第三章第三章 几何光学的基本原理几何光学的基本原理教学基本要求：阐明光线、折射率、光程、光学系统、理想成象、实物、虚物、实象、虚象和物、象空间等物理概念。阐明平面反射、折射成象的规律。重点阐明球面镜反射成象、球面折射成象、薄透镜成象的构象公式以及平行光线和任意光线的成象作图法，培养学生的计算和作图的能力。了解费马原理的物理思想，用费马原理推导反射或折射定律。着重叙述基点、基面的物理意义。了解薄透镜的组合成象阐明全反射的物理规律。扼要介绍光导纤维的构造和应用。3-1 基本概念及基本实验定律基本概念及基本实验定律一、光线与波面一、光线与波面1.1.光线：光线：形象表示光的传播方向的几何线。说明： 同力学中的质点一样，光线仅是一种抽象的数学模型。 它具有光能，有长度，有起点、终点，但无粗细之分，仅 代表光的传播方向。任何想从实际装置（如无限小的孔） 中得到“光线”的想法均是徒劳的。 无数光线构成光束。2.2.波面：波面：光传播中，位相相同的空间点所构成的平面或曲面。 光沿光线方向传播时，位相不断改变。说明： 波面即等相面，也是一种抽象的数学模型。 波面为平面的光波称为平面光波（如平行光束）；为球 面的称为球 面光波（如点光源所发光波）；为柱面的 称为柱面光波（如缝光源所发光波）3.3.光线与波面的关系光线与波面的关系 在各向同性介质中，光线总是与波面法线方向重合。即光线与波面总是垂直的。平面波球面波柱面波二、几何光学的基本实验定律二、几何光学的基本实验定律1.1.直线传播定律：直线传播定律：在均匀介质中，光总是沿直线传播的。2.2.反射定律：反射定律： 反射线在入射线和法线决定的平面内； 反射线、入射线分居法线两侧； 3.3.折射定律：折射定律： 折射线在入射线和法线决定的平面内； 折射线、入射线分居法线两侧； 4.4.独立传播定律：独立传播定律：5.5.光路可逆原理：光路可逆原理： 自不同方向或不同物体发出的光线相交时，对每一光线的传播不发生影响。即各自保持自己原有的特性，沿原方向继续传播，互不影响。在几何光学中，任何光路都是可逆的。3-2 3-2 费马原理费马原理 光在均匀介质中总是沿直线传播的，光在非均匀介质中又是怎样传播的？费马借助光程的概念，回答了该问题。一、费马原理一、费马原理1.表述： 光在空间两定点间传播时，实际光程为一特定的极值。2、表达式：nBAds3.说明：意义：费马原理是几何光学的基本原理，用以描绘光在空间两定点间的传播规律。用途：A .可以推证反射定律、折射定律等实验定律。由此反证了费马原理的正确性.极值的含义：极小值，极大值，恒定值。一般情况下，实际光程大多取极小值。 B.推求理想成象公式。二、费马原理的证明二、费马原理的证明1、直线传播定律：（在均匀介质中）、直线传播定律：（在均匀介质中）2、折射定律、折射定律：（在非均匀介质中）：（在非均匀介质中）i2n2BCACCBAn1OOPMi1XYZ如图示：点发出的光线入射到两种介质的平面分界面上，折射后到达点。 折射线在入射线和法线决定的平面内折射线在入射线和法线决定的平面内 只需证明折射点C点在交线OO上即可.折射线、入射线分居法线两侧折射线、入射线分居法线两侧i2n2BACBAn1OOPMi1XYZA、B、C点坐标如图示。沿此方向入射，必有i2n2BACBAn1OOPMi1XYZ由于反射、折射定律是实验定律，是公认的正确的结论，所以，费马原理是正确的。同理：也可证明反射定律。3-3 3-3 单心光束单心光束 实像和虚像实像和虚像 成像问题是几何光学研究的主要问题之 一。光学元件质量的高低是以成像质量来衡量的。为学习研究成像规律，首先介绍几个基本概念。一、单心光束、实像、虚像一、单心光束、实像、虚像1、发光点发光点：只有几何位置而没有大小的发射光束的光源。 