第二章位理论边值问题长安大学长安大学地质工程与测绘学院张永志2. 1 边值问题的概念地球外部的重力场的性质完全由重力位 决定，所以我们只需要求得重力位。式中,是指整个地球所占空间，为地球的密度函数，r为体积元d 到 P点的距离。w为地球的自转角速率.位理论的边值问题的定义n 位理论边值问题就是根据某一空间边界上的给定条件求出该空间中拉普拉斯方程的解，当空间被包含在边界内部时叫内部边值问题，当空间位于边界外部时叫外部边值问题。在地球形状和外部重力场理论中，我们求解的是地球外部的重力场，所以，对我们有用的是外部边值问题。下面我们提出外部边值问题的三种形式。第一边值问题 求解在边界外部调和，在无穷远处正则的函数V使其在边界上满足边界条V=f，其中f为已知函数。该问题也叫狭义利赫外部问题。第二边值问题:n求解在边界外部调和，在无穷远处正则的函数V,使其在边界上满足边界条件n其中n为边界的外法线方向。该问题也叫牛曼外部问题。第三边值问题:n求解在边界外部调和，在无穷远处正则的函数V，使其在边界上满足边界条件nf为已知函数。该问题也叫混合边值问题。2.2 格林公式n P,Q,Rxyzijk2.2 格林公式格林公式格林公式格林公式格林公式格林公式 (二二)外部格林公式外部格林公式 以上我们导出的是内部的格林公式，它们给出了分块光以上我们导出的是内部的格林公式，它们给出了分块光滑曲面滑曲面 上的面积分与其内部区域上的面积分与其内部区域 中的体积分之间的关系。中的体积分之间的关系。首先，假设首先，假设 e e是间于两个曲面是间于两个曲面 和和 之间的闭区域，如图之间的闭区域，如图2-12-1所示，所示， 为半径是为半径是 R R的球面，的球面， 完全被包含在完全被包含在内部。内部。将内部第一格林公式将内部第一格林公式(2-2-12)(2-2-12)应用于闭区域应用于闭区域 e e 式及其表面式及其表面 和和 得得：外部第二格林公式：外部第二格林公式：外部第二格林公式外部第二格林公式外部第二格林公式外部第二格林公式外部第二格林公式外部第二格林公式三三.格林公式应用例举格林公式应用例举格林公式应用例举格林公式应用例举n否则，若内部包含有质量m，则格林公式应用例举格林公式应用例举格林公式应用例格林公式应用例第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式(四)将外部位表示成面积分的形式外部位表示成面积分的形式外部位表示成面积分的形式2.4 泊松积分2.4 泊松积分泊松积分泊松积分泊松积分泊松积分泊松积分泊松积分泊松积分泊松积分斯托克司定理斯托克司定理