第二节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件格林公式及其应用 第八章第八章 （一）、区域连通性的分类（一）、区域连通性的分类 设设D D为平面区域为平面区域, , 如果如果D D内任一闭曲线所围内任一闭曲线所围成的部分都属于成的部分都属于D, D, 则称则称D D为平面单连通区域为平面单连通区域, , 否则称为复连通区域否则称为复连通区域. .复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域D DD D（二）、格林公式二）、格林公式定理定理1 1边界曲线边界曲线L L的正向的正向: : 当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时, ,区区域域D D总在他的左边总在他的左边. .证明证明(1)(1)y yx xo o a ab bD Dc cd dA AB BC CE E同理可证同理可证yxodDcCE证明证明(2)(2)D D两式相加得两式相加得G GD DF FC CE EA AB B证明证明(3)(3)由由(2)(2)知知x xy yo oL L1. 1. 简化曲线积分简化曲线积分（三）、简单应用（三）、简单应用A AB B 2. 2. 简化二重积分简化二重积分x xy yo o（例例3 3 计算计算 解：可直接化为对解：可直接化为对x x的定积分，但计算量较大。这的定积分，但计算量较大。这里用格林公式。里用格林公式。 从到从到（解解xyoLyxoxyo( (注意格林公式的条件注意格林公式的条件) )小结：小结：（1 1）L L是是D D的边界，在的边界，在D D上上简单，进而简单，进而 易于计算时，可应用格林公式计算易于计算时，可应用格林公式计算 注注: : 此例中所作的辅助圆此例中所作的辅助圆l l一定要是一定要是D D内的圆内的圆周（即周（即r r充分小）充分小） （2 2）L L不封闭时，采取不封闭时，采取“补线补线”的方法：的方法： 要求右端的二重积分及曲线积分易于计算。要求右端的二重积分及曲线积分易于计算。 选选用直线段、折线、圆、半圆、椭圆、抛物线等。用直线段、折线、圆、半圆、椭圆、抛物线等。 （3 3）如在）如在D D上上P P、Q Q一阶偏导连续，且处处有一阶偏导连续，且处处有 则则 如如D D内除点外均有内除点外均有 则则 其中是包围点的与同向的光滑的简其中是包围点的与同向的光滑的简单闭曲线，特别地是以为中心的圆、椭圆单闭曲线，特别地是以为中心的圆、椭圆等（半径或长短半轴大小不限，只要内部没有别的等（半径或长短半轴大小不限，只要内部没有别的“坏点坏点”） 例例 5 5 计算计算 逆时针逆时针方向。方向。 解：解：除原点外处处有除原点外处处有 取取, ,逆时针方向，则逆时针方向，则3. 3. 计算平面面积计算平面面积解解G Gy yx xo oB BA A如果在区域如果在区域G G内有内有二、曲线积分与路径无关的条件二、曲线积分与路径无关的条件1 1、平面上曲线积分与路径无关的等价条件、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2.2.设设 是单连通域是单连通域 , ,在在 内内具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数, ,(1) (1) 沿沿 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线 , ,有有(2) (2) 对对 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 , , 曲线积分曲线积分(3)(3)(4) (4) 在在 内每一点都有内每一点都有与路径无关与路径无关, , 只与起止点有关只与起止点有关. . 函数函数则以下四个条件等价则以下四个条件等价: :在在 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分, ,即即 说明说明: : 积分与路径无关时积分与路径无关时, , 曲线积分可记为曲线积分可记为 证明证明 (1) (2) (1) (2)设设为为D D内任意两条由内任意两条由A A到到B B的有向分段光滑曲线的有向分段光滑曲线则则( (根据条件根据条件(1)(1)证明证明 (2) (2)（3 3）在在D D内取定点内取定点因曲线积分因曲线积分则则同理可证同理可证因此有因此有和任一点和任一点, ,与路径无关与路径无关, ,有函数有函数 证明证明 (3) (3) （4 4）设存在函数设存在函数 使得使得则则 在在D D内具有连续的偏导数内具有连续的偏导数, ,从而在从而在D D内每一点都有内每一点都有证明证明 (4) (4)（1 1） 设设L L为为D D中任一分段光滑闭曲线中任一分段光滑闭曲线, ,( (如图如图) ) , ,利用格林公式利用格林公式 , , 得得所围区域为所围区域为证毕证毕说明说明: : 根据定理根据定理2,2,若在某区域内若在某区域内则则2) 2) 求曲线积分时求曲线积分时, , 可利用格林公式简化计算可利用格林公式简化计算, ,3)3)可用积分法求在域可用积分法求在域D D内的原函数内的原函数: :及动点及动点或或则原函数为则原函数为若积分路径不是闭曲线若积分路径不是闭曲线, , 可添加辅助线可添加辅助线; ;取定点取定点1) 1) 计算曲线积分时计算曲线积分时, , 可选择方便的积分路径可选择方便的积分路径; ;例例5. 5. 计算计算其中其中L L 为上半为上半从从 O (0, 0) O (0, 0) 到到 A (4, A (4, 0).0).解解: : 为了使用格林公式为了使用格林公式, , 添加辅助线段添加辅助线段它与它与L L所围所围原式原式圆周圆周区域为区域为D , D , 则则例例6.6.验证验证是某个函数的全微分是某个函数的全微分, ,并求并求出这个函数出这个函数. . 证证: :设设则则由定理由定理2 2 可知可知, , 存在函数存在函数 u (x , y) u (x , y)，使，使。例例7.7.验证验证在右半平面内存在原函在右半平面内存在原函数数 , , 并求出它并求出它. . 证证: : 令令则则由定理由定理 2 2 可知存在原函数可知存在原函数或或例例8. 8. 设质点在力场设质点在力场作用下沿曲线作用下沿曲线 L L : :由由移动到移动到求力场所作的功求力场所作的功W W解解: :令令则有则有可见可见, , 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关在不含原点的单连通区域内积分与路径无关. .取圆弧取圆弧注意注意, , 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关无关 ! !内容小结内容小结1. 1. 格林公式格林公式2. 2. 等价条件等价条件在在 D D 内与路径无关内与路径无关. .在在 D D 内有内有对对 D D 内任意闭曲线内任意闭曲线L L有有在在 D D 内有内有设设P,QP,Q在单连通域在单连通域D D内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数, , 则有则有思考与练习思考与练习1. 1. 设设且都取正向且都取正向, , 问下列计算是否正确问下列计算是否正确 ? ?提示提示: :2. 2. 设设提示提示: : 备用题备用题 1. 1. 设设C C为沿为沿从点从点依逆时针依逆时针的半圆的半圆, , 计算计算解解: : 添加辅助线如图添加辅助线如图 , ,利用格林公式利用格林公式 . .原式原式 = =到点到点2. 2. 质点质点M M 沿着以沿着以ABAB为直径的半圆为直径的半圆, ,从从A(1,2)A(1,2)运动到运动到点点B(3, B(3, 4),4),到原点的距离到原点的距离, ,解解: : 由图知由图知 故所求功为故所求功为锐角锐角, ,其方向垂直于其方向垂直于OM, OM, 且与且与y y轴正向夹角为轴正向夹角为求变力求变力 F F 对质点对质点M M 所作的功所作的功. ( 90. ( 90考研考研 ) ) F F的大小的大小等于点等于点M M 在此过程中受力在此过程中受力F F作用作用, ,