它也是一个抽象概念，一个理想模型，有助于描述物和像的性质。点光源就是一个发光点。若光线实际发自于某点，则称该点为实发光点；若某点为诸光线反向延长线的交点，则该点称为虚发光点。2、单心光束单心光束：只有一个交点的光束，亦称同心光束。 该唯一的交点称为光束的顶点。发散单心光束会聚单心光束实象：有实际光线会聚的象点。虚象：无实际光线会聚的象点。 （光束反向延长线的交点）。 当顶点为光束的发出点时，该顶点称为光源、物点。3、实像、虚像、实像、虚像当单心光束经折射或反射后，仍能找到一个顶点，称光束保持了其单心性。该顶点称为象点。PPPP实像虚像二、实物、实像、虚像的联系与区别二、实物、实像、虚像的联系与区别1、成像于视网膜上的只是光束的顶点而非光束本身。、成像于视网膜上的只是光束的顶点而非光束本身。 光通过浑浊的空间时，尘埃微粒作为散射光 束的顶点被看到，而不是看到了光束本身； 宇航员看到的洁净的宇宙空间是漆黑的，是 由于没有尘埃作为散射源。 对能保持单心性的光束，一个物点能且只 能 形成一个像点，即物与像形成一一对应关系。2、人眼以刚进入瞳孔前的光线方向判断光束顶点位置、人眼以刚进入瞳孔前的光线方向判断光束顶点位置 单独用人眼无法直接判断顶点是否有实际光线通过实发光点实像虚像 对人眼而言，无论是物点还是像点，是实像还是虚像，都不过是发散光束的顶点，二者之间没有区别。 实物、实像、虚像的区别PPPA：P与P、PP各处可见；而由于透镜大小的限制，P和P仅在光束范围内可见。B：P与P置一白纸于P、 P处，由于有实际光线通过， P是亮点；由于无实际光线通过， P处看不到光点。3-4 3-4 光在平面介面上的反射和折射光在平面介面上的反射和折射 光学纤维光学纤维 保持物、像在几何形状上的相似性，是理想成像的基本要求。保持光束的单心性是保持形状相似从而实现理想成像的保证。所以，研究成像问题就归结为研究如何保持光束单心性问题。 一般情况下，光在介面上反射和折射后，其单心性不再保持。但只要满足适当的条件，可以近似地得到保持。接下来的两节，主要研究在不同介面反射、折射时，光束单心性的保持情况。一、光在平面上的反射一、光在平面上的反射DMMPPCBA如图示：点光源P发出单心光束，经平面镜反射后，形成一束发散光束，其反向延长线交于一点P，且与P点对称。显然，反射光束仍为单心光束，说明在此过程中光束保持了其单心性，是一个理想成像过程 P是P的虚像。平面镜是一个不破坏光束单心性、理想成像的完善的平面镜是一个不破坏光束单心性、理想成像的完善的 光学系统。并且也是唯一的一个。光学系统。并且也是唯一的一个。二、光在平面介面上的折射二、光在平面介面上的折射1、光束单心性的破坏、光束单心性的破坏xB1B2n2n1OyP2P1PPi1i2i1+i1i2i2A1A2z介质n1中的发光点P发出单心光束经两面介面XOZ折射后进入介质n2，现取其中一微元光束（如图示），在XOY平面内，其折射光束的反向延长线交于P点，并与OY轴交于P1、P2两点。各点坐标如图示：经计算（见附录31）可得：xB1B2n2n1OyP2P1PPi1i2i1+i1i2i2A1A2z将PA1、PA2沿OY轴旋转一微小角度成一立体微元，则：P、P1、P2三点不动，而交点P将画出一小圆弧（近似视为垂直于XOY平面的一小段直线）。所以，光束内任一条光线与Y轴的交点均处在直线P1P2（弧矢象线）内，但不相交；交点P也处在直线PP（子午象线）上，也不相交。即：发光点经折射后，成象为两条相互垂直的象线而不是象点，称为象散。折射后，光束的单心性已被破坏。折射后，光束的单心性已被破坏。2 2、象似深度、象似深度三、全反射三、全反射 光学纤维光学纤维1、全反射：、全反射：xA3n2n1OyPi1i2icA1A2只有反射而无折射的现象称为全折射。