第二节 正态总体均值的假设检验一、单个总体均值一、单个总体均值 的检验的检验二、两个总体均值差的检验二、两个总体均值差的检验(t 检验检验)三、基于成对数据的检验三、基于成对数据的检验(t 检验检验)四、小结四、小结1一、单个总体 均值 的检验2一个有用的结论一个有用的结论有相同的拒绝域有相同的拒绝域.3证明证明从直观上看从直观上看, 合理的检验法则是合理的检验法则是:由标准正态分布的分布函数由标准正态分布的分布函数 的单调性可知的单调性可知,45第二类形式的检验问题可归结为第一类形式讨论第二类形式的检验问题可归结为第一类形式讨论.6例例1 某切割机在正常工作时某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的切割每段金属棒的平均长度为平均长度为10.5cm, 标准差是标准差是0.15cm, 今从一批产今从一批产品中随机的抽取品中随机的抽取15段进行测量段进行测量, 其结果如下其结果如下:假定切割的长度服从正态分布假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变且标准差没有变化化, 试问该机工作是否正常试问该机工作是否正常?解解7查表得查表得89定理三定理三根据根据第六章第六章2定理三定理三知知,10 在实际中在实际中, 正态总体的方差常为未知正态总体的方差常为未知, 所以所以我们常用我们常用 t 检验法来检验关于正态总体均值的检检验法来检验关于正态总体均值的检验问题验问题.上述利用上述利用 t 统计量得出的检验法称为统计量得出的检验法称为t 检验法检验法.11 如果在例如果在例1 1中只中只假定切割的长度服从正态分假定切割的长度服从正态分布布, 问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变化化?解解查表得查表得t t分布表分布表例例212 某种电子元件的寿命某种电子元件的寿命X(以小时计以小时计)服从正态服从正态分布分布, 均为未知均为未知. 现现测得测得16只元件的寿命只元件的寿命如下如下:问是否有理由认为元件的平均寿命大于问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时小时)?例例3解解依题意需检验假设依题意需检验假设13查表得查表得t t分布表分布表14典型例题解解 设某次考试的考生成绩服从正态分布设某次考试的考生成绩服从正态分布, 从中从中随机地抽取随机地抽取36位考生的成绩位考生的成绩, 算得平均成绩为算得平均成绩为66.5分分, 标准差为标准差为15分分, 问在显著性水平问在显著性水平0.05下下, 是否是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分分? 并给出检验过程并给出检验过程.需检验假设需检验假设:例例115查表查表 8-1 知拒绝域为知拒绝域为16二、两个总体 的情况 利用利用t检验法检验具有相同方差的两正态总检验法检验具有相同方差的两正态总体均值差的假设体均值差的假设.17定理四定理四根据根据第六章第六章2定理四定理四知知,18其拒绝域的形式为其拒绝域的形式为19故拒绝域为故拒绝域为 关于均值差的其它两个检验问题的拒绝域关于均值差的其它两个检验问题的拒绝域见表见表8.1, 当两个正态总体的方差均为已知当两个正态总体的方差均为已知(不一定相不一定相等等)时时,我们可用我们可用 Z 检验法来检验两正态总体均值检验法来检验两正态总体均值差的假设问题差的假设问题, 见表见表8.1 .20例例4 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率的建议是否会增加钢的得率, 试验是在同一只平试验是在同一只平炉上进行的炉上进行的. 每炼一炉钢时除操作方法外每炼一炉钢时除操作方法外, 其它其它条件都尽可能做到相同条件都尽可能做到相同.先采用标准方法炼一炉先采用标准方法炼一炉, 然后用建议的新方法炼一炉然后用建议的新方法炼一炉, 以后交替进行以后交替进行, 各各炼了炼了10炉炉, 其得率分别为其得率分别为(1)标准方法标准方法: 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; (2)新方法新方法:79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 78.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1; 设这两个样本相互独立设这两个样本相互独立, 且分别来自正态总且分别来自正态总体体问建议的新操作方法能否提高得率问建议的新操作方法能否提高得率?21解解分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本方差方差:22即认为建议的新操作方法较原来的方法为优即认为建议的新操作方法较原来的方法为优.附表附表8.18.1查表查表8.1知其拒绝域为知其拒绝域为23例例5 有甲有甲、乙两台机床加工相同的产品乙两台机床加工相同的产品, 从这两台从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干件机床加工的产品中随机地抽取若干件, 测得产品直测得产品直径径(单位单位:mm)为为机床甲机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9机床乙机床乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2, 试比较甲试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著乙两台机床加工的产品直径有无显著差异差异? 假定假定两台机床加工的产品直径都服从正态两台机床加工的产品直径都服从正态分布分布, 且总体方差相等且总体方差相等.解解24即甲即甲、乙两台机床加工的产品直径无显著差异乙两台机床加工的产品直径无显著差异. 25三、基于成对数据的检验( t 检验 ) （不作要求，可以忽略） 有时为了比较两种产品有时为了比较两种产品, 或两种仪器或两种仪器, 两种两种方法等的差异方法等的差异, 我们常在相同的条件下作对比试我们常在相同的条件下作对比试验验, 得到一批成对的观察值得到一批成对的观察值. 然后分析观察数据然后分析观察数据作出推断作出推断. 这种方法常称为这种方法常称为逐对比较法逐对比较法.例例6 有两台光谱仪有两台光谱仪Ix , Iy ,用来测量材料中某种用来测量材料中某种金属的含量金属的含量, 为鉴定它们的测量结果有无显著差为鉴定它们的测量结果有无显著差异异, 制备了制备了9件试块件试块(它们的成分、金属含量、均它们的成分、金属含量、均匀性等各不相同匀性等各不相同), 现在分别用这两台机器对每现在分别用这两台机器对每一试块测量一次一试块测量一次, 得到得到9对观察值如下对观察值如下:26问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异?解解 本题中的数据是成对的本题中的数据是成对的, 即对同一试块测即对同一试块测出一对数据出一对数据, 我们看到一对与另一对之间的差我们看到一对与另一对之间的差异是由各种因素异是由各种因素, 如材料成分、金属含量、均如材料成分、金属含量、均匀性等因素引起的匀性等因素引起的. 这也表明不能将光谱仪这也表明不能将光谱仪Ix 对对9个试块的测量结果个试块的测量结果(即表中第一行即表中第一行)看成是一看成是一个样本个样本, 同样也不能将表中第二行看成一个样同样也不能将表中第二行看成一个样本本, 因此不能用表因此不能用表8.1中第中第4栏的检验法作检验栏的检验法作检验.27 而同一对中两个数据的差异则可看成是仅而同一对中两个数据的差异则可看成是仅由这两台仪器性能的差异所引起的由这两台仪器性能的差异所引起的. 这样这样, 局限局限于各对中两个数据来比较就能排除种种其他因于各对中两个数据来比较就能排除种种其他因素素, 而只考虑单独由仪器的性能所产生的影响而只考虑单独由仪器的性能所产生的影响.表中第三行表示各对数据的差表中第三行表示各对数据的差若两台机器的性能一样若两台机器的性能一样,随机误差可以认为服从正态分布随机误差可以认为服从正态分布, 其均值为零其均值为零.28按表按表8.1中第二栏中关于单个正态分布均值的中第二栏中关于单个正态分布均值的 t 检检验验, 知拒绝域为知拒绝域为认为这两台仪器的测量结果无显著的差异认为这两台仪器的测量结果无显著的差异. 29四、小结本节学习的正态总体均值的假设检验有本节学习的正态总体均值的假设检验有:正态总体均值、方差的检验法见下表正态总体均值、方差的检验法见下表30 432 13176532