第七节 非线性规划潮流算法 潮流计算问题的实质就是求解一个非线性代数方程组，通过对电力系统固有的物理特性相结合，已经提出了多种求解该方程组的有效算法。 在实际计算中，对于一些病态系统（如重负荷系统、具有梳子状放射结构的系统以及具有邻近多根运行条件的系统等），却往往会出现计算过程震荡甚至不收敛的现象。 现象出现的原因 ： 1）由于潮流算法本身不够完善？ 2）从一定初值出发，在给定的运行条件下，从数学上来讲，非线性潮流方程组本来就是无解的？ 20世纪60年代末，一些学者相继提出了潮流计算问题在数学上也可以表示为某一个由潮流方程构成的函数（称为目标函数）的最小值问题，并以此来代替数学方程组的直接求解。这就形成了一种采用数学规划或最小化技术的、和前面介绍的各种算法在原理上完全不同的方法，并称之为非线性规划潮流算法。用这种方法计算潮流的一个显著特点是从原理上保证了计算过程永不发散。只要在给定的运行条件下，潮流问题有解，则上述的目标函数的最小值就迅速趋近于零；如9/25/20241果从某一个初值出发，潮流问题无解，则目标函数就先是逐渐减小，但最后却停留在某一个不为零的正值上。这便有效地解决了病态电力系统的潮流计算并为给定条件下潮流问题的有解与无解提供了一个明确的判断途径。 早期提出的完全应用数学规划方法的非线性规划潮流算法在内存需要量和计算速度方面都无法和本章前面介绍过的各种常规潮流算法相竞争，因而未得到实际推广应用。以后，通过对非线性规划算法的改进，并将数学规划原理和常规的牛顿潮流算法有机地结合起来，形成了一种新的潮流计算方法带有最优乘子的牛顿算法，简称为最优乘子法，这种算法能够有效地解决病态电力系统的潮流计算问题，并已得到广泛使用。一、非线性规划潮流算法的数学模型 设将潮流计算问题概括为求解如下的非线性代数方程组或i=(1,2, ,n）9/25/20242 式中：x 为待求的n 维向量，bi为给定的常量。 可以构造标量函数为：或 若式f(x)=0表示的非线性代数方程组的解存在，则以平方和形式出现的标量函数F(x)的最小值应该为零。若此最小值不能变为零，则说明不存在能满足原方程组的解。这样，就把原来的解代数方程组的问题转化为求 。从而使 的问题。 从而可将潮流计算问题归为如下的非线性规划问题： 这里没有附加的约束条件，因此在数学规划中属于无约束非线性规划的范畴。9/25/20243二、非线性规划潮流算法的计算过程 要求出目标函数的极小点，按照数学规划的方法，通常由下述步骤组成（k为迭代次数）： 确定一个初始估计值x(0); 置迭代次数k=0； 从x(k)出发，按照能使目标函数下降的原则，确定一个搜索或寻优方向； 沿着搜索方向确定能使目标函数下降得最多的一个点，也就是决定移动的步长。由此得到了一个新的迭代点，即 式中： 为步长因子，其数值的选择应使目标函数下降最多，用算式表示为9/25/20244 校验 是否成立。如成立，则 就是要求的解；否则，令 ，转向步骤（3），重复循环计算。 图2-9所示为应用上述步骤求目标函数最小值的过程，这里假设变量向量是二维的。 由上可见，为了求得问题的解，关键要解决两个问题： 确定第k次迭代的搜索方向 ； 确定第k次迭代的最优步长因子 。9/25/20245三、带有最优乘子的牛顿潮流算法 为了改进上述的非线性规划潮流算法，首先在决定搜索方向 的问题上，利用常规牛顿潮流算法每次迭代所求出的修正量向量 作为搜索方向，并称之为目标函数在 处的牛顿方向。 接着是如何决定最优步长因子 的问题。 对一定的 ，目标函数 是步长因子 的一个一元函数 问题的关键是如何写出这个一元函数的解析表达式 。如果有了它，则 可以很容易地通过下式而求得9/25/20246采用直角坐标的潮流方程的泰勒展开式可以精确地表示为引入标量乘子以调节变量x的修正步长，于是有其中简明起见，定义如下向量于是，可以简写成9/25/20247原来的目标函数可以写为上式对 求导，令其等于零，由此可以求得最优乘子将上式展开，可得9/25/20248其中 上式是一个关于 的三次代数方程，可以用卡丹公式或牛顿法等求解，所得的解就是 。 带有最优乘子的牛顿算法的具体应用可以分成以下三种不同情况： 从一定的初值出发，原来的潮流问题有解。9/25/20249目标函数 ， 从一定初值出发原来的潮流问题无解。 有别于以上两种情况。这种情况的原因可能是解存在，但计算精度不够。为计算最优乘子而增加的计算量很少，见图2-10。9/25/202410第八节 几种特殊性质的潮流计算问题简介 以下简单介绍几种比较重要、但其应用目的和性质都与前面不同的潮流问题。一、直流潮流（静态安全分析中采用）一、直流潮流（静态安全分析中采用） 在有些场合如进行系统规划设计时，原始数据本身就并不很精确而规划方案却十分众多；再如在实时安全分析中，要进行大量的预想事故筛选等等。这些场合在计算精度和速度这一对矛盾中，后者占了主导地位，因此就产生了采用近似模型的直流法潮流，其计算速度是所有潮流算法中最快的。 交流网络中某条支路中所通过的功率表达式为 做以下假定： 高压输电线路的电阻远小于电抗，即9/25/202411一条支路的等值电路图 输电线路两端电压相角差不大，可以认为 假定系统中各节点电压标幺值都等于1，即 不计接地支路的影响。于是，可以得到简化后的功率表达式 这样，可以不计支路的无功潮流之后，一条交流支路就可以看成是一条直流支路。如下图所示。9/25/202412 对于有n个节点的系统，设定平衡节点s的相角 ，根据节点功率等于与节点相连的支路功率之和，可得其中式中： 分别是以 为支路导纳建立起来的节点导纳矩阵的自导纳及互导纳。9/25/202413 写成矩阵形式，即得到n个节点电力系统的直流潮流数学模型 上式是一个线性方程组，可以一次直接求解得到结果，因而计算速度非常快。二、随机潮流二、随机潮流潮流计算的已知量和待求量都作为随机变量来处理。三、三相潮流三、三相潮流9/25/202414