利用导数研究函数利用导数研究函数 的极值的极值一、复习回顾一、复习回顾1. 函数函数 y=f (x)在点在点x1 、x2 、x3 、x4处的处的函数值函数值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右，与它们左右近旁各点处的函数值，相比有什么特点近旁各点处的函数值，相比有什么特点?观察图像：观察图像： yxOaby= =f(x)x1 f (x1)x2 f(x2)x3 f(x3)x4 f(x4)一、函数的极值定义一、函数的极值定义如果对如果对X0附近附近的所有点的所有点X，都有，都有f(x)f(x0), 则称函数则称函数f(x)在点在点X0处取极小值，记作处取极小值，记作y极小值极小值= f(x0)；并把并把X0称称为函数为函数f(x)的一个极小植点。的一个极小植点。 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值.极大值点与极小极大值点与极小值点统称为值点统称为极值点极值点已知已知 函数函数y=f(x)，设，设X0是定义域（是定义域（a,b)内任一点内任一点，abbao a x0 b x y x xx x0 0 0 0左侧左侧左侧左侧 x x0 0x x0 0 0 0右侧右侧右侧右侧 f f ( (x x) ) f f( (x x) ) o a x0 b x y x xx x0 0 0 0左侧左侧左侧左侧 x x0 0x x0 0 0 0右侧右侧右侧右侧 f f ( (x x) ) f f( (x x) )增f(x) 0f(x) =0f(x) 0极大值减f(x) 0左正右负为极大，右正左负为极小观察与思考：观察与思考：极值与导数有何关系？极值与导数有何关系？ 问：问：1、图中有哪些极值点？图中有哪些极值点？ 2、函数极值点可以有多个吗？、函数极值点可以有多个吗？ 3、端点可能是极值点吗？、端点可能是极值点吗？ 4、极大值一定比极小值大么？、极大值一定比极小值大么？ f (x)0 yxOx1aby= =f(x) f (x)0 f (x)0 1、如果在、如果在x0附近的左侧附近的左侧f (x)0，右侧，右侧f (x)0，则则f (x0)是极大值；是极大值； 2、如果在、如果在x0附近的左侧附近的左侧f (x)0， 则则f (x0)是极小值；是极小值；已知函数已知函数f(x)在点在点x0处是处是连续连续的，且的，且 f (x0)=0则则二、判断函数极值的方法二、判断函数极值的方法x2导数为导数为0的点不一定是极值点；的点不一定是极值点；若若X为极值点，则导数值一定为为极值点，则导数值一定为0点评：可导函数点评：可导函数在点在点x0取得极值的充分必要条取得极值的充分必要条件是件是且在点且在点x0左侧和右侧，左侧和右侧， f (x) 异号。异号。例1、 下图是导函数 的图象, 试找出函数 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.abxyx1Ox2x3x4x5x6求可导函数求可导函数f(x)极值的极值的 步骤：步骤：(2)求导数求导数f (x)；(3)求方程求方程f (x）=0的根；的根； (4)把定义域划分为把定义域划分为部分区间，并列成表格部分区间，并列成表格检查检查f (x)在方程根左右的符号在方程根左右的符号如果如果左正右负左正右负（+ -），）， 那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极大大值值如果如果左负右正左负右正（- +），）， 那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极小小值；值；(1) 确定函数的确定函数的定义域定义域；例例2、求函数、求函数 的极值的极值.例例3、已知函数已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，当，当x=-1时取极时取极大值大值7；当；当x=3时取得极小值，求这个极小值及时取得极小值，求这个极小值及a、b、c的值。的值。练习练习1、下图是导函数、下图是导函数 的图象的图象, 在标记的点中在标记的点中, 在在哪一点处哪一点处(1)导函数导函数 有极大值有极大值?(2)导函数导函数 有极小值有极小值?(3)函数函数 有极大值有极大值?(4)函数函数 有极小值有极小值?2、已知函数已知函数 在在 处取得极值。处取得极值。 （1）求函数）求函数 的解析式的解析式 （2）求函数）求函数 的单调区间的单调区间3 3、求、求 的极值的极值 4、函数、函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，既有极大值，又有极小值，则又有极小值，则a的取值范围为的取值范围为