8.6 8.6 8.6 8.6 静静静静电场电场中的中的中的中的导导体体体体一、一、一、一、一、一、导导导体的静体的静体的静体的静体的静体的静电电电平衡条件平衡条件平衡条件平衡条件平衡条件平衡条件1 1、静电感应、静电感应(electrostatic induction)(electrostatic induction)： 在静电场中，导体中自在电子在电场力的作在静电场中，导体中自在电子在电场力的作用下作宏观定向运动，使电荷产生重新分布的景用下作宏观定向运动，使电荷产生重新分布的景象。象。平衡时，导体内部的场强处处为零平衡时，导体内部的场强处处为零+3 3、静、静电平衡条件：平衡条件： 2 2、静电平衡：、静电平衡：1 1导体内部体内部场强处处为零零2 2外表外表场强垂直于垂直于导体外表体外表当静当静电平衡平衡时导体体为一等一等势体，体，导体外表是一个等体外表是一个等势面面导体中体中电荷的宏荷的宏观定向运定向运动终止，止，电荷分荷分布不随布不随时间改改动。 导体的静电平衡导体的静电平衡导体外表体外表电场可以不可以不为零，但一定和零，但一定和导体外表垂直体外表垂直假设不垂直，那么会有平行导体外表的分量假设不垂直，那么会有平行导体外表的分量 ，在，在 的作用下，电荷将继续挪动。的作用下，电荷将继续挪动。 导体上的电荷分布导体上的电荷分布处于静电平衡形状导体内部场强处处为零，电荷分布在处于静电平衡形状导体内部场强处处为零，电荷分布在导体外表。导体外表。二、二、二、二、二、二、. . . . . .处处处于静于静于静于静于静于静电电电平衡形状平衡形状平衡形状平衡形状平衡形状平衡形状导导导体上的体上的体上的体上的体上的体上的电电电荷分布荷分布荷分布荷分布荷分布荷分布 1、 实心导体+2 2、空腔导体、空腔导体1 1腔内无带电体：电荷分布在导体腔内无带电体：电荷分布在导体外表，导体内部及腔体的内外表处处外表，导体内部及腔体的内外表处处无净电荷。无净电荷。2 2腔内有带电体：腔体内外表所带腔内有带电体：腔体内外表所带的电量和腔内带电体所带的电量等量异的电量和腔内带电体所带的电量等量异号，腔体外外表所带的电量由电荷守恒号，腔体外外表所带的电量由电荷守恒定律决议。定律决议。+q+导体的外表场强导体的外表场强由高斯定理可证明由高斯定理可证明 导体上的电荷分布导体上的电荷分布孤立导面子电荷分布的特点是外表曲率越大，面电孤立导面子电荷分布的特点是外表曲率越大，面电荷密度越大，而从上面场强与电荷面密度的关系我荷密度越大，而从上面场强与电荷面密度的关系我们可以看出，电荷密度越大的地方，场强也越大。们可以看出，电荷密度越大的地方，场强也越大。例题例题1 1两个半径分别为两个半径分别为R R和和r r 的球形导体的球形导体RrRr，用一根，用一根很长的细导线衔接起来如图，使这个导体组带电，电很长的细导线衔接起来如图，使这个导体组带电，电势为势为V V，求两球外表电荷面密度与曲率的关系。，求两球外表电荷面密度与曲率的关系。Q 导体上的电荷分布导体上的电荷分布q解解: :两个两个导体所体所组成的整体可看成是一个孤立成的整体可看成是一个孤立导体系，体系，在静在静电平衡平衡时有一定的有一定的电势值。设这两个球相距很两个球相距很远，使每个球面上的使每个球面上的电荷分布在另一球所激荷分布在另一球所激发的的电场可忽略可忽略不不计。细线的作用是使两球的作用是使两球坚持等持等电势。因此，每个球。因此，每个球又可近似的看作又可近似的看作为孤立孤立导体，在两球外表上的体，在两球外表上的电荷分布荷分布各自都是均匀的。各自都是均匀的。