第七章第七章 权重的确定方法权重的确定方法1. 算术平均法算术平均法7.1 专家评估统计法专家评估统计法2. 频数统计法频数统计法3. 加权统计法加权统计法加权统计法的前两步（加权统计法的前两步（1），（），（2）同频数统计法。）同频数统计法。 层次分析是一种决策分析的方法。它结合了层次分析是一种决策分析的方法。它结合了定性分析和定量分析，并把定性分析的结果量化。定性分析和定量分析，并把定性分析的结果量化。7.2 层次分析法层次分析法(The Analytic Hierarchy process,简称简称AHP) 人们在日常生活和工作中，常常会遇到在多种方案人们在日常生活和工作中，常常会遇到在多种方案中进行选择问题。例如假日旅游可以有多个旅游点供选中进行选择问题。例如假日旅游可以有多个旅游点供选择；毕业生要选择工作单位；工作单位选拔人才；政府择；毕业生要选择工作单位；工作单位选拔人才；政府机构要作出未来发展规划；厂长要选择未来产品发展方机构要作出未来发展规划；厂长要选择未来产品发展方向；科研人员要选择科研课题向；科研人员要选择科研课题 在模糊综合评判中，对所选择的多个因素赋在模糊综合评判中，对所选择的多个因素赋予权重时，哪一个的权重应大一些？这也是在予权重时，哪一个的权重应大一些？这也是在对因素赋予权重之前应该解决的问题。对因素赋予权重之前应该解决的问题。 人们在选择时，最困难的就是在众多方案中人们在选择时，最困难的就是在众多方案中都不是十全十美的都不是十全十美的,往往这方面很好，其它方面往往这方面很好，其它方面就不十分满意，这时，比较各方案哪一个更好些，就不十分满意，这时，比较各方案哪一个更好些，就成为首要问题了。就成为首要问题了。不管是方案的优先还是权重的重要程度的比较，不管是方案的优先还是权重的重要程度的比较，我们都可以采用对方案或权重排序的方法来确我们都可以采用对方案或权重排序的方法来确定它们的优先或重要程度。定它们的优先或重要程度。以下举例说明层次分析法对方案或因素的排序以下举例说明层次分析法对方案或因素的排序或权重的确定方法。或权重的确定方法。层次分析法就是对方案或因素的排序权重的方法。层次分析法就是对方案或因素的排序权重的方法。 例例1 1 某家庭预备某家庭预备 “五五一一”出游，手上有三个旅游点出游，手上有三个旅游点u1，u2，u3的资料。的资料。u1景色优美，但景色优美，但u1是一个旅游热点，住宿条件是一个旅游热点，住宿条件不十分好不十分好, 费用也较高；费用也较高；u2交通方便交通方便, 住宿条件很好，价钱住宿条件很好，价钱也不贵，只是旅游景点很一般；也不贵，只是旅游景点很一般；u3点旅游景点不错点旅游景点不错, 住宿、住宿、花费都挺好，就是交通不方便。究竟选择哪一个更好呢？花费都挺好，就是交通不方便。究竟选择哪一个更好呢？ 在这个问题中，首先有一个目标在这个问题中，首先有一个目标旅游选择；其次旅游选择；其次是选择方案的标准是选择方案的标准景点好坏、交通是否方便、费用景点好坏、交通是否方便、费用高低、住宿条件等；第三个是可供选择的方案。高低、住宿条件等；第三个是可供选择的方案。一、建立递阶层次结构一、建立递阶层次结构 层次分析一般把问题分为三层，各层间关系用线层次分析一般把问题分为三层，各层间关系用线连接。第一层称为目标层，第二层为准则层，第三层连接。第一层称为目标层，第二层为准则层，第三层叫做方案层。如果有次级标准还可以增加次准则层等。叫做方案层。如果有次级标准还可以增加次准则层等。例如，上面例子的递阶层次结构为：例如，上面例子的递阶层次结构为：景景色色旅游旅游住宿住宿费用费用交通交通u1u2u3 目标层目标层 准则层准则层 方案层方案层 为了把这种定性分析的结果量化，为了把这种定性分析的结果量化，20世纪世纪70年代，美年代，美国数学家国数学家 Saaty等人首先在层次分析中引入了九级比例标等人首先在层次分析中引入了九级比例标度和两两比较矩阵度和两两比较矩阵A=(aij)。二、构造两两比较判断矩阵二、构造两两比较判断矩阵 两个元素相互比较时，以其中一个元素作为比较元两个元素相互比较时，以其中一个元素作为比较元1，如相对上一层如相对上一层,ui与与uj（ uj为为1）比较比较,若好坏若好坏相同相同，则，则aij记记为为1；若；若ui比比uj较好较好, 记为记为3; 若若ui比比uj好好, 记为记为5； 若若ui比比uj明明显好显好,记为记为7;若若 ui比比uj好的多好的多，则记为，则记为9; 2, 4, 6, 8则是介于则是介于1,3,5,7,9之间的情况。