目录 上页 下页 返回 结束 三、利用极坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分对应有在极坐标系下, 用同心圆 r =常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线 =常数, 分划区域D 为1目录 上页 下页 返回 结束 即2目录 上页 下页 返回 结束 设则特别特别, 对3目录 上页 下页 返回 结束 此时若 f 1 则可求得D 的面积思考思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试答答: 问 的变化范围是什么?(1)(2)4目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 计算其中解解: 在极坐标系下原式的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角由于故坐标计算.5目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解解: 设由对称性可知6目录 上页 下页 返回 结束 四、曲线坐标下二重积分的计算法四、曲线坐标下二重积分的计算法 在在段段中中我我们们看看到到，运运用用极极坐坐标标变变换换有有时时候候可以使二重积分的计算简化可以使二重积分的计算简化特特殊殊的的坐坐标标变变换换使用其它的坐标变换使用其它的坐标变换坐标变换下计算二重积分的方法，也就是坐标变换下计算二重积分的方法，也就是二重积分二重积分的的一般一般换元法换元法但是，极坐标只是一种但是，极坐标只是一种为了计算二重积分，有时候需要为了计算二重积分，有时候需要下面我们来介绍在一般形式的下面我们来介绍在一般形式的7目录 上页 下页 返回 结束 作变换若以下三个条件满足, 则称变换 (2.13) 为正则变换正则变换. 8目录 上页 下页 返回 结束 可以证明，在映射（）的作用下，可以证明，在映射（）的作用下，xoy坐标系坐标系下的二重积分与下的二重积分与uov坐标系下的二重积分之间的坐标系下的二重积分之间的关系为关系为9目录 上页 下页 返回 结束 10目录 上页 下页 返回 结束 例例2.10 求解解 四条直线交点的坐标分别为从上图中能看出, 都要分成三部分，比较麻烦. 图图6.21不论先对 x 还是先对 y 积分,积分区域所以可改用曲线坐标曲线坐标.11目录 上页 下页 返回 结束 图图6.2212目录 上页 下页 返回 结束 13目录 上页 下页 返回 结束 例例 计算解解 由图 可见, 图6.23如果我们用直角坐标直接计算在此变换下,14目录 上页 下页 返回 结束 图6.2315目录 上页 下页 返回 结束 16目录 上页 下页 返回 结束 例例 计算解解 由于积分域是椭圆, 如果采用极坐标变换，即17目录 上页 下页 返回 结束 广义极坐标变换广义极坐标变换. 18