第1页 5.3平面向量的数量积和运算律平面向量的数量积和运算律第2页 高效梳理高效梳理第3页 平面向量的数量积平面向量的数量积定定义义(1)ab=|a|b|cos(2)规规定定:0a=0坐坐标标表示表示ab=x1x2+y1y2运算律运算律(1)ab=ba(2)(a)b=(ab)=a(b)(3)(a+b)c=ac+bca在在b方向上的投影方向上的投影|a|cos第4页 ab的几何意的几何意义义数量数量积积ab等于等于a的的长长度度|a|与与b在在a方向方向上的投影上的投影|b|cos的的乘乘积积第5页 与平面向量的数量积有关的结论与平面向量的数量积有关的结论已知已知a=(x1,y1),b=(x2,y2).结论结论几何表示几何表示坐坐标标表示表示模模|a|=|a|=夹夹角角cos=cos=ab的的充要条件充要条件ab=0x1x2+y1y2=0|ab|与与|a|b|的关的关系系|ab|a|b|x1x2+y1y2|第6页 向量的数量积与数的乘法的区别向量的数量积与数的乘法的区别两向量的数量积是两向量之间的一种乘法两向量的数量积是两向量之间的一种乘法,与数的乘法是有与数的乘法是有区别的区别的.(1)两个向量的数量积是个数量两个向量的数量积是个数量,而不是向量而不是向量,它的值为两向它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积量的模与两向量夹角的余弦的乘积,其符号由夹角的余弦值其符号由夹角的余弦值决定决定.(2)当当a0时时,由由ab=0不能推出不能推出b一定是零向量一定是零向量.这是因为对任这是因为对任一与一与a垂直的非零向量垂直的非零向量b,都有都有ab=0.第7页 (3)ab=bca=c.(4)一般地一般地,a(bc)(ab)c.这是由于这是由于bc和和ab都是实都是实数数,而而a与与c不一定共线不一定共线.(5)对于实数对于实数a b,有有|ab|=|a|b|,但对于向量但对于向量a b,有有|ab|a|b|.第8页 利用数量积求长度问题是数量积的重要应用利用数量积求长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问要掌握此类问题的处理方法题的处理方法(1)|a|2=a2=aa;(2)|ab|2=(ab)2=a22ab+b2;(3)若若a=(x,y),则则|a|= .第9页 两个向量的夹角两个向量的夹角(1)定义定义:已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b,作作 =a, =b,则则AOB称称作向量作向量a与向量与向量b的夹角的夹角,记作记作.(2)范围范围:向量夹角向量夹角的范围是的范围是0,且且=.第10页 第11页 第12页 考点自测考点自测第13页 1.下列四个命题中真命题的个数为下列四个命题中真命题的个数为()若若ab=0,则则ab;若若ab=bc且且b0,则则a=c;(ab)c=a(bc);(ab)2=a2b2.A.4B.2C.0D.3第14页 解析解析:ab=0时时,ab或或a=0或或b=0.故故命题错命题错.ab=bc,b(a-c)=0,又又b0,a=c或或b(a-c),故故命题错误命题错误.ab与与bc都是实数都是实数,故故(ab)c是与是与c共线的向量共线的向量,a(bc)是与是与a共线的向量共线的向量,(ab)c不一定与不一定与a(bc)相等相等.故故命题不正确命题不正确.(ab)2=(|a|b|cos)2=|a|2|b|2cos2|a|2|b|2=a2b2,故故命命题不正确题不正确.答案答案:C第15页 2.若若a与与b-c都是非零向量都是非零向量,则则“ab=ac”是是“a(b-c)”的的()A.充分而不必要条件充分而不必要条件B.必要而不充分条件必要而不充分条件C.充分必要条件充分必要条件D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件答案答案:C第16页 答案答案:C第17页 4.已知已知|a|=1,|b|= ,且且a(a-b),则向量则向量a与与b的夹角是的夹角是_.第18页 5.