只有反射而无折射的现象称为全折射。2、光学纤维、光学纤维单根构造：内层：外层：原理：在顶角为2i的园锥体内的光线，均能在光纤内顺利传播。直径约为几微米的单根或多根玻璃(或透明塑料)纤维.说明：四、棱镜四、棱镜EDCB1、偏向角、最小偏向角： 棱镜是一种由多个平面界面组合而成的光学元件。光通过棱镜时，产生两个或两个以上界面的连续折射，传播方向发生偏折。最常用的棱镜是三棱镜（如图示）。三棱镜两折射面的夹角称三棱镜顶角A。An2n1出射光与入射光之间的夹角称棱镜的偏向角。2、应用、应用 棱镜光谱：当用白光入射时，由于折射 率的不同，出射光将展开成彩带即光谱。 所以，三棱镜也是一种分光装置。 改变光路：如右图示EDCBAn2n14504503-5 3-5 光在球面介面上的反射和折射光在球面介面上的反射和折射一、一、球面的几个概念球面的几个概念 符号法则符号法则球面顶点：O 球面曲率中心：C球面曲率半径：r 球面主轴：连接O、C而得的直线。主截面：通过主轴的平面。2、符号法则：为使计算结果普遍适用，对线段和角度正负取法的规定。1、基本概念： 线段长度均从顶点顶点算起： A、凡光线与主轴交点在顶点右方右方者线段长度数值为正为正； 凡光线与主 轴交点在顶点左方左方者线段长度数值为负为负； B、物点或像点至主轴的距离在主轴上方为正上方为正，下方为负下方为负。 光线的倾角均从主轴或球面法线算起，并取小于900的角度；由主轴 （或法线）转向有关光线时： A、顺时针转动，角度为正；B、逆时针转动，角度为负。（注意：角度的正负与构成它的线段的正负无关）（注意：角度的正负与构成它的线段的正负无关）沿轴线段垂轴线段新笛卡尔法则rCO主轴 图中出现的长度和角度只用正值。例：球面反射成像各量的正负。yQ无论光线从左至右还是从右至左，无论是球面反射还是折射，以上符号法则均适用。以下的讨论假设光线从左至右进行。二、球面反射对单心性的破坏二、球面反射对单心性的破坏PACOP-s-r-s-ui-i-u从主轴上P点发出单心光束，其中一条光线在球面上A点反射，反射光与主轴交于P点。即P为P的像。按符号法则，各有关线段和角度的正负如图所示。s 物距 s 象距PACOP-s-r-s-ui-i-u对给定的物点，不同的入射点，对应着不同的入射线和反射线，对应着不同的 。对一定的球面和发光点P（S一定），不同的入射点对应有不同的S。即：同一个物点所发出的不同光线经球面反射后不再交于一点。同一个物点所发出的不同光线经球面反射后不再交于一点。由由P点所发出的单心光束经球面反射后，单心性被破坏点所发出的单心光束经球面反射后，单心性被破坏三、近轴光线下球面反射的物像公式三、近轴光线下球面反射的物像公式1、近轴光线条件即：对一定的反射球面（r一定），和一一对应，而与入射点无关。 由P点所发出的单心光束，经球面反射后将交于一点P，光束的单心 性得以保持。一个物点将有一个确定像点与之对应。光学上称： 很小的区域为近轴（或傍轴）区域，此区域内的光线为近轴光线在近轴光线条件下：像点称为高斯像点；研究物像关系的内容为高斯光学。2、物像公式焦点：沿主轴方向的平行光束经球面反射后将会聚于 主轴上一点，该点称为反射球面的焦点(F)。ACOP-s-r-sF焦距：焦点到球面顶点的距离（ ）。它同样遵守符号法则。 说明：1、它是球面反射成像的基本公式，只在近轴条件下成立；2、式中各量必须严格遵从符号法则；3、对凸球面反射同样适用；4、当光线从右至左时同样适用。一个点状物放在凹面镜前0.05m处，凹面镜的曲率半径为0.20m，试确定像的位置和性质.COPs-r-sP解解：设光线从左至右最后像是处于镜后0.1米处的虚像虚像。