设大球所大球所带电荷量荷量为Q Q，小球所，小球所带电荷荷量量为q q，那么两球的，那么两球的电势为Q 导体上的电荷分布导体上的电荷分布q可见大球所带电量可见大球所带电量Q Q比小球所带电量比小球所带电量q q多。多。两球的电荷密度分别为两球的电荷密度分别为 可可见见电电荷荷面面密密度度和和半半径径成成反反比比，即即曲曲率率半半径径愈愈小或曲率愈大，电荷面密度愈大。小或曲率愈大，电荷面密度愈大。 导体上的电荷分布导体上的电荷分布例例1. 1. 证明两无限大平行金属板到达静电平衡时，其相对证明两无限大平行金属板到达静电平衡时，其相对两面带等量异号电荷，相背两面带等量同号电荷。两面带等量异号电荷，相背两面带等量同号电荷。 导体上的电荷分布导体上的电荷分布证明：证明： 从左至右一共有四个带电平面，设其所带从左至右一共有四个带电平面，设其所带电荷的面密度依次为电荷的面密度依次为1、2、3、4。以向右作为电场正向。以向右作为电场正向。左边导体中恣意一点左边导体中恣意一点P的场强：的场强：右边导体中恣意一点右边导体中恣意一点Q的场强：的场强：证毕证毕. .三、静三、静三、静三、静三、静三、静电电电屏蔽屏蔽屏蔽屏蔽屏蔽屏蔽(electrostatic shielding)(electrostatic shielding)(electrostatic shielding)(electrostatic shielding)(electrostatic shielding)(electrostatic shielding)下面我下面我们简单证明一下明一下这一一结论。假假设内外表一部分内外表一部分带正正电，另一部分，另一部分带等量的等量的负电，那么必有，那么必有电场线从正从正电荷出荷出发终止于止于负电荷。荷。取取闭合途径合途径L L，一部分在空腔，一部分在，一部分在空腔，一部分在导体中。体中。与静与静电场环路定理矛盾，原假路定理矛盾，原假设不成立。不成立。导体内部及腔体的内外表体内部及腔体的内外表处处无无净电荷。荷。 导体放入静体放入静电场中，中，导体上的感体上的感应电荷只分布在荷只分布在导体外表，体外表，导体内部没有体内部没有净电荷，荷，导体内部体内部场强为零。假零。假设导体内部挖一空腔，体内部挖一空腔，空腔内无空腔内无带电体体时，电荷只分布在外外表，荷只分布在外外表，导体内部及腔体的内外体内部及腔体的内外表表处处无无净电荷。荷。假假设腔内有腔内有带电体，腔体内外表所体，腔体内外表所带的的电量和腔内量和腔内带电体体所所带的的电量等量异号，腔体外外表所量等量异号，腔体外外表所带的的电量由量由电荷守恒荷守恒定律决定律决议，腔外，腔外导体和体和电场不影响腔内不影响腔内电场。外外表接地，腔外外外表接地，腔外电场消逝。消逝。腔内有腔内有电荷，腔外有荷，腔外有电场。结论结论结论 在静在静电平衡形状下，空腔平衡形状下，空腔导体外面的体外面的带电体体不会影响空腔内部的不会影响空腔内部的电场分布；一个接地的空腔分布；一个接地的空腔导体，空腔内的体，空腔内的带电体体对腔外的物体不会腔外的物体不会产生影生影响。响。这种使种使导体空腔内的体空腔内的电场不受外界影响或利不受外界影响或利用接地的空腔用接地的空腔导体将腔内体将腔内带电体体对外界影响隔外界影响隔绝的景象，称的景象，称为静静电屏蔽。屏蔽。远离其它导体合带电体的导体称为孤立导体。远离其它导体合带电体的导体称为孤立导体。实验阐明，任何孤立导体，其带电量实验阐明，任何孤立导体，其带电量Q Q与电势与电势V V以无限以无限远处为电势零点的比值是一个与远处为电势零点的比值是一个与Q Q和和V V均无关的常数，均无关的常数，这个常数定义为孤立导体的电容，用符号这个常数定义为孤立导体的电容，用符号C C来表示。