3 泰勒级数 设函数 f (z)在区域D内解析, 而|z-z0|=r为D内以z0为中心的任何一个圆周, 它与它的内部全含于D, 把它记作K, 又设z为K内任一点.z0Kzrz按柯西积分公式, 有且z0Kzrz由解析函数高阶导数公式,上式可写成在K内成立, 即 f (z)可在K内用幂级数表达.q与积分变量z无关, 且0q1.z0Kzrz K含于D, f (z) 在D内解析, 在K上连续, 在K上有界, 因此在K上存在正实数 M 使| f (z) | M.因此, 下面的公式在K内成立:称为f (z)在z0的泰勒展开式, 它右端的级数称为 f (z)在z0处的泰勒级数. 圆周K的半径可以任意增大, 只要K在D内. 所以, 如果z0到D的边界上各点的最短距离为d, 则 f (z)在z0的泰勒展开式在圆域 |z-z0|d 内成立.定理定理(泰勒展开定理) 设 f (z)在区域D内解析, z0为D内的一点, d为z0到D的边界上各点的最短距离, 则当|z-z0|d 时, 注注： 如果 f (z)在z0解析, 则使 f (z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径 R等于从z0到 f (z)的距z0最近一个奇点a 的距离, 即R=|a-z0|. yz0ax 任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数, 因而是唯一唯一的. 利用泰勒展开式, 我们可以直接通过计算系数:把 f (z)在z0展开成幂级数, 这被称作直接展开法例如, 求 ez 在 z = 0处的泰勒展开式, 由于(ez)(n) = ez, (ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,.) ， 故有因为ez在复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成立, 收敛半径为+.同样, 可求得sin z与cos z在z=0的泰勒展开式:除直接法外, 也可以借助一些已知函数的展开式, 利用幂级数的运算性质和分析性质, 以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式, 此方法称为间接展开法. 例如sin z在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:解 由于函数有一奇点z=-1, 而在|z|1内处处解析, 所以 可在|z|1内展开成z的幂级数. 因为 例1 把函数 展开成z的幂级数. 例2 求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.解 ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的, -1是它的奇点, 所以可在|z|1展开为z的幂级数.-1OR=1xy推论推论1： 注：推论推论2： 推论推论3:幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点. (即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛)例如：推论推论4：例如：而如果把函数中的x换成z, 在复平面内来看函数1-z2+z4-它有两个奇点i, 而这两个奇点都在此函数的展开式的收敛圆周上, 所以这个级数的收敛半径只能等于1. 因此, 即使我们只关心z的实数值, 但复平面上的奇点形成了限制. 在实变函数中有些不易理解的问题, 一到复变函数中就成为显然的事情, 例如在实数范围内, 展开式的成立必须受|x|R1时, 即| z |R, 因此, 只有在R1|z-z0|R2的圆环域, 原级数才收敛.z0R1R2例如级数在收敛圆环域内也具有. 例如, 可以证明, 上述级数在收敛域内其和函数是解析的, 而且可以逐项求积和逐项求导.幂级数在收敛圆内的许多性质, 级数现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成幂级数?先看下例.其次,在圆环域:0|z-1|1内也可以展开为z-1的幂级数:1Oxy定理定理 设 f (z)在圆环域 R1 |z-z0| R2内解析, 则C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线.证 设z为圆环域内的任一点, 在圆环域内作以z0为中心的正向圆周K1与K2, K2的半径R大于K1的半径r, 且使z在K1与K2之间.R1R2zrK1zRK2zz0由柯西积分公式得R1R2zrK1zRK2zz0因此有如果在圆环域内取绕z0的任何一条正向简单闭曲线C, 则根据闭路变形原理, 这两个式子可用一个式子来表示:Cz0R1R2称为函数f (z)在以z0为中心的圆环域: R1|z-z0|R2内的洛朗(Laurent)展开式, 它右端的级数称为 f (z)在此圆环域内的洛朗级数. 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的, 这个级数就是 f (z)的洛朗级数. 根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以用代数运算, 代换, 求导和积分等方法去展开, 以求得洛朗级数的展开式.解： 函数 f (z) 在圆环域 i) 0 |z| 1; ii) 1| z| 2; iii) 2 |z| + 内是处处解析的, 应把 f (z)在 这些区域内展开成洛朗级数.xyO1xyO12xyO2先把 f (z)用部分分式表示:ii) 在1 |z| 2内：iii) 在2|z|+内:例2 把函数解 因有函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析, 因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例). 我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆. 所谓洛朗展开式的唯一性, 是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的. 例如在 z=i 和z=-i处展开函数 为洛朗级数。在复平面内有两个奇点: z=0与z=-i, 分别在以i为中心的圆周: |z-i|=1与|z-i|=2上.因此, f (z)在以i为中心的圆环域(包括圆域)内的展开式有三个:1)在|z-i|1中的泰勒展开式; 2)在1|z-i|2中的洛朗展开式; 3)在2|z-i|+中的洛朗展开式;在复平面内有一个奇点: z=0在以-i为中心的圆周:|z+i|=1上.因此, f (z)在以-i为中心的圆环域内的展开式有二个: 1)在0 |z+i|1中的洛朗展开式; 2)在1|z+i| +中的洛朗展开式。O-ii特别的，当洛朗级数的系数公式（即可利用Laurent系数计算积分） 其中C为圆环域R1|z-z0|R2内的任何一条简单闭曲线, f (z) 在此圆环域内解析.例解：例4 解：故c-1=-2,