当光线从右至左时，可得到相同结论。说明符号法则均适用例题：例题：四、球面折射对光束单心性的破坏四、球面折射对光束单心性的破坏Pn-u-i1A-i2nuCPOr-ss设n0:实像S0:虚像虚像在物空间,但实际存在的是像空间的发散光束,故像方折射率仍为n.POP-s-s物空间像空间PPs-s物空间像空间S0:虚像 焦点、焦距FfA、像方焦点 F、像方焦距B、物方焦点F、物方焦距nnO-ssnnO-ssF-fC、 “”号表示永远异号，物、像方焦点一定位于球面两侧。 球面反射从数学处理上可视为球面折射的特例在球面反射中，物像空间重合，且入射光线与反射光线行进方向相反在数学处理方法上，可假设：物理上无意义六、六、理想成象的两个普适公式理想成象的两个普适公式1、高斯公式：、高斯公式：高斯公式对任何理想成像过程均适用2、牛顿公式：、牛顿公式：PnnCPOr-ss若将取值原点由顶点O改为物、像方焦点F、F，则有如下关系（如右图示）3、说明：、说明： 高斯公式、牛顿公式是近轴条件下理想成像的普适公式。只是在不同 情况下，焦距的形式不同而已。牛顿公式对任何理想成像过程均适用例题例题:一个折射率为1.6的玻璃哑铃，长20cm，两端的曲率半径为 2cm。若在离哑铃左端5cm处的轴上有一物点,试求像的位置和性质。O2s1nn-s1nO1-s2-s2P1P2P解解：两次折射成像问题。1、P为物对球面O1折射成像P12、P1为物对球面O2折射成像也可用高斯公式、牛顿公式求解！3-6 3-6 光连续在几个球面上的折射光连续在几个球面上的折射 虚物虚物 实际的光学系统大多由两个或两个以上的球面所构成。研究多个球面上的折射成像更具实际意义。一、共轴光具组一、共轴光具组1、定义：由两个或两个以上的球面所构成的，其曲率中心处在同一条直线上的光学系统，称为共轴光具组。该直线为共轴光具组的光轴。反之，称为非共轴光具组。2、共轴光具组的特点： 光在连续折射时，前一球面的像就是后一球面的物； 通过前一球面的光束必须能全部或部分通过次一个球面，才能保 证整个系统最后能够成像。光线是近轴的。二、逐个球面成像法二、逐个球面成像法1、定义： 依球面的顺序，应用成像公式逐个对球面求像，最后得到整个共轴光具组的像。2、方法特点及注意事项 必须在近轴光线条件下使用，才能得到最后像。 前一球面面的像是后一球面的物；前一球面的像空间是次一球面的物空间；前一球面的折射线是后一球面的入射线。（如上图所示） 必须针对每一个球面使用符号法则。对哪个球面成像就只能以它的顶点为取值原点，不能混淆。 计算次一个球面物距时要考虑两个球面间的距离。（如上图所示）三、虚物三、虚物1、定义：会聚的入射光束的顶点，称为虚物。如上图中P4发散的入射光束的顶点，称为实物。如上图中P1、P2和P3。2、说明： 实物、虚物的判断依据A、入射光束： 发散实物；会聚虚物B、物所处空间： 物空间实物；像空间虚物 虚物处永远没有光线通过。（实物不一定，如P1、P2有， P3 无） 虚物仍遵从符号法则。（如上图中S40） 虚物处像空间，但对应的却是物空间的会聚光束，故折射率就取 物方折射率。（与虚像类似。如上图中P4：物方折射率为n43-7 3-7 薄透镜薄透镜一、透镜一、透镜1、定义：用玻璃或其它透明介质研磨抛光为两个球面或一个球面一个 平面所形成的薄片。通常做成园形。2、分类：按表面形状分 凸透镜：中间部分比边缘厚的透镜。 凹透镜：中间部分比边缘薄的透镜。弯凸平凸双凸双凹平凹弯凹3、有关透镜的几个概念： 主轴： 两球面曲率中心的连线。 主截面：包含主轴的任一平面。有无穷个。注意：由于透镜为园形，主轴为其对称轴，所以各主截面内光线分布均相同，只需研究一个面内的成像就行了。 孔径： 垂直于主轴方向透镜的直径。 