统计综合评价方法权重系数的确定方法权重系数的确定方法 大家知道，即使某个评价指标非常重要，但在 个被评价对象中，若它取值的波动程度非常小，那么无论其取值有多大，对这 个被评价对象来说，该指标在评价过程中，对评价结果的影响都是非常小。 极端一点说，若某个非常重要的指标关于这 个被评价对象的取值是完全相同的话，那么该重要的指标在评价过程中的作用为零。 反之，若某个评价指标是不太重要的（但不能舍去），但在 个被评价对象中，它取值的变化程度却非常大，那么，对这 个被评价对象来说，该指标在评价过程中，对评价结果的影响是非常大的。一、 权数的意义和作用一、权数的概念一、权数的概念 权数：用来衡量总体中各单位标志值在总体中作用大小的数值叫权数。 权数一般有两种表现形式：一是绝对数（频数）表示，另一个是用相对数（频率）表示。相对数是用绝对数计算出来的百分数（）或千分数（）表示的，又称比重。当各组标志值已确定，如果哪一组标志值分配的当各组标志值已确定，如果哪一组标志值分配的单位数越多，则该组标志值对平均数的影响越大。单位数越多，则该组标志值对平均数的影响越大。反之，影响越小。（即：在一个数列中，当标志反之，影响越小。（即：在一个数列中，当标志值较大的单位数居多时，平均数就会趋近标志值值较大的单位数居多时，平均数就会趋近标志值大的一方；当标志值较小的单位数居多时，平均大的一方；当标志值较小的单位数居多时，平均数就趋近标志值小的一方；当标志值较大的单位数就趋近标志值小的一方；当标志值较大的单位数与标志值较小的单位数基本平分时，平均数居数与标志值较小的单位数基本平分时，平均数居中）。中）。可见，各组标志值的单位数（频数）的多少对平可见，各组标志值的单位数（频数）的多少对平均数的大小有权衡轻重的作用，所以称各组单位均数的大小有权衡轻重的作用，所以称各组单位数为权数，用权数乘以各组标志值叫加权，由此数为权数，用权数乘以各组标志值叫加权，由此计算的平均数叫加权算术平均数。计算的平均数叫加权算术平均数。二、权数的起源与发展阶段二、权数的起源与发展阶段1.权数的思想渊源。 权数思想最早源于我国春秋初期著名政治家管仲(?前645年)的治国思想。管仲曾被齐桓公任为宰相,历时40年。他在治国理财时非常注重应用轻重之权,史记管晏列传:“管仲既任政相齐贵轻重,慎权衡。”史记平淮书:“齐桓公用管仲之谋,通轻重之权。”终于使齐国成为春秋时期的第一强国。因而管仲的治国思想得到广泛流传并被后人汇记成管子轻重一书,这是一部专门讨论财政经济问题的论著。“权数”一词最早出现于管子轻重山权数篇。桓公问管子曰:“请问权数”。 管子对曰:“天以时为权,地以财为权,人以力为权,君以令为权。” 要想理解这段话中“权数”一词含义,请先看“权”之涵义。孟子梁惠王篇:“权,然后知轻重。” 意思是说“秤一秤,才晓得轻重”。墨子大取篇:“于所体之中而权轻重之谓权”。淮南时则篇:“权者所以权万物也”。 很显然,这里的“权”是称量的意思,引伸为权衡,具有权衡轻重之涵义。只有权衡方知轻重,就象没有规矩不成方圆一样。那么这里的“权数”又作何解释呢?“数者术数,权数犹言行权之术数”。可见,这里的“权数”是指权衡轻重的原则和方式、方法,并不是现代统计科学中的权数。二者的共同之处在于“权”,而不同之处在于“数”,古代权数相当于确定现代统计权数的原则和方法。因此我们认为,具有“权衡轻重之数”含义的现代权数是从管仲的“贵轻重,慎权衡”思想衍生而来的。2.2.现代统计科学中的权数探源。既然现代统计科学中的权数探源。既然管子轻重管子轻重 山权数篇山权数篇中的权数并非现代统计意义上的权中的权数并非现代统计意义上的权数数, ,那么现代权数又源于何时何处那么现代权数又源于何时何处? ?据史料记载据史料记载,1812,1812年年, ,英国政治算术学家阿瑟英国政治算术学家阿瑟 杨杨格在其所著格在其所著英国币值递增的研究英国币值递增的研究一书中一书中, ,首次首次提出用加权平均法计算物价指数提出用加权平均法计算物价指数, ,被视为加权算术被视为加权算术平均法的开端平均法的开端, ,同时也是现代统计权数的开端。