第第2章章 正投影法和基本几何元素的投影正投影法和基本几何元素的投影2.1 正投影法的基础正投影法的基础 正投影法和基本几何元素的投影正投影法和基本几何元素的投影2.2 点的投影点的投影目录目录2.3 直线的投影直线的投影2.4 平面的投影平面的投影2.1 正投影法的基础正投影法的基础正投影法的基础正投影法的基础画透视图画透视图画斜轴测图画斜轴测图画工程图样画工程图样及正轴测图及正轴测图投影方法投影方法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法直角投影法（正投影法）直角投影法（正投影法）斜角投影法斜角投影法首页首页1、中心投影法、中心投影法 投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。投影的大小有影响。度量性较差度量性较差投影特性投影特性投射线投射线投射中心投射中心物体物体投影面投影面投影投影物体位置改变，物体位置改变，投影大小也改投影大小也改变变正投影法的基础正投影法的基础首页首页2、平行投影法、平行投影法正投影法的基础正投影法的基础斜角投影法斜角投影法投投 影影 特特 性性投影大小与物体和投影面之间的距离无关。投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好度量性较好工程图样多数采用正投影法绘制。工程图样多数采用正投影法绘制。投投射射线线互互相相平平行行且且垂垂直直于于投投影影面面投投射射线线互互相相平平行行且且倾倾斜斜于于投投影影面面直角（正）投影法直角（正）投影法首页首页3、正投影法的投影特性正投影法的投影特性: :正投影法的基础正投影法的基础 1. 直线、平面平行于投影面，投影反映实长或实形，直线、平面平行于投影面，投影反映实长或实形， 称为称为实形性实形性。 2. 直线、平面垂直于投影面，投影成为一点或一直线，直线、平面垂直于投影面，投影成为一点或一直线， 称为称为积聚性积聚性。 3. 直线、平面倾斜于投影面，投影成为一短线或一小直线、平面倾斜于投影面，投影成为一短线或一小 平面，平面， 称为称为类似形类似形。实形性实形性积聚性积聚性类似形类似形abABCcabcABCABCEFacbe（f）首页首页2.2 点的投影点的投影点的投影点的投影 Pb AP采用多面投影采用多面投影。 过空间点过空间点A的投射线的投射线与投影面与投影面P的交点即为点的交点即为点A在在P面上的投影。面上的投影。B1B2B3 点在一个投影面上点在一个投影面上的投影不能确定点的空的投影不能确定点的空间位置。间位置。a 解决办法？解决办法？1、点在一个投影面上的投影、点在一个投影面上的投影首页首页点的投影点的投影2、点的三面投影、点的三面投影HWV投影面投影面正面投影面（简称正面正面投影面（简称正面 或或V面）面）水平投影面（简称水平水平投影面（简称水平 或或H面）面）侧面投影面（简称侧侧面投影面（简称侧 面或面或W面）面）投影轴投影轴oXZOX轴轴 V面与面与H面的交线面的交线OZ轴轴 V面与面与W面的交线面的交线OY轴轴 H面与面与W面的交线面的交线Y三个投影面三个投影面互相垂直互相垂直（1 1）三面投影体系的建立）三面投影体系的建立首页首页点的投影点的投影（2 2）空间点在三个投影面上的投影）空间点在三个投影面上的投影WHVoXa 点点A的正面投影的正面投影a点点A的水平投影的水平投影a 点点A的侧面投影的侧面投影空间点用大写字母空间点用大写字母表示，点的投影用表示，点的投影用小写字母表示。小写字母表示。a aa AZY首页首页点的投影点的投影（3 3）投影面的展开）投影面的展开WVHXYZOVHWAaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不动不动aaZaa yayaXYYO azx首页首页点的投影点的投影（4 4）点的三面投影特性（规律）点的三面投影特性（规律）XYZOVHWAaa a a aOX轴轴 aax= a az=y=A到到V面的距离面的距离a ax= a ay=z=A到到H面的距离面的距离aay= a az=x=A到到W面的距离面的距离xaazayYZaza XYayOaaxaya a a OZ轴轴首页首页点的投影点的投影（5 5）应用举例）应用举例a aax例：已知点的两个投影，求第三投影。例：已知点的两个投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一:通过作通过作45线或画圆线或画圆弧使弧使a az=aax解法二解法二:用分规直接量用分规直接量取取a az=aaxa 首页首页点的投影点的投影3、两点的相对位置、两点的相对位置 两点的相对位置指两点在空两点的相对位置指两点在空间的间的上下、前后、左右上下、前后、左右位置关系。位置关系。判断方法：判断方法： x 坐标大的在左坐标大的在左 y 坐标大的在前坐标大的在前 z 坐标大的在上坐标大的在上b aa a b bB点在点在A点之前、点之前、之右、之下。之右、之下。XYHYWZ首页首页点的投影点的投影例：例：已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求点A的投影。985a a aZXYwYHb b bo首页首页点的投影点的投影4、重影点、重影点 空间两点在某一投影面空间两点在某一投影面上的上的投影重合为一点投影重合为一点时，则时，则称此两点为称此两点为该投影面该投影面的重影的重影点。点。A、C为为H面的重影点面的重影点a a c c 被挡住的投被挡住的投影加影加( )( )A A、C C为哪个投为哪个投影面的重影点影面的重影点呢？呢？a c首页首页小结小结小结小结 1、点的投影特性。、点的投影特性。 2、空间点的位置、重影点的判断方法。、空间点的位置、重影点的判断方法。 