厚度： 两球面在主轴上的间距。当透镜厚度与其曲率半径相比可以忽略不计时，称为薄透镜；当透镜厚度与其曲率半径相比不可忽略不计时，称为厚透镜。二、近轴条件下薄透镜的物像公式二、近轴条件下薄透镜的物像公式 第一个球面：在近轴光线条件下，对透镜两面的折射过程分别应用球面折射成象公式（逐个球面成像法）：1、物像公式、物像公式 第二个球面面：对薄透镜， ，略去 后，两式相加得：薄透镜物像公式2 2、讨论：、讨论：对薄透镜 重合为一点 ， 称为光心，它是薄透镜 中所有长度量的取值原点。 当光线从左至右时：当光线从右至左时，成像公式同样成立： 薄透镜的会聚和发散，不仅与其形状有关，还与两侧的介质有关：空气中的薄透镜 高斯公式高斯公式 薄透镜简化模型薄透镜简化模型 牛顿公式牛顿公式 仍成立。凸透镜凹透镜1、定义：、定义：在近轴光线和近轴物的条件下，像的横向大小与物的横向大小之比。三、横向放大率三、横向放大率2、说明：、说明： 对处于同种介质中的薄透镜 ， 像的性质判断：四、薄透镜作图求像法四、薄透镜作图求像法1、主轴外的近轴物点、主轴外的近轴物点 作图求象法是利用透镜光心、焦点、焦平面的性质，通过作图来确定象的位置或光的传播方向。在近轴条件下适用。方法：利用如图所示的三条特殊光线中的两条，其折射后的交点即 为所求像点。2、主轴上的物点、主轴上的物点 物方焦平面：在近轴条件，过物方焦点F且与主轴垂直的平面。 像方焦平面：在近轴条件，过像方焦点F且与主轴垂直的平面。 付轴： 焦平面上任一点与光心O的连线。有无穷条。 焦平面的性质：OFPOPFOPFOPF物方焦平面像方焦平面利用物方焦平面第一条第二条付轴：POPFPBA利用像方焦平面OPFPBAOPFPBAOPFBA3-8 3-8 近轴物点近轴光线成像条件近轴物点近轴光线成像条件 前几节研究了在近轴光线条件下，主轴上的发光物点的反射和折射成像规律。实际的物体总有一定的大小，它可以看成由无数个发光物点构成。这些发光物点有的在主轴上，有的在主轴外。因此，研究具有一定大小的物体的成像，就归结为研究主轴外的发光物点的反射、折射成像。一、费马原理的推论一、费马原理的推论PQy-xAOhPQ-y费马原理：光在空间两定点间传播时，光程总是取极值。 两点一定，其极值为一个确定值。 无论这两点间有多少条实际光路，每条光路（即光线）的光 程都必须且只能等于这个确定值。要使物体上的任一点Q（定点）理想成像于Q（另一定点），即从Q点发出的所有光线经反射或折射后均会聚于Q，必须满足：从Q点发出的所有光线到达Q时，光程均相等。费马原理的推论等光程成像原理，适用于所有理想成像过程二、近轴物近轴光线球面反射成像二、近轴物近轴光线球面反射成像PQy-xAOhPQ-yA1、物像公式、物像公式 由近轴物点Q发出的光线，一条在球面顶点O处反射，另一条在球面任意位置A点处反射，两反射光交于Q点。由图可求得从Q点到Q点的光程为：当反射点A的位置不同时，h值将不同，因而会得到不同的光程值。若要使Q点理想成像于Q点，由费马原理的推论，光程必须为唯一定值，即其光程与h无关。为此令上式中所有含h的项的系数为0，有：2、说明、说明 上述式实为 ，即主轴外任一物点经球面反射的成 像公式，由于Q点的任意性，垂直于主轴的近轴物体亦满足此公式。 此公式是一般公式，对主轴外、主轴上的物点均适用。 当轴上物点P和近轴物点Q具有同一 物距 s 值时，轴上象点P和近 轴象点Q必有同一象距 s值，物和象具有几何相似性，即近轴光条 件下近轴物可实现理想成象。 上述式反映了物与像的大小关系 ，可由图中几何关 系直接得到。 从公式推导中可看出：主轴外物点要理想成像，必须满足近轴条件： A、光线必须是近轴的； B、物点必须是近轴的。