兰州交通大学数理与软件工程学院第三章第三章 微分中值定理与导数的运用微分中值定理与导数的运用第一节第一节 微分中值定理微分中值定理第二节第二节 洛必达法那么洛必达法那么第三节第三节 泰勒公式泰勒公式第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性兰州交通大学数理与软件工程学院第七节第七节 曲率曲率第六节第六节 函数图形的描画函数图形的描画第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值兰州交通大学数理与软件工程学院第一节第一节 微分中值定理微分中值定理一、罗尔定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理前往前往兰州交通大学数理与软件工程学院2019-4-10一、罗尔一、罗尔(Rolle)(Rolle)定理定理费马引理费马引理 设函数设函数f(x)f(x)在点在点 的某领域的某领域 内有定义，并且内有定义，并且在在 处可导，假设对恣意的处可导，假设对恣意的 ，有，有那么那么证证 无妨设无妨设 时，时， 假设假设可类似的证明可类似的证明. . 于是，对于于是，对于 ，有，有从而当从而当 时，时，兰州交通大学数理与软件工程学院当当 时时根据函数根据函数f (x)f (x)在在 可导的条件极限的保号性，便得到可导的条件极限的保号性，便得到所以所以兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院几何解释几何解释: :例如例如, ,2019-4-10兰州交通大学数理与软件工程学院证证2019-4-10兰州交通大学数理与软件工程学院2019-4-10兰州交通大学数理与软件工程学院例例例例上例阐明罗尔定理的条件是结论成立的充分条件上例阐明罗尔定理的条件是结论成立的充分条件, 但不但不是必要条件是必要条件.2) 罗尔定理的结论中罗尔定理的结论中 不是独一的不是独一的.1) 罗尔定理的三个条件对于结论的成立都是重要的罗尔定理的三个条件对于结论的成立都是重要的.关于罗尔定理的几点阐明关于罗尔定理的几点阐明3) 将罗尔定理的条件将罗尔定理的条件1.2.换为换为a,b上可导上可导,结论仍成立结论仍成立.2019-4-10兰州交通大学数理与软件工程学院例例1 1证证由介值定理由介值定理即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.矛盾矛盾,2019-4-10前往前往兰州交通大学数理与软件工程学院二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定理中值定理2019-4-10兰州交通大学数理与软件工程学院几何解释几何解释: :证证 分析分析: :弦弦AB方程为方程为2019-4-10兰州交通大学数理与软件工程学院作辅助函数作辅助函数留意留意: :拉氏公式准确地表达了函数在一个区间上的增量与函拉氏公式准确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系数在这区间内某点处的导数之间的关系. .2019-4-10兰州交通大学数理与软件工程学院拉格朗日中值定理又称有限增量定理拉格朗日中值定理又称有限增量定理. .拉格朗日中值公式又称有限增量公式拉格朗日中值公式又称有限增量公式. .2019-4-10兰州交通大学数理与软件工程学院拉格朗日中值公式的几种表达方式拉格朗日中值公式的几种表达方式推论推论2019-4-10兰州交通大学数理与软件工程学院例例2 2证证2019-4-10兰州交通大学数理与软件工程学院例例3 3证证由上式得由上式得2019-4-10前往前往兰州交通大学数理与软件工程学院三、柯西三、柯西(Cauchy)(Cauchy)中值定理中值定理2019-4-10兰州交通大学数理与软件工程学院几何解释几何解释: :证证作辅助函数作辅助函数2019-4-10兰州交通大学数理与软件工程学院2019-4-10兰州交通大学数理与软件工程学院例例4 4证证分析分析: : 结论可变形为结论可变形为2019-4-10前往前往