之间的情况。 把与上层某元素有关系的所有下层元素逐一把与上层某元素有关系的所有下层元素逐一比较，且每一个元素与各元素比较的结果排成一比较，且每一个元素与各元素比较的结果排成一行则可得到一个方阵行则可得到一个方阵A=(aij)nn，称为两两比较矩，称为两两比较矩阵。设阵。设ui与与uj比为比为aij，则则uj与与ui比应为比应为aji=1/aij , 所所以两两比较矩阵以两两比较矩阵A也称为正互反矩阵。也称为正互反矩阵。如例如例1， 建立层次分析模型：建立层次分析模型：景景色色旅游旅游住宿住宿费用费用交通交通u1u2u3 如果我们通过判断矩阵如果我们通过判断矩阵A1, 可以准确的确定可以准确的确定u1 ,u2 ,u3 相对相对“景点景点”的重要程度的重要程度, 就可以通过对就可以通过对“景色景色”“住宿住宿”“费用费用”“交通交通”等所有考虑到的因素的重要等所有考虑到的因素的重要程度程度, 再通过这些因素的重要程度再通过这些因素的重要程度, 最后确定出各最后确定出各方案对目标的重要程度。方案对目标的重要程度。三、由判断矩阵计算元素对于上层支配元素的重要的厚三、由判断矩阵计算元素对于上层支配元素的重要的厚度（或排序）度（或排序） 用判断矩阵确定元素重要程度的方法有很多种，用判断矩阵确定元素重要程度的方法有很多种，下面介绍三种方法：下面介绍三种方法：1. 和法和法2. 最小夹角法最小夹角法3. 特征向量法特征向量法1. 和法和法2. 最小夹角法最小夹角法3. 特征向量法特征向量法但在实际问题中很难使但在实际问题中很难使A满足一致性。虽然满足一致性。虽然AHP并不并不要求判断矩阵具有完全的一致性，但是偏离一致性要要求判断矩阵具有完全的一致性，但是偏离一致性要求过大的判断矩阵所作出的最终决策也会于实际情况求过大的判断矩阵所作出的最终决策也会于实际情况偏差太大，因此有必要对判断矩阵进行一致性检验。偏差太大，因此有必要对判断矩阵进行一致性检验。n3 4 5 6 7 8 9RI0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45五、计算最底层元素对目标的权重（排序）向量五、计算最底层元素对目标的权重（排序）向量在上述步骤中得到的是各层元素对上层元素的权重（排在上述步骤中得到的是各层元素对上层元素的权重（排序）向量序）向量 ，而我们的目的却是要得到最底层元素对目，而我们的目的却是要得到最底层元素对目标的权重（排序）向量标的权重（排序）向量 ，这就须将已经得到的权重，这就须将已经得到的权重（排序）向量进行合成，从而得到综合权重（排序）向（排序）向量进行合成，从而得到综合权重（排序）向量量 。以下就三层的情况来介绍这种方法。以下就三层的情况来介绍这种方法。最大特征值和对应正特征向量分别为：最大特征值和对应正特征向量分别为：=3.002，X=(5.903867500, 0.8066923031, 3.086293726)T=3.080，X=(0.0846216595,0.4466019878,0.6734288503)T=3.094，X=(0.09138978270, 0.3366828382, 0.4961400716)T=3.065，X=(3.658853431, 8.514030366, 0.943422178)T=4.0155, X=(9.15749285,3.529892637,3.90998156,1.8409641)T特征向量归一化得第三层特征向量归一化得第三层3个元素对第二层个元素对第二层4个元素的权个元素的权重重（排序）（排序）向量为：向量为： 第二层第二层4个元素对目标的权重（排序）向量为个元素对目标的权重（排序）向量为 于是第三层于是第三层3个元素对元素对目标的权重（排序）向量为个元素对元素对目标的权重（排序）向量为由计算结果和最大隶属原则，由计算结果和最大隶属原则，u1，u2，u3三个三个旅游点相对旅游目标来说，综合排序结果是：旅游点相对旅游目标来说，综合排序结果是：u3点为首选，点为首选，u1次之，次之，u2点最后。即排序为：点最后。即排序为：如果如果u1，u2，u3不是三个旅游点而是三个元素，不是三个旅游点而是三个元素，则最后的结果：则最后的结果：(0.3617, 0.2538, 0.3845)就是三个元素的权重：就是三个元素的权重：