第第2 2章章 平面向量平面向量2.2.3 2.2.3 向量的数乘（向量的数乘（1 1）1. 1.向量加法的向量加法的三角形法则三角形法则作法:在在平面中任取一点平面中任取一点O,O,o回顾旧知回顾旧知:过过O作作OA= a过过A作作AB= b则则OB= a+b.a+bbaA如如图图, ,已知向量已知向量a a和向量和向量b b, ,作向量作向量a a+ +b b. .bBa首首尾尾相相接接首首尾尾连连2.向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则作法:在在平面中任取一点平面中任取一点O,o以以OA,OBOA,OB为边作为边作平行四边形平行四边形C如如图图,已知向量已知向量a和向量和向量b,作向量作向量a+b.baaAbB过过O作作OA= a过过O O作作OB=OB= b ba+b则则对角线对角线OC= OC= a+ba+b共起点共起点3.向量的减法向量的减法(三角形法则）三角形法则）如如图图,已知向量已知向量a和向量和向量b,作向量作向量a-b.ab作法作法:在在平面中任取一点平面中任取一点O O,oaAa-bbB共起点共起点过过O O作作OA=OA= a a过过O O作作OB=OB= b b则则BA= BA= a-ba-b实际背景探索探索1:aC CaA AB BaOO-aQQ-aMMN N-aP P已知非零向量已知非零向量 a （如图）如图）a试试作出：作出： a+a+a 和和 (-a)+(-a)+(-a)根据向量加法根据向量加法的法则可得的法则可得 思考思考:相同向量相加以后，相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？和的长度与方向有什么变化？OABC 由图可知，向量由图可知，向量OC=OA+AB+BC=a+a+a,我们把我们把a+a+a记记作作3 a，即，即OC=3a. 显然，显然，3a的方向与的方向与a的方向相同，的方向相同，3a 的的长度是长度是a的长度的的长度的3倍，即倍，即|3a | = 3 |a |.PQMN由图可知，由图可知， PN=PQ+QM+MN=(-a)+(-a)+(-a)，把，把(-a)+(-a)+(-a)记作记作-3 a，即，即PN= - 3a显然，显然，-3a的方向与的方向与a的方向相反，的方向相反，-3a的的长度是长度是a的长度的的长度的3倍，即倍，即|-3a | =3 | a | 。（1 1） 一般地，我们规定实数一般地，我们规定实数与向量与向量 的积是一的积是一个向量，这种运算叫做个向量，这种运算叫做向量的数乘向量的数乘，记作，记作 ，它的长度和方向规定如下它的长度和方向规定如下：（2 2）当）当 时，时， 的方向与的方向与 的方向相同；的方向相同； 当当 时，时， 的方向与的方向与 的方向相反。的方向相反。特别的，当特别的，当 时，时，思考思考:向量数乘和实数乘法有那些相同点向量数乘和实数乘法有那些相同点?那些不同点那些不同点? a 是一个向量；是一个向量； a 的长度等于的长度等于 的的绝对值与向量绝对值与向量a的长度的长度的乘积。的乘积。=探索探索2: (1) (1) 根据定义，求作向量根据定义，求作向量根据定义，求作向量根据定义，求作向量3(23(2a a) )和和和和(6(6a a) ) ( (a a为非零向量为非零向量为非零向量为非零向量) )，并进行比较。，并进行比较。，并进行比较。，并进行比较。(2) (2) 已知向量已知向量已知向量已知向量 a,ba,b，求作向量求作向量求作向量求作向量2(2(a+ba+b) )和和和和2 2a+a+2 2b b，并并并并进行比较。进行比较。进行比较。进行比较。设设 为实数，那么为实数，那么特别的，我们有特别的，我们有 向量的加、减、数乘运算统称为向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算向量的线形运算.对于任意向量对于任意向量 ，以及任意实数，以及任意实数 ，恒有恒有第一分配律第一分配律第二分配律第二分配律例例1.计算：计算：例例2探索探索. .如图：已知如图：已知 ， ，试判断试判断 与与 是否共线是否共线 ABDEC 与与 共线共线 解：解：