已知已知i,j为互相垂直的单位向量为互相垂直的单位向量,a=i-2j,b=i+j,且且为锐为锐角角,则实数则实数的取值范围是的取值范围是_.第19页 题型突破题型突破第20页 题型一题型一tixingyi利用数量积求向量的夹角利用数量积求向量的夹角第21页 第22页 第23页 规律方法规律方法:本题也可用坐标法表示同量本题也可用坐标法表示同量,或利用加法的几何意或利用加法的几何意义解答义解答.第24页 创新预测创新预测1已知已知a b都是非零向量都是非零向量,且且a+3b与与7a-5b垂直垂直,a-4b与与7a-2b垂直垂直,求求a与与b的夹角的夹角.解析解析:由已知由已知:(a+3b)(7a-5b)=0,(a-4b)(7a-2b)=0.即即7a2+16ab-15b2=0,7a2-30ab+8b2=0,两式相减两式相减,得得2ab=b2.第25页 题型二题型二tixinger利用数量积求向量的模利用数量积求向量的模【例【例2】已知】已知|a|=4,|b|=8,a与与b的夹角是的夹角是120.(1)计算计算:|a+b|;|4a-2b|.(2)当当k为何值时为何值时,(a+2b)(ka-b)?第26页 第27页 规律方法规律方法:(1)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用,要要掌握此类问题的处理方法掌握此类问题的处理方法:|a|2=a2=aa;|ab|2=a22ab+b2;若若a=(x,y),则则|a|= . (2)对于非零向量对于非零向量a,b,ab ab=0是非常重要的性质是非常重要的性质,它对于解它对于解决平面几何图形中有关垂直问题十分有效决平面几何图形中有关垂直问题十分有效,应熟练掌握应熟练掌握,若两非若两非零向量零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则则ab x1x2+y1y2=0.第28页 创新预测创新预测2已知已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61.(1)求求a与与b的夹角的夹角;(2)求求|a+b|;(3)若若 =a, =b,求求ABC的面积的面积.第29页 第30页 题型三题型三tixingsan利用数量积求解垂直问题利用数量积求解垂直问题【例【例3】在】在ABC中中, =(2,3), =(1,k),且且ABC的一个角的一个角为直角为直角,求求k的值的值.第31页 第32页 规律方法规律方法:三角形一内角为直角三角形一内角为直角,不能确定哪个角为直角不能确定哪个角为直角,因因此要分三种情况分别来解此要分三种情况分别来解,在求解的过程中在求解的过程中,要弄清直角应为要弄清直角应为哪两个向量的夹角，然后求这个向量的坐标哪两个向量的夹角，然后求这个向量的坐标.第33页 第34页 第35页 题型四题型四tixingsi平面向量的数量积与三角函数的交汇平面向量的数量积与三角函数的交汇【例【例4】已知】已知A B C的坐标分别为的坐标分别为A(4,0),B(0,4),C(3cos,3sin).(1)若若(-,0)且且| |=| |,求角求角的值的值;(2)若若 =0,求求第36页 第37页 第38页 规律方法规律方法:向量与三角函数相结合是高考命题的热点向量与三角函数相结合是高考命题的热点,解题的解题的基本思路是基本思路是,根据向量的基本运算对条件进行转化根据向量的基本运算对条件进行转化,然后通过然后通过三角诱导公式或和差公式对式子进行化简三角诱导公式或和差公式对式子进行化简,再求值或研究其再求值或研究其性质性质.第39页 创新预测创新预测4已知向量已知向量m=(2sinx,cosx),n=( cosx,2cosx),定义定义函数函数f(x)=loga(mn-1)(a0,a1).(1)求函数求函数f(x)的最小正周期的最小正周期;(2)确定函数确定函数f(x)的单调递增区间的单调递增区间.第40页 第41页 对接高考对接高考第42页 1.(2008宁夏宁夏)已知平面向量已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),a+b与与a垂直垂直,则则=()A.