目录 上页 下页 返回 结束 第五节一、平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角 平面及其方程 第八章 目录 上页 下页 返回 结束 一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程设一平面通过已知点且垂直于非零向称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.法向量.量则有 故目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1.求过三点求过三点即解解: 取该平面取该平面 的法向量为的法向量为的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程目录 上页 下页 返回 结束 此平面的三点式方程也可写成 一般情况一般情况 : 过三点的平面方程为说明说明: :目录 上页 下页 返回 结束 特别特别, ,当平面与三坐标轴的交点分别为当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程. 时,平面方程为 分析:利用三点式 按第一行展开得 即目录 上页 下页 返回 结束 二、平面的一般方程二、平面的一般方程设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数那么显然方程与此点法式方程等价, 的平面, 因此方程的图形是法向量为 方程方程. .目录 上页 下页 返回 结束 特殊情形特殊情形 当当 D = 0 D = 0 时时, A x + B y + C z , A x + B y + C z = 0 = 0 表示表示 通过原点的平面通过原点的平面; 当当 A = 0 时时, B y + C z + D = 0 的法向的法向量量平面平行于 x 轴; A x+C z+D = 0 表示表示 A x+B y+D = 0 表示表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D = 0 表示平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xOy 面 的平面;平行于 yOz 面 的平面；平行于 zOx 面 的平面.目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求通过求通过 x 轴和点轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程的平面方程.例例3.3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程用平面的一般式方程导出平面的截距式方程. .解解: : 因平面通过 x 轴 ,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程(P40例4 , 自己练习) 目录 上页 下页 返回 结束 三、两平面的夹角三、两平面的夹角设平面1的法向量为 平面2的法向量为则两平面夹角 的余弦为即两平面法向量的夹角(常指锐角)称为两平面的夹角.目录 上页 下页 返回 结束 特别有下列结论：特别有下列结论：目录 上页 下页 返回 结束 因此有例例4. 一平面通过两点一平面通过两点垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解: : 设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为即的法向量约去C , 得即和则所求平面故方程为 且目录 上页 下页 返回 结束 外一点,求例例5. 设设解解: :设平面法向量为设平面法向量为在平面上取一点是平面到平面的距离d .,则P0 到平面的距离为(点到平面的距离公式)目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式三点式目录 上页 下页 返回 结束 2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题求过点 且垂直于二平面 和 的平面方程.解解: 已知二平面的法向量为已知二平面的法向量为取所求平面的法向量 则所求平面方程为化简得