即来表示。即电容单位：法拉电容单位：法拉F F1F=106F=109nF=1012pF 8.7 8.7 8.7 8.7 电电容容容容一、一、 孤立导体的电容孤立导体的电容(capacitance)实验阐明，电容实验阐明，电容C C与导体的外形、大小和导体周围的介电体的性质有与导体的外形、大小和导体周围的介电体的性质有关。其物理含义为：导体的电势每升高关。其物理含义为：导体的电势每升高1 1伏特时所需的电量。伏特时所需的电量。法拉是一个很大的法拉是一个很大的单位，常用的位，常用的还有微法有微法FF、皮法、皮法pFpF电容器：两相互绝缘的导体组成的系统。电容器：两相互绝缘的导体组成的系统。电容器的两极板常带等量异号电荷。电容器的两极板常带等量异号电荷。几种常见电容器及其符号：几种常见电容器及其符号：二、二、 电容器的电容电容器的电容(capacitance of capacitor)如今计算一下，真空中一个半径为如今计算一下，真空中一个半径为R R，带电量为，带电量为Q Q的孤立导的孤立导体球的电容。此孤立导体球的电势为体球的电容。此孤立导体球的电势为由电容的定义可得，此球的电容为由电容的定义可得，此球的电容为计算算电容的普通方法：容的普通方法：Q为其中一个极板其中一个极板电量量绝对值U为两板两板电势差差电容器的容器的电容定容定义：1 1先假先假设电容器的两极板容器的两极板带等量异号等量异号电荷。荷。2 2求出极板之求出极板之间的的电场强度。度。3 3求出极板之求出极板之间的的电势差差4 4代入定代入定义式求出式求出电容容(1)(1)平板平板电容器容器几种常几种常几种常几种常几种常几种常见见见真空真空真空真空真空真空电电电容器及其容器及其容器及其容器及其容器及其容器及其电电电容容容容容容Sd电容与极板面容与极板面积成正比，与成正比，与间距成反比。距成反比。假假设两极板件充溢相两极板件充溢相对电容率容率为 的介的介电体，那么体，那么电容容为2圆柱形电容器圆柱形电容器(3) 球形电容器球形电容器4设有两根半径都有两根半径都为R的平行直的平行直导线，他，他们中心的距中心的距离离为d，且，且 d R。求。求单位位长度的度的电容。容。解：解：P点的点的场强导线之之间的的电势差差单位位长度上的度上的电容容为3. 3. 3. 3. 电电容器的串容器的串容器的串容器的串联联和并和并和并和并联联电容器性能参数：容器性能参数： 电容和耐容和耐压(1)并并联：(2)串串联：增大增大电容容提高耐提高耐压(3)混混联：AB根据根据衔接接计算算满足容量和耐足容量和耐压的的特殊要求特殊要求bl例例9-3三个电容器按图衔三个电容器按图衔接，其电容分别为接，其电容分别为C1 、C2和和C3。求当电键。求当电键K翻开翻开时，时， C1将充电到将充电到U0，然，然后断开电源，并闭合电键后断开电源，并闭合电键K。求各电容器上的电势。求各电容器上的电势差。差。解解 知在知在K 闭合前，合前， C1极板上所极板上所带电荷量荷量为q0 =C1 U0 ， C2和和C3极板上的极板上的电荷量荷量为零。零。K闭合后，合后， C1放放电并并对C2 、 C3充充电，整个，整个电路可看作路可看作为C2、C3串串联再与再与C1并并联。