为同时也是现代统计权数的开端。为了求出物价水平的变动了求出物价水平的变动, ,杨格将各种商品按重要性杨格将各种商品按重要性分别配以一定的权数分别配以一定的权数, ,如如“ “大麦的重要性二倍于羊大麦的重要性二倍于羊毛、煤、铁毛、煤、铁, ,而粮食有四倍的重要而粮食有四倍的重要, ,小麦与劳动力小麦与劳动力则有五倍的重要则有五倍的重要” ”等等, ,从而计算出综合指数。从而计算出综合指数。这就是说,权数思想虽然起源于中国古代,但是,真正现代统计意义上的权数却始于十九世纪初英国政治算术学家阿瑟杨格的加权算术平均法。三、权数的发展三、权数的发展三、权数的发展三、权数的发展因为现代权数始于指数计算因为现代权数始于指数计算, ,所以权数首先在指数所以权数首先在指数领域得到充分发展领域得到充分发展; ;当指数领域中的权数发展进入当指数领域中的权数发展进入反省阶段以后反省阶段以后, ,权数又开始在统计预测中发挥巨大权数又开始在统计预测中发挥巨大的作用的作用, ,而且统计预测中的权数已经突破了指数领而且统计预测中的权数已经突破了指数领域中实质性权数的概念域中实质性权数的概念; ;直到最近十来年直到最近十来年, ,随着对随着对多指标综合评价方法的系统分析多指标综合评价方法的系统分析, ,权数概念得到进权数概念得到进一步扩展。这就是权数发展的总体线索。如果从一步扩展。这就是权数发展的总体线索。如果从权数本身的性质来看权数本身的性质来看, ,权数是由实质性向虚拟性方权数是由实质性向虚拟性方向发展的。具体来讲向发展的。具体来讲, ,指数领域中的权数基本上属指数领域中的权数基本上属于实质性权数于实质性权数, ,而统计预测和多指标综合中的权数而统计预测和多指标综合中的权数则属于虚拟性权数。下面就分别从这三个领域来则属于虚拟性权数。下面就分别从这三个领域来谈谈权数的发展过程。谈谈权数的发展过程。1.权数在指数领域中的发展权数不但从指数计算开始,而且在近代统计史上,权数主要是伴随着指数编制的发展而发展。在综合指数编制的发展过程中,矛盾的焦点就是权数问题。根据综合指数计算中确定权数的方法特点,将权数的发展过程分为如下四个阶段:第一阶段从1812年至十九世纪50年代,可视为初创阶段。本阶段的主要特点是:权数的确定由凭经验主观赋权发展到凭历史数据进行客观赋权。这种客观赋权法对后来指数计算中的权数确定具有不可抗拒的影响力。这一阶段的代表人物是英国的杨格、罗威、斯克罗普。第二阶段从十九世纪60年代到十九世纪末,可视为发展阶段。本阶段的主要特点是:围绕着以基期销售量还是计算期销售量抑或二者的平均量为权数进行讨论，三种方法各有优缺点,而且至今仍然为大多数学者所接受。这一阶段的代表人物是德国的拉斯皮雷斯、派许,英国的马歇尔、艾奇沃斯。第三阶段从本世纪初到本世纪二十年代,可视为顶峰阶段。本阶段的主要特点是:用所有可能的权数对各种指数形式进行加权,并对由此产生的134个指数公式进行三项检验,最后得出一个“理想公式”。这一时期的代表人物就是美国著名的统计学家、经济学家费喧,他的主要观点收录在被誉为指数理论“圣经”的指数的编制一书中。第四阶段从本世纪二十年代以来,可视为反省阶段。本阶段的特点是:很少有人再提出新的加权方法,而是不断“消化”老问题,重温旧争议。2.权数在统计预测中的应用与扩展正当指数领域中的权数发展步入低谷之时,权数在统计预测中有了新的应用与发展,并且将权数概念由实质性扩展为虚拟性,为权数的应用范围开辟了一个新的天地。在统计预测中,考虑到时间数列各观察值的远近对预测未来的重要性不同,使用权数来加重近期数值的作用,以提高预测结果的准确程度,这只是近几十年来发生的事。统计预测方法很多,无论是加权移动平均法、指数平滑法、折扣最小平方法还是三点预测法,它们都体现了同一种基本精神,即按照时间数列中观察值的远近,用某种可以控制的方法来调整每个观察值的权数,使预测结果更加准确、可靠。