三、近轴物近轴光线球面折射成像三、近轴物近轴光线球面折射成像1、物像公式、物像公式PQyOAh+x-ssPQ-ynn近轴物点Q发出的两条光线分别在球面的O点和A点发生折射，折射光交于Q点。在近轴光线和近轴物点条件下，用二项式定理展开并略去高次项得： 当折射点A的位置不同时，h值将不同，因而会得到不同的光程值。若要使Q点理想成像于Q点，由费马原理的推论，光程必须为唯一定值，即其光程与h无关。为此令上式中所有含h的项的系数为0，有：2、说明：、说明： 上述式实为 ，即主轴外任一物点经球面折射的成 像公式，由于Q点的任意性，垂直于主轴的近轴物体亦满足此公式。 所以，它是一般公式，对主轴外、主轴上的物点均适用。 由上述公式可知：若近轴线状物垂直于主轴，则其像为线状也垂直于主 轴，满足理想成像条件。 上述式反映了物与像的大小关系： 例题例题:用一个焦距为20cm的凸透镜与一个平面镜组成共轴光具组，平面镜位于透镜右边10cm处，今置高为1cm的物体于透镜左方10cm处（系统处于空气中），（1）求最后成像的大小和性质；（2）作出准确的光路图。 解解：此题属三次成像问题。如图示。y1y3y2yF1O1F1O2（1）物y对凸透镜 s1= -10cm f1=20cm 由高斯公式有： 1=s1/s1=(-20)/(-10)=2y1=1y=21=2cm（2）y1对平面镜 s2= -10-20= -30cm s2= -s2=30cm 2=1 y2=2cm（3）y2对凸透镜 s3=30+10=40cm f3= -20cm有3=s3/s3=(-40)/40= -1 y3=3y2=(-1)2= -2cm 最后成像在凸透镜左方40cm处，为放大、倒立的实像。光路图如下：yy1y3y2F1O1F1O23-9 3-9 理想光具组简介理想光具组简介引引言言：理理想想光光具具组组是是一一种种简简化化方方法法，把把共共轴轴系系统统作作一一个个整整体体处处理理，以以一一个个等等效效光光具具组组代代替替整整个个共共轴轴光光具具组组的的光光学学系系统统，不不必必考考虑虑光光在在该该系系统中的实际路径。统中的实际路径。理理想想光光具具组组理理论论建建立立了了点点与与点点、直直线线与与直直线线、面面与与面面间间的的共共轭轭关关系系的的纯几何理论。纯几何理论。物方的每个同心光束转化成象方的一个同心光束，满足这种理想成象物方的每个同心光束转化成象方的一个同心光束，满足这种理想成象要求的光具组，叫要求的光具组，叫理想光具组理想光具组。 一、理想光具组的基点和基面一、理想光具组的基点和基面1、主点和主平面、主点和主平面 物、像方主点H、H是一对共轭点； 物、像主主平面是共轭平面，且面上任一对共轭点到主轴的距离相等；入射到物方主平面上一点M的任一条光线，将从像方主平面上等高点M处出射。2、焦点、焦平面、焦点、焦平面 平行于主轴的光线经光具组后会聚于像方焦点（如图1） 过物方焦点的光线经光具组后平行于主轴（如图2） 一束倾斜平行光经光具组后交于像方焦平面上一点（如图3） 物方主平面上任一点发出的光线经光具组后成为一束倾斜平行光（如图4）图1图2图3图43、节点和节平面、节点和节平面 从物方节点入射的光线，将从像方节点出射，且传播方向不变（u=u) 两节点处角放大率 当光具组两边为同一介质时，节点与主点重合。 （K与H重合，K与H重合）角放大率 ：在近轴条件下，任一条光线和主轴的夹角在通过光具 组前后的比值。二、理想光具组的角放大率二、理想光具组的角放大率三、理想光具组的简化模型三、理想光具组的简化模型四、理想光具组的作图求像法四、理想光具组的作图求像法1 1、对主轴外的物点、对主轴外的物点取下述三条特殊光线中的两条即可2 2、对主轴上的物点、对主轴上的物点（1）、利用物方焦平面（2）、利用像方焦平面