dtx2+Sinx y+z2, x, Constants-yOut22=2 x + y Cosx y + 2 z Dtz, x, Constants - y 求不定积分求不定积分命令形式命令形式:Integratef, x功能功能:计算不定积分。例例17:计算解:Mathematica命令In23:=Integrate1/(Sinx2 Cosx2),xOut23=-(Cos2 x Cscx Secx)l求定积分求定积分l命令形式命令形式1: Integratefx,x,xmin,xmaxl功能功能:计算定积分，计算定积分，xmin，xmax分别表示积分变量的下分别表示积分变量的下限和上限。限和上限。l命令形式命令形式2: NIntegratefx,x,xmin,xmaxl功能功能:计算定积分的数值积分，计算定积分的数值积分，xmin，xmax必须是数字，必须是数字，不能是字母。不能是字母。l命令形式命令形式3:lIntegratefx,y, x, xmin, xmax, y, ymin, ymaxl功能功能:计算重积分计算重积分,xmin,xmax ,ymin,ymax表示积分限。表示积分限。例18.计算定积分解:Mathematica命令In24:=Integrate(1+x-1/x)*Expx+1/x, x, 1/2, 2Out24= 例19.计算广义积分解:Mathematica命令In25:=Integrate1/x4, x, 1, +InfinityOut25:= 例20.计算瑕积分解:Mathematica命令In26:=Integratex/Sqrt1-x2, x, 0, 1Out26=1例例21:计算定积分计算定积分解解:本题用定积分基本公式是积不出来的，用上面命令本题用定积分基本公式是积不出来的，用上面命令2可以计算可以计算出结果：出结果：In27:=NIntegrateExpx2, x, 0, 1例例22：计算，计算，D由由y=1,x=4,x=2y所围所围解解: 对二重积分要先化为累次积分，定好积分限后，再使用命令形对二重积分要先化为累次积分，定好积分限后，再使用命令形式式3。本题的本题的Mathematica命令为命令为In28:=Integratex*y, x, 2, 4, y, 1, x/2 Out28=例例23.计算计算解解:Mathematica命令命令In29:=Integratex2+y, x, 0, 1, y, x2, SqrtxOut29=函数展开成幂级数函数展开成幂级数命令形式命令形式:Seriesf, x, x0, nl功能功能:把函数f在x=x0点展开成幂级数，最高项为n次。命令形式命令形式:Normalexprl功能功能:去掉幂级数表达式expr中的截断误差项，获得剩余的多项式。例例24.将函数将函数 展开为展开为x的最高次为的最高次为6的幂级数。的幂级数。l解:Mathematica命令lIn30:=Seriesx*ArcTanx-LogSqrt1+x2, x, 0, 6lOut30=例例25.将函数 展开为关于(x-2)的最高次为4的幂级数。解:Mathematica命令In31:=Series1/x2, x, 2, 4Out31= In32:= Normal%Out32= 数学实验:用正弦函数用正弦函数sin x的不同的不同Taylor展式观察函数的展式观察函数的Taylor逼近特点。逼近特点。 练习练习. 1 在某化学反应里，由实验得到生成物的浓度在某化学反应里，由实验得到生成物的浓度y与时间与时间t有如下表所示的关系，求浓度与时间的关系的经验有如下表所示的关系，求浓度与时间的关系的经验公式。公式。2 在你学习过的数学教材中，分别选择一道有关偏导数在你学习过的数学教材中，分别选择一道有关偏导数和全微分的习题，用和全微分的习题，用mathematica数学软件命令来数学软件命令来计算。计算。 t/min12345678y46.488.49.289.59.79.86t/min910111213141516y1010.210.3210.4210.510.5510.5810.6