4.3 系统函数零极点系统函数零极点时域特性和稳定性时域特性和稳定性一、系统函数一、系统函数H(s)零极点与零极点与h(t)波形关系波形关系极点：分母多项式之根极点：分母多项式之根零点：分子多项式之根零点：分子多项式之根极点阶次：极点阶次：有限值：一阶极点有限值：一阶极点直到直到 K = n 时才为有限值：时才为有限值：n 阶极点阶极点 f(t)与与 F(s) 之间存在一定对应关系，可从之间存在一定对应关系，可从F(s)的典型的典型形式透视出形式透视出f(t)内在性质内在性质1系统函数零极点概念系统函数零极点概念零极点图中：零极点图中：表示极点；表示极点；表示零点表示零点处：处：分母次数分母次数 分子次数则为零点，阶次为分母次数减分子次数分子次数则为零点，阶次为分母次数减分子次数分母次数分母次数 分子次数则为极点，阶次为分子次数减分母次数分子次数则为极点，阶次为分子次数减分母次数注意：零、极点个数相同注意：零、极点个数相同例例1： 极点：极点：s = -1 （二阶）（二阶） s = j2 （一阶）（一阶） s = -j2（一阶）（一阶）零点：零点：s = 0 （一阶）（一阶） s = 1+j1（一阶）（一阶） s = 1-j1 （一阶）（一阶） s = （一阶）（一阶）解：解：复数极点复数极点和零点成和零点成对出现对出现例例1： 极点：极点： s = -1 （二阶）（二阶） s = （一阶）（一阶）解：解： 零点：零点： s = 0 （一阶）（一阶） s = -2（一阶）（一阶） s = -3（一阶）（一阶）2H(s) 极点与极点与 h(t) 波形特征关系波形特征关系故：故：若若 为为k阶极点，则阶极点，则则：则：典型情况典型情况000pi =0 （二阶）（二阶）) pi =0（一阶）（一阶）) pi0（实一阶）（实一阶） pi0（实一阶）（实一阶）pi0（实二阶）实二阶）0000) pi, pj共轭虚轴（一阶）共轭虚轴（一阶）pi，pj共轭虚轴共轭虚轴（二阶）（二阶）00000) pi，pj共轭左半平面（一阶）共轭左半平面（一阶）pi，pj共轭左半平面（二阶）共轭左半平面（二阶）000) pi，pj共轭右半平面（一阶）共轭右半平面（一阶） pi，pj共轭右半平面（二阶）共轭右半平面（二阶）0000极点左半平面极点左半平面h(t)波形衰减波形衰减极点右半平面极点右半平面h(t)波形增长波形增长虚轴上一阶极点虚轴上一阶极点h(t)波形等幅振荡或阶跃波形等幅振荡或阶跃虚轴上二阶或二阶以上极点虚轴上二阶或二阶以上极点h(t)波形增幅振荡波形增幅振荡总结：总结：3H(s)零点对零点对h(t)波形影响波形影响例例2：只影响幅度、相位、不改变波形形式只影响幅度、相位、不改变波形形式二、二、H(s)极点与系统稳定性关系极点与系统稳定性关系1稳定性：系统本身特性，与激励无关稳定性：系统本身特性，与激励无关2h(t) 与系统稳定性关系与系统稳定性关系因果系统因果系统h(t)=0(t0)时域和时域和S域两方面出发：域两方面出发：h(t)或或H(s)集中表征了系统的本性，集中表征了系统的本性， 当然它们也反映了系统是否稳定当然它们也反映了系统是否稳定因果系统因果系统的稳定性的稳定性划分划分3H(s)与系统稳定性关系与系统稳定性关系4稳定系统的另一定义方法：稳定系统的另一定义方法：BIBO方法方法(包括非因果系统包括非因果系统)考察因果系统考察因果系统H(s)参见参见P210，表，表4-4；P212，表，表4-5有界输入有界输入有界输出有界输出全部极点全部极点s左半平面：左半平面： 稳定稳定 有极点有极点s右半平面，或虚轴上二阶以上极点：右半平面，或虚轴上二阶以上极点：不稳定不稳定虚轴上极点均为一阶，其它虚轴上极点均为一阶，其它s左半平面：左半平面： 临界稳定临界稳定5. 稳定系统稳定系统(包括非因果系统包括非因果系统)充要条件充要条件：即冲激响应即冲激响应h(t)绝对可积绝对可积由由BIBO可知系统稳定可知系统稳定证明：证明：充充分分性性当当时，时，设：设：必必要要性性 则则有界，有界，6. 因果稳定系统充要条件：因果稳定系统充要条件：7BIBO稳定性把稳定性把H(s)稳定性中的临界稳定性判为不稳定稳定性中的临界稳定性判为不稳定h(t)=A或等幅振荡代表不满足绝对可积条件或等幅振荡代表不满足绝对可积条件例例3：例例4： 解：解：K 取何值时系统稳定、临界稳定？