第五节第五节 曲线的凹凸和函数作图曲线的凹凸和函数作图A B C D 弧弧ACB与弧与弧ADB的凹向不同。的凹向不同。 a b 11.1.1.1.凹凸性的定义凹凸性的定义凹凸性的定义凹凸性的定义 2若在某一区间内，函数图像总在曲线上任一点切线的若在某一区间内，函数图像总在曲线上任一点切线的上方上方，则称曲线在这区间内是则称曲线在这区间内是凹的凹的凹的凹的；直观观察直观观察在有些教材中，凹的（曲线）又叫在有些教材中，凹的（曲线）又叫“上凹上凹”，凸的又叫，凸的又叫“下凹下凹”。 下方下方 凸的凸的凸的凸的 32.2.2.2.判定定理判定定理判定定理判定定理: : : : 证明证明 对于（对于（1），设），设 且且 记记 并记并记 则则 上面两式相减，得上面两式相减，得 在在 上用拉格朗日中值定理，得上用拉格朗日中值定理，得 对对 43 3 3 3、判定函数曲线凹凸的步骤、判定函数曲线凹凸的步骤、判定函数曲线凹凸的步骤、判定函数曲线凹凸的步骤: : : : （1）确定函数）确定函数 y = f (x)的定义域；的定义域；（2）求）求 f ”(x),找出找出使使 f ”(x)=0 和和 f ”(x) 不存在的点不存在的点xi ；（3）用用xi把定义域划分成为小区间，在每个小区间上判定曲线把定义域划分成为小区间，在每个小区间上判定曲线的凹凸。的凹凸。例例1.解解对对 在在 用拉格朗日中值定理，得用拉格朗日中值定理，得 由假设由假设 因此因此 即即 5例例2.解解拐点：拐点：拐点：拐点：曲线由凸变凹（或由凹变凸）的曲线由凸变凹（或由凹变凸）的分界点分界点分界点分界点。（1）拐点拐点是是曲线上曲线上的点，应由两个坐标表示的点，应由两个坐标表示（x0,f(x0)）.（2）前面讲过的前面讲过的极值点极值点，是取得极值时，是取得极值时自变量自变量的值，记的值，记 为为x=xi 两者不同。两者不同。（3）作业中常见记法的错误：作业中常见记法的错误：注意：注意：注意：注意：6例例3. 解解7例例4. 但当但当 时，总有时，总有 因此，（因此，（0，0）不是这曲线的拐点。）不是这曲线的拐点。 即即解解8例例5 求曲线求曲线 的拐点。的拐点。 解解当当时，时，当当时，时，都不存在都不存在 。 所以，所以，在在 不连续且不具有零点。不连续且不具有零点。但但把把分成两个部分区间：分成两个部分区间：曲线在曲线在上是上是凹的凹的。曲线在曲线在上是上是凸的凸的。则则点是曲线的拐点。点是曲线的拐点。下面的点可能对应着曲线的拐点：下面的点可能对应着曲线的拐点：下面的点可能对应着曲线的拐点：下面的点可能对应着曲线的拐点： （1）（2）9例例6 设设 在在 的某邻域内具有三阶连续的导数的某邻域内具有三阶连续的导数 ， 如果如果 试问试问 是否为是否为 极值点？为什么？又极值点？为什么？又 是否为拐点？为什么？是否为拐点？为什么？ 解解 由于由于 在在 的某邻域内具有三阶连续的导数的某邻域内具有三阶连续的导数 ， 则则 不妨设不妨设 由保号性定理，由保号性定理， 即在此区域内，即在此区域内， 单调增加。单调增加。 而而 因此因此 因此，因此， 是拐点。是拐点。 因此因此 不是极值点。不是极值点。 10二、曲线的渐近线二、曲线的渐近线二、曲线的渐近线二、曲线的渐近线 (1)、水平渐近线水平渐近线 (2)、垂直渐近线垂直渐近线 CxyOxyO x0 11(3)、斜渐近线斜渐近线 12三、函数作图三、函数作图三、函数作图三、函数作图 1.1.1.1.一般步骤一般步骤一般步骤一般步骤: : : :(1) (1) (2) (2) (3)(3)(4)(4)(5) (5) (6) (6) 13（4）第四行曲线）第四行曲线 y =f (x)，用适当凹向的带箭头的曲线，表明用适当凹向的带箭头的曲线，表明函数函数 在相应区间的大体形态；在相应区间的大体形态；注意，箭头方向是：箭尾在左，箭注意，箭头方向是：箭尾在左，箭头在右；头在右；2 2 2 2、关于函数形态表的说明、关于函数形态表的说明、关于函数形态表的说明、关于函数形态表的说明（1）第一行）第一行x ，由左至右按照从小到大列出小区间和它们的由左至右按照从小到大列出小区间和它们的 分界点；分界点；（3）第三行）第三行y”，在相应的区间判断正、负；在分界点写出相在相应的区间判断正、负；在分界点写出相 应的导数值；应的导数值；以下表示不正确以下表示不正确（2）第二行）第二行y，在相应的区间判断正、负；在分界点写出相在相应的区间判断正、负；在分界点写出相 应的导数值；应的导数值；14解解例例1.4 4 4 4、应用举例：、应用举例：、应用举例：、应用举例：+0的图形的图形 0+0极大值极大值 拐点拐点 极小值极小值 15得到函数图形上三个点得到函数图形上三个点: 辅助点辅助点辅助点辅助点: : 所以该曲线既无水平渐近线，所以该曲线既无水平渐近线，也无铅直渐近线。也无铅直渐近线。16例例2.解解的图形的图形 0(0,1)1(1,+）00+极大极大 拐点拐点 17得到曲线上的两个点得到曲线上的两个点: 加辅助点加辅助点 （1）利用函数的奇偶性；）利用函数的奇偶性；（2）补充点）补充点（0，f(0)），（），（2，f(2)）；）；（3）有水平渐近线。有水平渐近线。注：注：注：注：的图形的图形 0(0,1)1(1,+）00+极大极大 拐点拐点 18例例3解解的图形的图形 +00极大极大 值值 拐点拐点 19得曲线上的点得曲线上的点: 辅助点辅助点: +00极大极大 拐点拐点 20