4 电势及其梯度电势及其梯度p74 1-24、25、26、 36、37、39、411静电场力做功与路径无关静电场力做功与路径无关n电荷间的作用力是有心力电荷间的作用力是有心力 环路定理环路定理 n讨论静电场的环流讨论静电场的环流n静电场：电力线不闭合静电场：电力线不闭合n可以猜到静电场的环流为零可以猜到静电场的环流为零 2证明证明 n单个点电荷产生的场单个点电荷产生的场 n把试探电荷q0从P移到Q n静电场力做功只与起点终点有关，与路径无关静电场力做功只与起点终点有关，与路径无关3点电荷组产生的场点电荷组产生的场n在电场中把试探电荷从在电场中把试探电荷从P移至移至Q电场力所做的功电场力所做的功 P到到 q1的距离的距离Q到到q1的的距离距离每项均与路径无关，只与位置有关每项均与路径无关，只与位置有关 4任意有限大的带电体产生的电场任意有限大的带电体产生的电场 n可以将带电体无限分割成微元，每一个可以将带电体无限分割成微元，每一个微元均为一点电荷微元均为一点电荷 点电荷组点电荷组n结结论论：在在任任何何电电场场中中移移动动试试探探电电荷荷时时，电电场场力力所所做做的的功功除除了了与与电电场场本本身身有有关关外外，只只与与试试探探电电荷荷的的大大小小及及其其起起点点、终终点点有有关，与移动电荷所走过的路径无关关，与移动电荷所走过的路径无关 5静电场的环路定理静电场的环路定理n静电场力做功与路径无关静电场力做功与路径无关 等价等价于于静电场力沿任意闭合回路做功静电场力沿任意闭合回路做功恒等于零恒等于零 n在在任任意意电电场场中中取取一一闭闭合合回回路路，将将试试探探电电荷荷沿沿路路径径L L从从 pQPpQP，电场力所做的功为电场力所做的功为6说明：说明：（1）环环路路定定理理是是静静电电场场的的另另一一重重要要定定理理，可可用用环环路路定理检验一个电场是不是静电场。定理检验一个电场是不是静电场。 (2)环环路路定定理理要要求求电电力力线线不不能能闭闭合合。静静电电场场是是有有源源、无旋场。无旋场。静电场的环路定理静电场的环路定理 在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分等于在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分等于零。零。7讨论讨论n在在证证明明Gauss定定理理中中，说说电电力力必必须须与与r2成成反反比比，那那么么在在环环路路定定理理的的证证明明中中是是否否也也必必须须要要求求与与r2成成反比？反比？n答：不一定答：不一定 n哪些力具有做功与路径无关这种性质？哪些力具有做功与路径无关这种性质？ n引力引力 引入引力势能引入引力势能n重重力力 引引入入重重力力势势能能 势函数势函数 n弹弹性性力力 引引入入弹弹性性势势能能 （位）（位）n静电力静电力 引入静电势能引入静电势能 8电势能、电势差、电势能、电势差、电势电势 n可以与重力做功类比可以与重力做功类比n电场力做正功，电势能将减少电场力做正功，电势能将减少n电场力做负功，电势能将增加电场力做负功，电势能将增加电势能的电势能的改变量改变量q0在在 P点点的电势能的电势能q0在在 Q点点的电势能的电势能电势增量电势增量定义定义静电场与静电场与 q0有能量交换有能量交换电场力电场力的功的功9电势的定义电势的定义n从中扣除从中扣除q q0 0, ,即引入电势即引入电势nP、Q两点之间的电势差定义为两点之间的电势差定义为n从从P点到点到Q点移动单位正电荷时电场力所作的功点移动单位正电荷时电场力所作的功n单位正电荷的电势能差单位正电荷的电势能差10（三）电势（三）电势(electric Potential)电电场场中中某某点点的的电电势势等等于于把把单单位位正正电电荷荷自自该该点点“标标准准点点”过程中电场力作的功。（令过程中电场力作的功。（令“标准点标准点”的电势为零）的电势为零） 电电势势零零点点的的选选择择：（1）若若带带电电体体系系局局限限在在有有限限大大小小的的空间里，通常选择无穷远处为电势零点。空间里，通常选择无穷远处为电势零点。（2）若若带带电电体体系系电电荷荷分分布布在在无无限限大大的的区区域域内内，通通常常取取有限位置处为电势零点。有限位置处为电势零点。（3）实际工作中常以大地或电器外壳为电势零点。）实际工作中常以大地或电器外壳为电势零点。11空间某点的电势值空间某点的电势值例：选择无穷远为势能零点例：选择无穷远为势能零点, P点电势值为点电势值为n两点之间电势差可表为两点电势值之差两点之间电势差可表为两点电势值之差n单位：单位：1V(伏特）伏特）1J/C12讨论讨论 n电势电势与场强一样是一个描述场本身性质的物理量，与场强一样是一个描述场本身性质的物理量，与试探电荷无关，是与试探电荷无关，是标量。