数列求和数列求和 几种重要的求和思想方法几种重要的求和思想方法： 1.1.倒序相加法倒序相加法. . 2.2.错位相减法错位相减法. . 3 . 3 . 法：法：. . 4.4.裂项相消法：裂项相消法：倒序相加法倒序相加法: 如果一个数列如果一个数列aan n ，与首末两项等与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和（都距的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），相等，为定值），可采用把正着写和可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法为倒序相加法. . 类型类型a1 1+an n=a2 2+an-1n-1=a3 3+an-2n-2=典例典例. . 已知已知求求S . S . 2.2.倒序相加法倒序相加法2.2.错位相减错位相减典例典例3:3:1+23+332+433+n3n-1=？当当aan n 是等差数列，是等差数列，bbn n 是等比数列，求是等比数列，求数列数列aan nb bn n 的前的前n n项和适用项和适用错位相减错位相减通项通项错位相减法：错位相减法： 如果一个数列的各项是由一如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法用错位相减法. .既既aan nb bn n 型型等差等差等比等比4 4、裂项相消、裂项相消分裂通项法：分裂通项法： 把把数数列列的的通通项项拆拆成成两两项项之之差差，即即数数列列的的每每一一项项都都可可按按此此法法拆拆成成两两项项之之差差，在在求求和和时时一一些些正正负负项项相相互互抵抵消消，于于是是前前n n项项的的和和变变成成首首尾尾若若干干少少数数项项之之和和，这这一一求求和方法称为分裂通项法和方法称为分裂通项法. .（见到见到分式型分式型的要往这种方法联想的要往这种方法联想） 同类性质的数列归于一组，目的同类性质的数列归于一组，目的是为便于运用常见数列的求和公式是为便于运用常见数列的求和公式. .拆项分组求和拆项分组求和: :典例典例5 5：数列数列aan n 的通项的通项a an n=2=2n n+2n-1+2n-1， 求该数列的前求该数列的前n n项和项和. .分组求和法：分组求和法： 把把数数列列的的每每一一项项分分成成两两项项，或或把把数数列列的的项项“集集”在在一一块块重重新新组组合合，或或把把整整个个数数列列分分成成两两部部分分，使使其其转转化化为为等等差差或或等等比比数数列列，这这一一求求和和方方法法称称为为分分组组求求和和法法. . an n+bn n+cn n等差等差等比等比错位相减错位相减或裂项相消或裂项相消典型典型6 6：1-21-22 2+3+32 2-4-42 2+(2n-1)+(2n-1)2 2-(2n)-(2n)2 2= =？局部重组转化为常见数列局部重组转化为常见数列并项求和并项求和交错数列，并项求和交错数列，并项求和既既（-1）n bn型型练习练习1010：已知已知S Sn n=-1+3-5+7+(-1)=-1+3-5+7+(-1)n n(2n-1),(2n-1),1)1)求求S S2020,S,S21212)2)求求S Sn nS2020=-1+3+(-5)+7+（-37）+39S2121=-1+3+(-5)+7+（-9）+39+（-41）=20=20=-21总的方向：总的方向：1.1.转化为等差或等比数列的求和转化为等差或等比数列的求和2.2.转化为能消项的转化为能消项的思考方式：求和思考方式：求和看通项（怎样的看通项（怎样的类型类型）若无通项，则须若无通项，则须先求出通项先求出通项方法及题型：方法及题型：1.1.等差、等比数列用公式法等差、等比数列用公式法2.2.倒序相加法倒序相加法5.5.拆项分组求和法拆项分组求和法4.4.裂项相消法裂项相消法3.3.错位相减法错位相减法6.6.并项求和法并项求和法深化数列中的数学思想方法：深化数列中的数学思想方法： 热点题型热点题型1 1：递归数列与极限：递归数列与极限. .设数列设数列an的首项的首项a1=a ，且，且 , 记记 ，nl，2，3，（I I）求求a a2 2，a a3 3；（IIII）判判断断数数列列bbn n 是是否否为为等等比比数数列列，并证明你的结论；并证明你的结论；（IIIIII）求）求 （I）a2a1+ = a+ ，a3= a2= a+ 热点题型热点题型1 1：递归数列与极限：递归数列与极限. . 设数列设数列an的首项的首项a1=a ，且，且 , 记记 ，nl，2，3，（I）求）求a2，a3；（II）判断数列）判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；是否为等比数列，并证明你的结论；（III）求）求 因为因为bn+1a2n+1 = a2n = (a2n1 )= bn, (nN*) 所以所以bn是首项为是首项为a , 公比为公比为 的等比数列的等比数列 热点题型热点题型1 1：递归数列与极限：递归数列与极限. . 设数列设数列an的首项的首项a1=a ，且，且 , 记记 ，nl，2，3，（I）求）求a2，a3；（II）判断数列）判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；是否为等比数列，并证明你的结论；（III）求）求 热点题型热点题型2 2：递归数列与转化的思想方法：递归数列与转化的思想方法. . 数列数列an满足满足a1= =1且且8an+ +1- -16an+ +1+ +2an+ +5= =0 (n 1)。记。记(n 1)。(1)求求b1、b2、b3、b4的值的值；(2)求数列求数列bn的通项公式及数列的通项公式及数列anbn的前的前n项和项和Sn。 热点题型热点题型2 2：递归数列与转化的思想方法：递归数列与转化的思想方法. . 数列数列an满足满足a1= =1且且8an+ +1- -16an+ +1+ +2an+ +5= =0 (n 1)。记。记(n 1)。(1)求求b1、b2、b3、b4的值的值；(2)求数列求数列bn的通项公式及数列的通项公式及数列anbn的前的前n项和项和Sn。 热点题型热点题型3 3：递归数列与数学归纳法：递归数列与数学归纳法. . 已知数列已知数列an的各项都是正数，且满足：的各项都是正数，且满足：a0= =1，(n N)（1）证明）证明anan+12(n N)（2）求数列）求数列an的通项公式的通项公式an 用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：1当当n=1时，时， ； 2假设假设n=k时时 有成立，有成立， 令令 f(x)在在0，2上单调递增上单调递增 也即当也即当n=k+1时时 成立，成立， 所以对一切所以对一切 热点题型热点题型3 3：递归数列与数学归纳法：递归数列与数学归纳法. . 已知数列已知数列an的各项都是正数，且满足：的各项都是正数，且满足：a0= =1，(n N)（2）求数列）求数列an的通项公式的通项公式an 又b0=1