第三节3.1 第二型第二型曲面积分的概念与性质曲面积分的概念与性质 3.3 第二型第二型曲面积分的计算法曲面积分的计算法3.2 两类曲面积分的联系两类曲面积分的联系机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二型曲面积分第二型曲面积分 第五章 型曲面积分最新3.1 第二型曲面积分概念与性质第二型曲面积分概念与性质1. 曲面的侧曲面的侧双侧双侧曲面：有上、下侧，前、后侧，左、右侧之分。曲面：有上、下侧，前、后侧，左、右侧之分。单侧单侧曲面：无上下侧，前后侧，左右侧之分。也无曲面：无上下侧，前后侧，左右侧之分。也无内侧和外侧之分。内侧和外侧之分。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在光滑曲面在光滑曲面 上任取一点上任取一点 M ，曲面在点，曲面在点 M 处的法线处的法线有两个方向：当取定其中一个方向为正方向时，则有两个方向：当取定其中一个方向为正方向时，则另一个就是负方向。例如另一个就是负方向。例如封闭封闭曲面曲面：内侧和外侧之分。内侧和外侧之分。型曲面积分最新单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带封闭曲面(单侧曲面的典型) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分内侧和外侧型曲面积分最新双侧曲面曲面分上侧和下侧曲面分左侧和右侧机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyzxyzxyz曲面分前侧和后侧型曲面积分最新其方向用其方向用法向量指向法向量指向表示表示 :方向余弦方向余弦 0 为前侧为前侧封闭曲面封闭曲面 0 为右侧为右侧 0 为上侧为上侧外侧外侧侧向的侧向的规定规定设单位法向量设单位法向量机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 0 为后侧为后侧 0 为左侧为左侧 0 为下侧为下侧内侧内侧 指定了侧向的曲面叫指定了侧向的曲面叫指定了侧向的曲面叫指定了侧向的曲面叫有向曲面。有向曲面。有向曲面。有向曲面。型曲面积分最新引例引例 设不可压缩流体（假设密度为设不可压缩流体（假设密度为1）在空间中稳定）在空间中稳定求单位时间流过光滑曲面求单位时间流过光滑曲面 的流量的流量 . 若若 是指定了侧向平面，面积为是指定了侧向平面，面积为S则流量则流量平面平面 的的法向量法向量: 流速为常向量流速为常向量: 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1. 流体流向曲面一侧的流量问题流体流向曲面一侧的流量问题流动，流速为流动，流速为从给定曲面从给定曲面的一侧流向另一侧，的一侧流向另一侧，P,Q,R是连续函数，是连续函数，流量等于斜流量等于斜柱体体积，等于柱体体积，等于直直柱体体积柱体体积型曲面积分最新则用则用“分割分割, 替代替代, 求和求和, 取极限取极限” 方法。方法。把曲面把曲面 分割成分割成n个有向小曲面，小曲个有向小曲面，小曲机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 若流速为向量值函数若流速为向量值函数: 面分别记为面分别记为当当当当 为为为为指定了侧向指定了侧向曲面时曲面时曲面时曲面时 , ,每个小曲面的面积记为每个小曲面的面积记为（近似看做小平面）（近似看做小平面）当当 很小时，任取一点很小时，任取一点以速度以速度代替代替 上各点的速度，流体流过上各点的速度，流体流过 的流量近似等于：的流量近似等于：流量流量型曲面积分最新则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 从而单位时间内流过曲面从而单位时间内流过曲面 指定一侧的流量指定一侧的流量型曲面积分最新机动 目录 上页 下页 返回 结束 即即 单位时间内流过曲面单位时间内流过曲面 指定一侧的流量指定一侧的流量型曲面积分最新 设设 为有向曲面为有向曲面, 有向小曲面有向小曲面在在 oxy 面，面， oyz 面，面， ozx 面上的面上的带有符号的带有符号的投影投影分别分别则规定则规定机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定义定义为为其绝对值定义为其绝对值定义为面，面， ozx 面面投影域投影域的面积。的面积。则则 其投影的符号分别与其投影的符号分别与符号相同。符号相同。在在 oxy 面，面， oyz可知可知可知可知型曲面积分最新机动 目录 上页 下页 返回 结束 流量又可表示为流量又可表示为于是定义二型曲面积分：于是定义二型曲面积分：型曲面积分最新机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 面积记为面积记为任取一点任取一点设设2. 2. 定义定义定义定义. .侧向的有向光滑曲面侧向的有向光滑曲面 上的有界函数，上的有界函数，是取定了是取定了n个有向小曲面个有向小曲面把曲面把曲面 分割成分割成带有符号的带有符号的投影面积投影面积分别为分别为在在 oyz 面，面， ozx 面，面，oxy 面上的面上的怎样选取，极限怎样选取，极限如果无论对如果无论对怎样怎样分割，也无论点分割，也无论点总是存在且相等，则称此极限值为向量值函数总是存在且相等，则称此极限值为向量值函数型曲面积分最新其中其中P, Q, R 叫做叫做被积函数被积函数; 叫做叫做积分曲面积分曲面.又称为又称为第二类曲面积分第二类曲面积分.在有向曲面在有向曲面上的上的第二型曲面积分，记作第二型曲面积分，记作机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 型曲面积分最新称为称为Q 在有向曲面在有向曲面 上上对对 z, x 的曲面积分的曲面积分;称为称为R 在有向曲面在有向曲面 上上对对 x, y 的曲面积分的曲面积分.称为称为P 在有向曲面在有向曲面 上上对对 y, z 的曲面积分的曲面积分;机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 型曲面积分最新(1) 若若则则(2) 用用 表示表示 与曲面与曲面 的侧向相反的侧向的曲面，的侧向相反的侧向的曲面，则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3. 