-1B.1C.-2D.2解析解析:a+b=(+4,-3-2).a+b与与a垂直垂直,(a+b)a=10+10=0.=-1.答案答案:A第43页 答案答案:D第44页 答案答案:A第45页 第46页 方法二方法二:本题如果采用建立直角坐标系本题如果采用建立直角坐标系,运用向量数量积的坐运用向量数量积的坐标运算较为简单标运算较为简单,建立如图所示的直角坐标系建立如图所示的直角坐标系,根据题设条件根据题设条件即可知即可知A(0,3),B(- ,0),M(0,2),答案答案:-2第47页 高效作业高效作业第48页 一一 选择题选择题1.(2009福建福建)设设a,b,c为同一平面内具有相同起点的任意三个为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量非零向量,且满足且满足a与与b不共线不共线,ac,|a|=|c|,|bc|的值一的值一定等于定等于()A.以以a,b为邻边的平行四边形的面积为邻边的平行四边形的面积B.以以b,c为邻边的平行四边形的面积为邻边的平行四边形的面积C.以以a,b为两边的三角形的面积为两边的三角形的面积D.以以b,c为两边的三角形的面积为两边的三角形的面积答案答案:A第49页 解析解析:设设=,(0,),= ,= -.以以a,b为邻边的平行四边形面积为为邻边的平行四边形面积为|a|b|sin,而而|bc|=|b|c|cos( -)|=|b|c|sin,又又|a|=|c|,|bc|=|a|b|sin.第50页 2.(2009全国全国)设非零向量设非零向量a b c满足满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则则=()A.150B.120C.60D.30答案答案:B第51页 解析解析:如图所示如图所示.|a|=|b|=|c|,OAB是正三角形是正三角形.=120.第52页 3.(2009辽宁辽宁)平面向量平面向量a与与b的夹角为的夹角为60,a=(2,0),|b|=1,则则|a+2b|等于等于( )A.B.2C.4D.2答案答案:B第53页 第54页 答案答案:A第55页 5.(2009福建福州三中模拟福建福州三中模拟)已知点已知点O为为ABC所在平面内一所在平面内一点点,且且 则则O一定为一定为ABC的的()A.外心外心B.内心内心C.垂心垂心D.重心重心答案答案:C第56页 第57页 答案答案:B第58页 第59页 二二 填空题填空题7.(2009上海十校联考上海十校联考)已知平面上直线已知平面上直线l的方向向量的方向向量d=(3,-4),点点O(0,0)和和A(4,-2)在在l上的射影分别是上的射影分别是O1和和A1,则则|O1A1|=_.答案答案:4第60页 答案答案:0第61页 第62页 9.(2009福建龙岩质检福建龙岩质检)设向量设向量a,b满足满足|a-b|=2,|a|=2,且且a-b与与a的夹角为的夹角为 ,则则|b|=_.答案答案:2第63页 三三 解答题解答题10.(2009山东日照山东日照3月模拟月模拟)若若a,b是两个不共线的非零向量是两个不共线的非零向量,tR.(1)若若a,b起点相同起点相同,t为何值时为何值时,a,tb, (a+b)三向量的终点三向量的终点在一直线上在一直线上?(2)若若|a|=|b|且且a与与b夹角为夹角为60,t为何值时为何值时,|a-tb|的值最小的值最小?第64页 第65页 第66页 11.(2009江苏江苏)设向量设向量a=(4cos,sin),b=(sin,4cos),c=(cos,-4sin).(1)若若a与与b-2c垂直垂直,求求tan(+)的值的值;(2)求求|b+c|的最大值的最大值;(3)若若tantan=16,求证求证:ab.第67页 第68页 12.(2009安徽安庆三模安徽安庆三模)a=(sinx, ),b=(cosx,-1).(1)当当a与与b共线时共线时,求求2cos2x-sin2x的值的值;(2)求求f(x)=(a+b)b在在 上的值域上的值域.第69页 第70页