重点掌握：重点掌握：作业：作业：P4 21 （2）（）（3）首页首页2.3 直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影YZaza XYayOaaxaya a aOX轴轴 aax= a az=y=A到到V面的距离面的距离a ax= a ay=z=A到到H面的距离面的距离aay= a az=x=A到到W面的距离面的距离 a a OZ轴轴复习点的投影复习点的投影点的三面投影特性点的三面投影特性首页首页直线的投影直线的投影aa a b b b 两点确定一条直线，将两点的两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。的同名投影。（1）直线的投影特性）直线的投影特性1、直线及直线上点的投影特性、直线及直线上点的投影特性ABab垂直于投影面的直垂直于投影面的直线，其投影重合为线，其投影重合为一点一点 积聚性积聚性平行于投影面的直平行于投影面的直线，投影反映线段线，投影反映线段的实长的实长 ab=AB倾斜于投影面的倾斜于投影面的直线，其投影比直线，其投影比空间线段短空间线段短 ab=ABcosABabAMBa(m)(b)首页首页直线的投影直线的投影（2）直线上点的投影特性）直线上点的投影特性 若点在直线上, 则该点的投影必在直线的同名投影上。不垂直于投影面的直线段上的点，分割直线段之比，在投影后仍保持不变。即： 若点的投影有一个不在直线的同名投影上， 则该点必不在此直线上。AC/CB=ac/cb= a c / c b ABCVHbcc b a a定比定理定比定理注：注：依据上述投影特性可用来判断空间点与直线的相对位置依据上述投影特性可用来判断空间点与直线的相对位置首页首页直线的投影直线的投影（3）应用举例）应用举例点点C不不在在直线直线AB上上例例1：判断点：判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。abca b c c abca b 点点C在直在直线线AB上上首页首页直线的投影直线的投影例例2：判断点：判断点K是否在线段是否在线段AB上。上。a b k 因因k 不在不在a b 上，上， 故点故点K不在不在AB上。上。应用定比定理应用定比定理abka b k 另一判断法另一判断法? ?首页首页直线的投影直线的投影例例2：判断点：判断点K是否在线段是否在线段AB上。上。应用定比定理应用定比定理abka b k 另一判断法另一判断法? ?k1 c b1 因因a k / k b ak/kb ， 故点故点K不在不在AB上。上。首页首页直线的投影直线的投影2、直线对投影面的各种相对位置、直线对投影面的各种相对位置投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于）水平线（平行于）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于）铅垂线（垂直于）首页首页直线的投影直线的投影b a aba b b aa b ba （1）投影面平行线）投影面平行线 在其平行的那个投影面上的投影反映实长,与投影轴的夹角，分别反映直线与另两投影面的真实倾角。 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，且长度缩短。水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线投投 影影 特特 性：性：注：注：空间直线与空间直线与H面的夹角面的夹角: ； 与与V面的夹角面的夹角:； 与与W面的夹角面的夹角: 实长实长实长实长实长实长ba aa b b 首页首页直线的投影直线的投影（2）投影面垂直线）投影面垂直线投投 影影 特特 性：性：铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线c (d )cdd c a b a(b)a b e f efe (f ) 平行于相平行于相应的投影轴，应的投影轴，并反映线段实长。并反映线段实长。 另外两个投影另外两个投影， 在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，积聚成一点积聚成一点。首页首页直线的投影直线的投影（3）一般位置直线）一般位置直线投投 影影 特特 性：性： 三个投影都倾斜于投影轴；且小于直线的实长；与投影轴的夹角不反映直线与投影面的夹角。abb a b a 首页首页直线的投影直线的投影3、两直线的相对位置、两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为： 平行平行、相交相交、交叉交叉。 空间两直线平空间两直线平行，则其各行，则其各同名投同名投影影必相互平行，反必相互平行，反之亦然。之亦然。aVHc bcdABCDb d a 投投 影影 特特 性：性：（1）两直线平行）两直线平行首页首页直线的投影直线的投影应用举例：应用举例：例例1：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。 对于对于一般位置直线一般位置直线，只要有两个同名投影互只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就相平行，空间两直线就平行。平行。AB/CDcabdc a b d 首页首页直线的投影直线的投影b d c a cbadd b a c 对于特殊位置直线，对于特殊位置直线，只有只有两个两个同名投影互相同名投影互相平行，空间直线平行，空间直线不一定平行。平行。求出侧面投影后可知：求出侧面投影后可知：AB与与CD不平行。不平行。例例2：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。求出侧面投影求出侧面投影如何判断？如何判断？首页首页直线的投影直线的投影（2）两直线相交）两直线相交HVABCDKabcdka b c k d abcdb a c d kk 判别方法：判别方法： 若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同名投影必相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间点的投影规律且交点的投影必符合空间点的投影规律。