1第五章 大数定律和中心极限定理大数定律大数定律中心极限定理中心极限定理2大数定律3中心极限定理4 5.1 1 大数定律大数定律 ( (一一) )依概率收敛依概率收敛这种收敛性是在概率意义下的一种收敛，这种收敛性是在概率意义下的一种收敛， 而不是数学意义上的一般收敛而不是数学意义上的一般收敛. .5例例1.1 1.1 抛一枚均匀硬币抛一枚均匀硬币n次，次，Yn表示正面出现的频率表示正面出现的频率. .n=1,2 ,=1,2 ,可以证明可以证明试说明这种依概率收敛性试说明这种依概率收敛性, ,6思考题思考题1.1.抛硬币抛硬币70007000次，则次，则一定发生？一定发生？思考题思考题2.2.抛硬币抛硬币1 1万次，则事件万次，则事件 会发会发生吗？说明理由生吗？说明理由. .答：不一定答：不一定. .可能发生，也可能不发生，发生可能发生，也可能不发生，发生的可能性非常大，概率超过的可能性非常大，概率超过90%.90%.答：答：这是一个小概率事件，根据实际推断原理认为这是一个小概率事件，根据实际推断原理认为如果只抛如果只抛1 1万次，事件万次，事件 不会发生不会发生. .7性质：8( (二二) )马尔可夫不等式和切比雪夫不等式马尔可夫不等式和切比雪夫不等式 111213例例1.5 1.5 在在n重贝努里试验中，若已知每次试验重贝努里试验中，若已知每次试验事件事件A出现的概率为出现的概率为0.750.75，试利用切比雪夫不等式计算试利用切比雪夫不等式计算, ,(1)(1)若若n=7500,=7500,估计估计A出现的频率在出现的频率在0.740.74至至0.760.76之间的概率至少有多大；之间的概率至少有多大；(2)(2)估计估计n, ,使使A出现的频率在出现的频率在0.740.74至至0.760.76之之间的概率不小于间的概率不小于0.900.90。 ( (三三) )几个大数定律几个大数定律 17182021大数定律的重要意义： 贝努里大数定律建立了在大量重复独立试验中事件出现频率的稳定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有客观意义. 贝努里大数定律还提供了通过试验来确定事件概率的方法，既然频率nA/n与概率p有较大偏差的可能性很小，因此可以通过做试验确定某事件发生的频率并把它作为相应的概率估计，这是一种参数估计法，该方法的重要理论基础之一就是大数定律.245.2 5.2 中心极限定理中心极限定理25例例2.1 2.1 某宴会上提供一瓶某宴会上提供一瓶6 6升升(l)(l)的大瓶法国红酒的大瓶法国红酒, ,假假定与会者每次所倒红酒的重量服从同一分布定与会者每次所倒红酒的重量服从同一分布, ,期望值为期望值为100100毫升毫升(ml),(ml),标准差为标准差为3232毫升毫升. .若每若每次所倒红酒都是相互独立的次所倒红酒都是相互独立的, ,试问试问: :倒了倒了5555次后次后该瓶红酒仍有剩余的概率约为多少该瓶红酒仍有剩余的概率约为多少? ?解：设解：设Xi为第为第i次所倒的红酒量次所倒的红酒量( (单位单位:ml),:ml),则则Xi独立同分布，独立同分布，根据独立同分布的中心极限定理知，根据独立同分布的中心极限定理知，所以，所求概率为所以，所求概率为例例2.2 2.2 某校某校15001500名学生选修名学生选修“概率论与数理统计概率论与数理统计”课课程程, ,共有共有1010名教师主讲此课名教师主讲此课, ,假定每位学生可以假定每位学生可以随意地选择一位教师随意地选择一位教师( (即即, ,选择任意一位教师的选择任意一位教师的可能性均为可能性均为1/10),1/10),而且学生之间的选择是相互而且学生之间的选择是相互独立的独立的. .问问: :每位教师的上课教室应该设有多少每位教师的上课教室应该设有多少座位才能保证该班因没有座位而使学生离开的座位才能保证该班因没有座位而使学生离开的概率小于概率小于5%.5%.解：由于每位学生可以随意地选择一位老师，解：由于每位学生可以随意地选择一位老师，因此我们只需要考虑教师甲的上课教室座位因此我们只需要考虑教师甲的上课教室座位数即可数即可. .令令Y表示选择教师甲的学生人数，则表示选择教师甲的学生人数，则根据棣莫弗根据棣莫弗- -拉普拉斯中心极限定理知，拉普拉斯中心极限定理知，设教室座位数为设教室座位数为a, ,则由题意则由题意查表得查表得 故需故需故每位老师的上课教室应该至少设故每位老师的上课教室应该至少设170170个座位才个座位才能保证因座位不够使学生离开的概率小于能保证因座位不够使学生离开的概率小于5%.5%.解得解得33例例2.4 2.4 在在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件重贝努里试验中，若已知每次试验事件A出现的概率为出现的概率为0.750.75，试利用中心极限定理计，试利用中心极限定理计算算, ,(1)(1)若若n=7500,=7500,估计估计A出现的频率在出现的频率在0.740.74至至0.760.76之间的概率近似值；之间的概率近似值；(2)(2)估计估计n, ,使使A出现的频率在出现的频率在0.740.74至至0.760.76之间之间的概率不小于的概率不小于0.900.90。34解：设解：设事件事件A出现的次数为出现的次数为X,则则