3. 性质性质性质性质引例中引例中, 流过有向曲面流过有向曲面 的流体的流量为的流体的流量为型曲面积分最新若记 正向正向的单位法向量则第二型曲面积分也常写成如下形式机动 目录 上页 下页 返回 结束 和向量值函数为则型曲面积分最新机动 目录 上页 下页 返回 结束 即即即即 两类曲面积分的关系是：两类曲面积分的关系是：两类曲面积分的关系是：两类曲面积分的关系是：其中其中其中其中型曲面积分最新机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3.2 3.2 第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算（1）计算）计算 为上侧时为上侧时,取取 “ + ”， 为下侧时为下侧时,取取 “” ”，曲面曲面 上的连续函数上的连续函数, 1. 1. 分面投影法分面投影法分面投影法分面投影法函数函数R (x, y, z)是光滑是光滑则则型曲面积分最新证证:由于由于机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 法向量法向量当当 取上侧时取上侧时,当当 取下侧时取下侧时,取取 “ + ”，取取 “” 。型曲面积分最新 若若则有则有 若若则有则有(前侧取正，后侧取负前侧取正，后侧取负)(右侧取正，左侧正负右侧取正，左侧正负)同理同理:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 型曲面积分最新如果如果 垂直于垂直于oxy 平平面，面，机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 如果如果 垂直于坐标面垂直于坐标面 oyz 面面如果如果 垂直于垂直于 ozx 面面xyzxyzxyz型曲面积分最新其中其中 是正方体是正方体整个表面的整个表面的外侧外侧.解解: : 注意到注意到都垂直于都垂直于oyz平面平面与与 x 轴的夹角都是轴的夹角都是机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例例例1. 1. 计算计算计算计算型曲面积分最新解解: 把把 分为分为 分析分析: 需要向需要向 xy 投影，投影，其中其中 为球面为球面取下侧取下侧机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例例例2. 2. 计算曲面积分计算曲面积分计算曲面积分计算曲面积分取上侧取上侧型曲面积分最新机动 目录 上页 下页 返回 结束 型曲面积分最新机动 目录 上页 下页 返回 结束 型曲面积分最新其中解解: 利用两类曲面积分的联系, 有是介于平面 z= 0 及 z = h 之间部分的外侧. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例3. 3. 计算曲面积分计算曲面积分h型曲面积分最新机动 目录 上页 下页 返回 结束 型曲面积分最新机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 2. 合一投影法合一投影法合一投影法合一投影法曲面曲面曲面曲面投影域投影域投影域投影域型曲面积分最新机动 目录 上页 下页 返回 结束 为上侧时为上侧时,取取 “ + ”， 为下侧时为下侧时,取取 “” ”，型曲面积分最新机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似地类似地类似地类似地曲面曲面曲面曲面投影域投影域投影域投影域 为前侧时为前侧时,取取 “ + ”， 为后侧时为后侧时,取取 “” ”，型曲面积分最新机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似地类似地类似地类似地 曲面曲面曲面曲面投影域投影域投影域投影域 为右侧时为右侧时,取取 “ + ”， 为左侧时为左侧时,取取 “” ”，型曲面积分最新其中解解: 用合一投影法旋转抛物面介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例4. 4. 计算曲面积分计算曲面积分下侧.型曲面积分最新原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 型曲面积分最新例例例例5. 5. 设设上侧。 计算解解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 型曲面积分最新内容小结内容小结定义定义:1. 两类曲面积分及其联系两类曲面积分及其联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 型曲面积分最新性质性质性质性质: :联系联系:思考思考:的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ?两类曲线积分的定义一个与 的方向无关, 一个与 机动 目录 上页 下页 返回 结束 型曲面积分最新2. 2. 常用计算公式及方法常用计算公式及方法常用计算公式及方法常用计算公式及方法面积分第一类 (对面积)第二类 (对坐标)二重积分(1) 统一积分变量代入曲面方程 (方程不同时分片积分)(2) 积分元素投影第一类： 面积投影第二类： 有向投影(4) 确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面 注注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化机动 目录 上页 下页 返回 结束 型曲面积分最新当当时，（上侧取“+”, 下侧取“”)类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 型曲面积分最新其中其中 是是整个表面的整个表面的外侧外侧.解解: : 利用对称性利用对称性.原式原式 的顶部的顶部 取上侧取上侧 的底部的底部 取下侧取下侧机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例例例1. 1. 计算计算计算计算型曲面积分最新例例例例5. 5. 设设上侧。 计算解解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 型曲面积分最新型曲面积分最新