二、二、 函数的间断点函数的间断点 一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义 第八节机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的连续性与间断点 第一章 可见 , 函数在点一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义定义定义:在的某邻域内有定义 , 则称函数(1) 在点即(2) 极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在 ;且有定义 ,存在 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 continue若在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上连续 , 或称它为该区间上的连续函数连续函数 .例如例如,在上连续 .( 有理整函数 )又如又如, 有理分式函数在其定义域内连续.在闭区间上的连续函数的集合记作只要都有机动 目录 上页 下页 返回 结束 对自变量的增量有函数的增量左连续右连续当时, 有函数在点连续有下列等价命题:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例. 证明函数在内连续 .证证: 即这说明在内连续 .同样可证: 函数在内连续 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 在在二、二、 函数的间断点函数的间断点(1) 函数(2) 函数不存在;(3) 函数存在 , 但 不连续 :设在点的某去心邻域内有定义 , 则下列情形这样的点之一函数 f (x) 在点虽有定义 , 但虽有定义 , 且称为间断点间断点 . 在无定义 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:及均存在 ,若称若称第二类间断点第二类间断点:及中至少一个不存在 ,称若其中有一个为振荡 ,称若其中有一个为为可去间断点 .为跳跃间断点 .为无穷间断点无穷间断点 .为振荡间断点振荡间断点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 为其无穷间断点 .为其振荡间断点 .为可去间断点 .例如例如:机动 目录 上页 下页 返回 结束 显然为其可去间断点 .(4)(5) 为其跳跃间断点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 讨论函数x = 2 是第二类无穷间断点 .间断点的类型.2. 设时提示提示:3. P64 题 2 , P65 题 5为连续函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,P65 题题5 提示提示: 作业作业 P64 3 ; 4 第九节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 确定函数间断点的类型.解解: 间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则 第九节二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 定理定理2. 连续单调递增 函数的反函数 在其定义域内连续一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则定理定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 .例如例如,例如例如,在上连续单调递增，其反函数(递减).(证明略)在 1 , 1 上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3. 连续函数的复合函数是连续的.在上连续 单调 递增,其反函数在上也连续单调递增.证证: 设函数于是故复合函数又如又如, 且即机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,是由连续函数链因此在上连续 .复合而成 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 . 设均在上连续, 证明函数也在上连续.证证:根据连续函数运算法则 , 可知也在上连续 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求解解: 原式例例3. 求解解: 令则原式说明说明: 当时, 有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求求解解:原式说明说明: 若则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 设解解:讨论复合函数的连续性 .故此时连续; 而故x = 1为第一类间断点 .在点 x = 1 不连续 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续函数的四则运算四则运算的结果连续连续函数的反函数反函数连续连续函数的复合函数复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习续? 反例 x 为有理数 x 为无理数处处间断,处处连续 .反之是否成立? 作业作业P68 3 (5) , (6) , (7) ; 4 (4) , (5) ,(6) ; 5提示提示:“反之” 不成立 .第十节 目录 上页 下页 返回 结束 第十节一一、最值定理、最值定理 二、介值定理二、介值定理 *三、一致连续性三、一致连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 闭区间上连续函数的性质 第一章 注意注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .一一、最值定理、最值定理定理定理1.1.在闭区间上连续的函数即: 设则使值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如又如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论. 由定理 1 可知有证证: 设上有界 .二、介值定理二、介值定理定理定理2. ( 零点定理 )至少有一点且使机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 证明略 )在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 定理定理3. ( 介值定理 ) 设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点证证: 作辅助函数则且故由零点定理知, 至少有一点使即推论推论:使至少有在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明方程一个根 .证证: 显然又故据零点定理, 至少存在一点使即说明说明:内必有方程的根 ;取的中点内必有方程的根 ;可用此法求近似根.二分法二分法在区间内至少有机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则上连续 , 且恒为正 ,例例2. 设在对任意的必存在一点证证:使令, 则使故由零点定理知 , 存在即当时, 取或, 则有证明:小结 目录 上页 下页 返回 结束 *三三. 一致连续性一致连续性已知函数在区间 I 上连续, 即:一般情形,就引出了一致连续的概念 .定义定义:对任意的都有在在 I 上一致连续上一致连续 .显然:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,但不一致连续 .因为取点则 可以任意小但这说明在 ( 0 , 1 上不一致连续 .定理定理.上一致连续.(证明略)思考思考: P73 题 6提示提示:设存在, 作辅助函数显然机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4. 当时,使必存在上有界;在在机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它思考与练习思考与练习一刀剪为面积相等的两片.提示提示: 建立坐标系如图.则面积函数因故由介值定理可知:机动 目录 上页 下页 返回 结束 则证明至少存在使提示提示: 令则易证2. 设作业作业P73 题 2 ; 3; 4一点习题课 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 至少有一个不超过 4 的 证证：证明令且根据零点定理 ,原命题得证 .内至少存在一点在开区间显然正根 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 此课件下载可自行编辑修改，供参考！此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢你的支持，我们会努力做得更好！感谢你的支持，我们会努力做得更好！