设稳定定时， C1极板上的极板上的电荷量荷量为q1， C2和和C3极板上的极板上的电荷量荷量为q2，因此有，因此有KU0+q0-q0-q0C1C2C3解两式得解两式得因此，得因此，得C1 、C2和和C3上的上的电势差分差分别为一、一、一、一、电电容器的能量容器的能量容器的能量容器的能量 8.8 8.8 8.8 8.8静静静静电场电场的能量的能量的能量的能量+-挪动挪动dq电场力做功电场力做功U和和dq都是变量都是变量二、二、二、二、 静静静静电场电场的能量的能量的能量的能量电能能贮藏在藏在电场中，静中，静电场能量的体密度能量的体密度为任一任一带电体系的体系的总能量能量例例9-9 求半径为求半径为R 带电量为带电量为Q 的均匀带电球的静电能。的均匀带电球的静电能。解一：解一：计算定域在算定域在电场中的能量中的能量球内球内 r 处电场解二：解二：计算算带电体系的静体系的静电能能再聚集再聚集这层电荷荷dq，需做功：，需做功：而而所以所以球体是一球体是一层层电荷逐荷逐渐聚集而成，某一聚集而成，某一层内已聚集内已聚集电荷荷例例题9-10一平行板空气一平行板空气电容器的板极面容器的板极面积为S，间距距为d，用，用电源充源充电后两极板上后两极板上带电分分别为 Q。断开。断开电源后再把两极板的源后再把两极板的间隔拉开到隔拉开到2d。求。求1外力抑制两极板相互吸引力所作的功；外力抑制两极板相互吸引力所作的功；2两极板之两极板之间的相互吸引力。空气的的相互吸引力。空气的电容率取容率取为0。板极上板极上带电 Q时所所储的的电能能为解解 1 两极板的两极板的间距距为d和和2d时，平行板，平行板电容器容器的的电容分容分别为2设两极板之两极板之间的相互吸引力的相互吸引力为F ，拉开两极板，拉开两极板时所加外力所加外力应等于等于F ，外力所作的功，外力所作的功A=Fd ，所以，所以故两极板的故两极板的间距拉开到距拉开到2d后后电容器中容器中电场能量的能量的增量增量为讨论：由讨论：由 也可以求出也可以求出F，请问此时的，请问此时的E =？一个无限大平面附近的场。一个无限大平面附近的场。例例9-11 平平行行板板空空气气电容容器器每每极极板板的的面面积S= 310-2m2 ，板板极极间的的间隔隔d = 310-3m 。今今以以厚厚度度为d = 110-3m的的铜板板平平行行地地插插入入电容容器器内内。1计算算此此时电容容器器的的电容容；2铜板板离离板板极极的的间隔隔对上上述述结果果能能否否有有影影响响？3使使电容容器器充充电到到两两极极板板的的电势差差为300V后后与与电源源断断开开，再再把把铜板板从从电容容器器中中抽抽出出，外外界界需需作功多少功？作功多少功？解：解： 1铜板未插入前的板未插入前的电容容为d1d2dd+- - C1C2AB设平行板平行板电容器两板极上容器两板极上带有有电荷荷q, 铜板平行地板平行地两外表上将分两外表上将分别产生感生感应电荷，面密度也荷，面密度也为 ，如，如下下图，此，此时空气中空气中场强不不变，铜板中板中场强为零。两零。两极板极板A、B的的电势差差为所以所以铜板插入后的板插入后的电容容C 为2由由上上式式可可见，C 的的值与与d1和和d2无无关关 d1增增大大时， d2减减小小。 d1+ d2=d-d 不不变，所所以以铜板板离离极极板板的的间隔不影响隔不影响C 的的值3铜板板未未抽抽出出时，电容容器器被被充充电到到U=300V，此此时所所带电荷量荷量Q=C U，电容器中所容器中所储静静电能能为能量的增量能量的增量W-W 应等于外力所需作的功，即等于外力所需作的功，即当当电容容器器与与电源源切切断断后后再再抽抽出出铜板板，电容容器器所所储的的静静电能增能增为代入知数据，可算得代入知数据，可算得 静静静静静静电场电场电场的能量的能量的能量的能量的能量的能量代入知数据，可算得代入知数据，可算得