一元高次不等式和分式不等一元高次不等式和分式不等式的解法式的解法(第二课时第二课时)1.掌握一类简单的可化为一元二次不等式的分式不等式的解掌握一类简单的可化为一元二次不等式的分式不等式的解法法会解与一元二次不等式有关的恒成立问题和实际应用题会解与一元二次不等式有关的恒成立问题和实际应用题【课标要求】 【核心扫描】一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用( (重点重点) )一元二次不等式中的恒成立问题一元二次不等式中的恒成立问题( (难点难点) )与二次函数、二次方程、实际应用题联系密切，而且应用广泛与二次函数、二次方程、实际应用题联系密切，而且应用广泛注意实际问题中变量有意义的范围注意实际问题中变量有意义的范围121234一、一元高次不等式的解法：一、一元高次不等式的解法： 只含有一个未知数，并且未知数的次数高只含有一个未知数，并且未知数的次数高于于2次的不等式称为次的不等式称为高次不等式高次不等式。一元高次不等式用穿针引线法求解，其步骤是：w(1)将不等式化为标准形式；将高次项的系数化为正数，不等式一端为0，另一端为一次因式(因式中x的系数为正)或二次不可约因式的乘积w(2)求出各因式为0时的实数根，并在数轴上标出w(3)自最右端上方起，用曲线从右至左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根一次穿过，遇偶次重根穿而不过(说明：奇过偶不过)w(4)记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集 3.用数轴标根法解简单高次不等式的用数轴标根法解简单高次不等式的步骤步骤：（1）整理。整理。先将不等式化成标准形式，即一端为先将不等式化成标准形式，即一端为0，另一端为一次（或二次）因式的积的形式。注意各另一端为一次（或二次）因式的积的形式。注意各因式中因式中x的系数一定为正数的系数一定为正数（2）标根标根。求出各因式的根，并在数轴上依次标出。求出各因式的根，并在数轴上依次标出。（3）穿线穿线。用一条曲线由右上方开始从右到左，从上。用一条曲线由右上方开始从右到左，从上到下依次穿过各根相应的点，注意偶次重根穿而不到下依次穿过各根相应的点，注意偶次重根穿而不过，奇次重根照样穿过，即过，奇次重根照样穿过，即“奇穿偶不穿奇穿偶不穿”。（4）写解集写解集。在数轴上方的曲线所对应的区间是不等。在数轴上方的曲线所对应的区间是不等式式 大于大于0 的解集；在数轴下方的曲线所对应的区间的解集；在数轴下方的曲线所对应的区间是不等式是不等式 小于小于0 的解集的解集4.w二、分式不等式的解法二、分式不等式的解法（转化为标准形）（转化为标准形）（1）转化为整式不等式求解：）转化为整式不等式求解：5.w（2）转化为整式不等式组求解：）转化为整式不等式组求解：6.三、例题讲解三、例题讲解 解：解：例例1 解不等式：解不等式：+-737.三、例题讲解三、例题讲解 例例2 解不等式：解不等式：解：解：原不等式化为：原不等式化为：即即由于由于 原不等式进一步转化为同解不等式原不等式进一步转化为同解不等式 原不等式的解集为：原不等式的解集为：x|-3x1.+-318.解：解：31-2原不等式的解集为：原不等式的解集为：三、例题讲解三、例题讲解 9.三、例题讲解三、例题讲解 解：原不等式化为：解：原不等式化为：即即例例4 解不等式：解不等式：x34+ 原不等式的解集为：原不等式的解集为：10. 思路探索思路探索 将分式不等式等价转化为一元二次不等式将分式不等式等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组或一元一次不等式组【例2】 题型二分式不等式的解法由二次函数图像与一元二次不等式的关系分析，可以得到由二次函数图像与一元二次不等式的关系分析，可以得到常用的两个结论：常用的两个结论：(1)不等式不等式ax2bxc0的解集是全体实数的解集是全体实数(或恒成立或恒成立)的条的条件是当件是当a0时，时，b0，c0；不等式恒成立问题1分离参数法分离参数法解不等式恒成立问题解不等式恒成立问题对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决当然这必须以参数容易分离作为前提从而得以迅速解决当然这必须以参数容易分离作为前提分离参数时，经常要用到下述简单结论：分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)af(x)恒成恒成立立af(x)max；(2)af(x)恒成立恒成立af(x)min.3题型一恒成立问题 当当a为何值时，不等式为何值时，不等式(a21)x2(a1)x10的解的解集为集为R? 思路探索思路探索 不等式的解集为不等式的解集为R，也就是函数，也就是函数f(x)(a21)x2(a1)x1的图像恒在的图像恒在x轴下方，注意二次项系数轴下方，注意二次项系数a21可能为可能为0，也可能小于，也可能小于0，应分两种情况讨论加以解决，应分两种情况讨论加以解决【例1】(2)审清题意，弄清楚哪个是参数，哪个是自变量例如，审清题意，弄清楚哪个是参数，哪个是自变量例如，“已已知函数知函数yx22(a2)x4，对，对a3,1，y0恒成立恒成立”中，中，变量是变量是a，参数是，参数是x，该函数是关于，该函数是关于a的函数的函数 不等式不等式(a1)x2axam(x2x1)对任意对任意x恒恒成立，试比较成立，试比较a与与m的大小的大小解解原不等式整理得原不等式整理得(am1)x2(am)xam0对任意对任意x恒成立恒成立当当am10时，原不等式化为时，原不等式化为x10，即即x1，不恒成立，不恒成立当当am10时，由题意知时，由题意知【训练1】am10，3(am1)110，am0，am.综上，a与m的大小关系是am.