电势叠加是标量叠加。标量。电势叠加是标量叠加。n电势电势UP：P与无穷处电势差与无穷处电势差 n电势零点电势零点 选取选取n可以任意选取可以任意选取n选择零点原则：场弱、变化不太剧烈选择零点原则：场弱、变化不太剧烈 n问题问题n点电荷的势能零点是否可以选在电荷上？点电荷的势能零点是否可以选在电荷上？n无限大平面板的势能零点能否选在无穷远？无限大平面板的势能零点能否选在无穷远？例例:13举例:点电荷的电势分布均匀带电球壳的电势分布无限长带电球壳的电势分布已知电势差求电场力的功14例题例题10一示波器中阳极一示波器中阳极A和阴极和阴极K之间的电压是之间的电压是3000 V，试求阴极发射的电子到达阳极时的速度，试求阴极发射的电子到达阳极时的速度，设电子从阴极出发时初速为零。设电子从阴极出发时初速为零。n解解电电子子带带负负电电，它它沿沿电电势势升升高高的的方方向向加加速速运运动动，即即从从阴阴极极 K出发到达阳极出发到达阳极 A. 静电场力是保守力，按能量守恒静电场力是保守力，按能量守恒电子到达阳极时获得的动能为电子到达阳极时获得的动能为15电子伏特电子伏特n电子伏特：能量单位电子伏特：能量单位n带有电量带有电量+e或或-e的粒子飞跃一个电势差为的粒子飞跃一个电势差为1V的的区间，电场力对它作的功区间，电场力对它作的功(从而粒子本身获得从而粒子本身获得这么多能量（动能）这么多能量（动能）1eV16电势叠加原理电势叠加原理n点电荷组有点电荷组有 n连续带电体有连续带电体有17电电场场中中某某点点的的电电势势等等于于各各电电荷荷单单独独在在该该点点产产生生的的电电势势的叠加的叠加(代数和代数和)。电势叠加原理电势叠加原理注意：电势零点必须是同一个标准点。注意：电势零点必须是同一个标准点。空间某点的电势是空间所有电荷共同产生的。空间某点的电势是空间所有电荷共同产生的。例例:18求电势求电势n用电势定义求：用电势定义求： n用电势叠加原理求用电势叠加原理求 nP35P35例题例题11111212自己看自己看n补补充充题题两两个个均均匀匀带带电电的的同同心心球球面面，半半径径分分别别为为R Ra a和和R Rb b，带带电电总总量量分分别别为为Q Qa a和和Q Qb b, ,求求图图中中、区区内内的的电电势势分分布布方法一：已知场强求电势方法一：已知场强求电势1920方法二：电势叠加方法二：电势叠加n各区域的电势分布是内外球壳单独存在时的各区域的电势分布是内外球壳单独存在时的 n电势的叠加电势的叠加 ：21小结：小结： n求一点电势要已知这点到无穷远的场强分求一点电势要已知这点到无穷远的场强分布；布； n电势叠加要先求各带电体单独存在时的电电势叠加要先求各带电体单独存在时的电势，然后再叠加；势，然后再叠加； n电势是标量，叠加是标量叠加，比场强叠电势是标量，叠加是标量叠加，比场强叠加容易加容易. 22电场强度和电势电场强度和电势n已知场强已知场强 可求电势可求电势n已知电势已知电势 可否求场强？可否求场强？n等势面等势面 n等势面与电力线处处正交等势面与电力线处处正交 n证明：设一试探电荷证明：设一试探电荷q0沿任意一个等势面作一任意元沿任意一个等势面作一任意元位移位移dl电场力所做的元功电场力所做的元功23n等势面密集处场强大，稀疏处场强小等势面密集处场强大，稀疏处场强小 n证明：证明：设：电场中任意两个相邻等势面之间的电势差为一设：电场中任意两个相邻等势面之间的电势差为一定的值，按这一规定画出等势面图（见图），以点电荷为定的值，按这一规定画出等势面图（见图），以点电荷为例，其电势为例，其电势为因为相邻等势面电势差为一定值，所以有因为相邻等势面电势差为一定值，所以有半径之差半径之差r2定值定值24电势梯度电势梯度 n场有分布，沿各方向存在不同的方向微商场有分布，沿各方向存在不同的方向微商n梯度：物理量对空间坐标的微商梯度：物理量对空间坐标的微商,最大的方向微商最大的方向微商n如如 速度梯度速度梯度 温度梯度等温度梯度等n沿沿 l的方向微商可以表示为的方向微商可以表示为 n若取垂直方向，即场强方向若取垂直方向，即场强方向 n，则沿该方向的则沿该方向的方向微商为方向微商为25结论结论：两等势面间：两等势面间U沿沿n 方向的变化率比沿方向的变化率比沿其他任何方向的变化率都大其他任何方向的变化率都大 n电势梯度电势梯度 n方向：方向： 沿电势变化最快的方向沿电势变化最快的方向 n大小：大小： n在三微空间在三微空间 n电势梯度与场强的关系电势梯度与场强的关系 n 很小，很小，场强场强E变化不大变化不大 26nE总是沿着指向电势减少的方向总是沿着指向电势减少的方向E与与n相反相反n在数学场论中把在数学场论中把 矢量微分算符矢量微分算符 直角坐标系表示直角坐标系表示 例题例题27