交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点首页首页直线的投影直线的投影应用举例：应用举例：cabb a c d k kd例：过例：过C点点作水平线作水平线CD与与AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影首页首页直线的投影直线的投影（2）两直线交叉）两直线交叉d b a abcdc1 (2 )3(4 )投影特性投影特性： 同名投影可能相交，同名投影可能相交，但但 “交点交点”不符合空间不符合空间一个点的投影规律一个点的投影规律。 “交点交点”是两直线上是两直线上的一的一 对对重影点的投影重影点的投影，用其可帮助判断两直线用其可帮助判断两直线的空间位置。的空间位置。、是面的重影点，是面的重影点，、是是H面的重影点。面的重影点。为什么？为什么？123 4 两直线相交吗？两直线相交吗？首页首页2.4 平面的投影平面的投影平面的投影平面的投影1、平面的表示法平面的表示法abca b c 不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点abca b c 直线及直线及线外一线外一点点abca b c dd 两平行直两平行直线线abca b c 两相交两相交直线直线abca b c 平面平面图形图形首页首页2、平面的投影特性平面的投影特性平行平行垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-投影就把实形现投影就把实形现 平面垂直投影面平面垂直投影面-投影积聚成直投影积聚成直线线 平面倾斜投影面平面倾斜投影面-投影类似原平面投影类似原平面实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性首页首页平面的投影平面的投影平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面平面对投影面的相对位置平面对投影面的相对位置首页首页平面的投影平面的投影abca c b c b a 类似性类似性类似性类似性积聚性积聚性铅垂面铅垂面投影投影 特性：特性： 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影有类似性。另外两个投影面上的投影有类似性。为什么？为什么？是什么位置是什么位置的平面？的平面？（1 1）投影面垂直面）投影面垂直面首页首页平面的投影平面的投影（1 1）投影面平行面）投影面平行面a b c a b c abc积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性水平面水平面在它所平行的投影面上的投影反映实形。在它所平行的投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。的投影轴平行的直线。投影投影 特性：特性：首页首页平面的投影平面的投影（3 3）一般位置平面）一般位置平面a b c a c b abc三个投影都类似。三个投影都类似。投影投影 特性：特性：首页首页平面的投影平面的投影3、平面上的直线和点、平面上的直线和点判断直线在平面判断直线在平面内的方法内的方法 定定 理理 一一若一直线过平面若一直线过平面上的两点，则此上的两点，则此直线必在该平面直线必在该平面内。内。定定 理理 二二若一直线过平面上的若一直线过平面上的一点，且平行于该平一点，且平行于该平面上的另一直线，则面上的另一直线，则此直线在该平面内。此直线在该平面内。（1） 平面上取任意直线平面上取任意直线首页首页平面的投影平面的投影abcb c a abcb c a d mnn m d例例1：已知平面由直线：已知平面由直线AB、AC所确定，试所确定，试 在平面内在平面内 任作一条直线。任作一条直线。解法一解法一解法二解法二根据定理二根据定理二根据定理一根据定理一有多少解？有多少解？有无数解。有无数解。首页首页平面的投影平面的投影n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？例例2：在平面：在平面ABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到 H面的距面的距 离为离为10mm。首页首页平面的投影平面的投影（2） 平面上取点平面上取点 先找出过此点而又在平面内的一条直线作先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例例1：已知：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。点的水平投影。bacc a k b k 面上取点的方法：面上取点的方法：首先面上取线首先面上取线abca b k c d kd利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解首页首页平面的投影平面的投影bckada d b c ada d b c k bc例例2：已知：已知AC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。的水平投影。解法一解法一解法二解法二首页首页平面的投影平面的投影小结小结小结小结重点掌握：重点掌握： 1、点与直线的投影特性，尤其是、点与直线的投影特性，尤其是特殊位特殊位 置直线的投影特性置直线的投影特性。 2、点与直线及两直线的相对位置的判断、点与直线及两直线的相对位置的判断 方法及投影特性。方法及投影特性。 3、定比定理。、定比定理。 4、平面的投影特性，、平面的投影特性，尤其是特殊位置平尤其是特殊位置平 面的投影特性。面的投影特性。 5、如何在平面上确定直线和点。、如何在平面上确定直线和点。作业作业： P5 2-2（1）（）（2） P6 2-3 （1）（）（2）首页首页小结小结首页首页