取何值时系统稳定、临界稳定？时，系统临界稳定时，系统临界稳定时，有共轭复根在左半平面，系统稳定时，有共轭复根在左半平面，系统稳定 且且 ，即，即 时，系统稳定时，系统稳定系统稳定系统稳定时，系统不稳定时，系统不稳定P242，图，图4-55极点在极点在s平面移动过程平面移动过程三、三、 H(s), E(s)极点分布与自由响应、强迫响应关系极点分布与自由响应、强迫响应关系 零状态响应零状态响应R(s)=H(s)E(s)，r(t)=-1R(s)1假设所有假设所有pi，pk均不相等，且没被零点抵消，则均不相等，且没被零点抵消，则极点分为两部分极点分为两部分自由响应自由响应(系统函数极点形成系统函数极点形成)强迫响应强迫响应(激励函数极点形成激励函数极点形成) 自由响应自由响应 强迫响应强迫响应齐次解齐次解 特解特解零输入响应零输入响应 零状态响应零状态响应 齐次解的一部分齐次解的一部分 齐次解的一部分齐次解的一部分+特特解解 并非自由响应的全部：只对应零状态部分的自由响应，并非自由响应的全部：只对应零状态部分的自由响应， 缺少零输入所对应的自由响应缺少零输入所对应的自由响应自由响应：自由响应：形式形式只由只由H(s)决定，决定，幅度相位幅度相位由由H(s), E(s)共同决定共同决定强迫响应：强迫响应：形式形式只由只由E(s)决定，决定，幅度相位幅度相位由由H(s), E(s)共同决定共同决定2Ki , Kk 均由均由 pi , pk共同作用，即共同作用，即3固有频率固有频率(自由频率自由频率)：系统行列式系统行列式(系统特征方程系统特征方程)的根，的根， 反映全部自由响应的形式反映全部自由响应的形式包含全部自包含全部自由响应形式由响应形式H(s)包含了零状态响应包含了零状态响应提供的全部信息，但它提供的全部信息，但它不包含零输入响应的全不包含零输入响应的全部信息部信息因为当把系统行列式作因为当把系统行列式作为分母写出为分母写出H(s)时，有时，有可能出现可能出现H(s)的极点因的极点因子相消的情形子相消的情形分子分母因式可能相消使分子分母因式可能相消使 H(s)丢失固有频率，则相应的丢失固有频率，则相应的自由响应形式会丢失：自由响应形式会丢失：即即 H(s)只能反映零状态响应，而只能反映零状态响应，而无法反映零输入响应无法反映零输入响应例例5：解：解：零、极点相消零、极点相消丢失固有频率丢失固有频率全部全部固有频率固有频率微分方程经典解法全部自由响应例例6：解：解：故：故：自由响应强迫响应四、四、H(s)、E(s)零极点与瞬态响应、稳态响应关系零极点与瞬态响应、稳态响应关系时消失的相应部分时消失的相应部分1瞬态响应：瞬态响应：时保留下来的相应部分时保留下来的相应部分2稳态响应：稳态响应：极点实部小于极点实部小于0则自由响应强迫响应则自由响应强迫响应瞬态瞬态若若极点实部大于极点实部大于0或在虚轴上有极点，则强迫响应或在虚轴上有极点，则强迫响应稳态稳态若若的极点实部等于的极点实部等于0，自由响应，自由响应稳态稳态4的极点实部大于的极点实部大于0，不稳定，自由响应，不稳定，自由响应稳态稳态5的极点实部均小于的极点实部均小于0稳定系统，自由响应均为瞬态响应稳定系统，自由响应均为瞬态响应36 的极点与的极点与 零点相消，不出现该零点相消，不出现该 极点对应的极点对应的 自由响应自由响应的极点与的极点与 零点相消，不出现该零点相消，不出现该 极点对应的极点对应的强迫响应强迫响应例例8：求：求：若若 ，为使响应中不存在正，为使响应中不存在正弦弦稳态分量，求稳态分量，求 LC 值值 ，在，在条件下，求条件下，求解：解： 作业作业 4-23(a)(c), 4-26(a)(c),4-27, 4-33, 4-35, 4-45 4-48(选做选做)Review系统函数系统函数H(s)零极点与零极点与h(t) 波形关系波形关系H(s),E(s)零极点分布与自由响应、强迫响应关系零极点分布与自由响应、强迫响应关系系统函数系统函数H(s)极点与系统稳定性关系极点与系统稳定性关系H(s),E(s)零极点分布与瞬态响应、稳态响应关系零极点分布与瞬态响应、稳态响应关系