同时,我们必须进一步指出,统计预测中的权数并不象综合指数中的同度量因素那样具有一定的经济含义,权数与被加权因素之积也不形成一个新的统计指标,权数本身仅仅是一组带有主观假定性的抽象数字,它代表各期数据的可靠性大小及其对预测结果影响的重要性程度。可见,权数概念在统计预测中得到扩展,为权数的应用范围开辟了一个新的天地。3.权数在多指标综合评价中得到进一步扩展多指标综合评价,只是最近十几年来在统计研究与统计实践中逐渐发展起来的一项新课题。在多指标综合评价中,为了对被评价事物作出一项全面合理的整体性评价,需要把反映该事物各方面的指标综合在一起,形成一个综合性指标,由于事物本身发展的不平衡性,以及评价目标值的侧重点有所不同,有些指标在综合评价值的形成过程中所起作用大一些,有些则小一些,这样,就需要对各个指标进行加权处理。然而然而, ,在多指标综合评价中在多指标综合评价中, ,往往找不到诸如往往找不到诸如同度量因素之类的实质性权数。因此同度量因素之类的实质性权数。因此, ,为了满足多指为了满足多指标综合评价的要求标综合评价的要求, ,需要对权数概念作进一步扩展。需要对权数概念作进一步扩展。本文作者之一邱东教授在其所著本文作者之一邱东教授在其所著多指标综合评多指标综合评价方法的系统分析价方法的系统分析一书中对权数的定义、分类、一书中对权数的定义、分类、产生方式以及权数概念为什么要扩展等问题都作产生方式以及权数概念为什么要扩展等问题都作了比较详尽的论述。了比较详尽的论述。统计权数论 曾宪报 东北财大关于多指标综合评价方法及其权数问题的讨论 金贞珍 延边大学参考书目二、权数的确定方法一、德尔菲法一、德尔菲法德尔菲法（ 又称为专家咨询法，其特点在于集中专家的经验与意见，确定各指标的权数，并在不断的反馈和修改中得到比较满意的结果。基本步骤如下：第一步，选择专家。这是很重要的一步，选得好不好将直接影响到结果的准确性。一般情况下，可以选本专业领域中既有实际工作经验又有较深理论修养的专家1030人左右，并须征得专家本人的同意。第二步，将待定权数的个指标和有关资料以及统一确定权数的规则发给选定的各位专家，请他们独立地给出各指标的权数值。第三步，回收结果并计算各指标权数的均值与标准差。第四步，将计算的结果及补充资料返还给各位专家，要求所有的专家在新的基础上重新确定权数。第五步，重复上述第三和第四步，直至各指标权数与其均值的离差不超过预先给定的标准为止，也就是各专家的意见基本趋于一致，以此时各指标权数的均值作为该指标的权数。此外，为了使判断更加准确，让评价者了解已确定的权数把握性的大小，还可以运用“带有信任度的德尔菲法”，该方法需在上述第五步每位专家给出最后权数值的同时，标出各自所给权数值的信任度，并求出平均信任度。这样，如果某一指标权数的信任度较高，就可以有较大的把握使用它；反之，只能暂时使用或设法改进。德尔菲法是调查、征集意见、汇总分析、反馈、再调查、一个反复的过程，专家们是处于互不知情的隔离状态，每个人的信息是他自己的知识、经验、专长以及调查机构反馈给他的汇总情况的集中体现，这就便于集中智慧。所以不少方法也都或多或少地借用这一想法，反复比较、协调，求得较好的结果和比较一致的意见。二、序关系分析法1、方法及步骤、方法及步骤1）确定序关系）确定序关系定义定义1 若评价指标 相对于某评价准则（或目标）的重要性程度大于（或不小于） 时，则记为 。定义定义2 若评价指标 相对于某评价准则（或目标）具有关系式 时，则称评价指标 之间按“ ”确立了序关系。这里 表示 按关系“ ”排定顺序后的第 个评价指标（ ）。对于评价指标集 ，可按下属步骤建立序关系：（1）决策者在指标集 ，选出认为是最重要（关于某评价准则）的一个（只选一个）指标记为 ；（2）决策者在在余下的 个指标中，选出认为是最重要（关于某评价准则）的一个（只选一个）指标记为 ；（ ）决策者在在余下的 个指标中，选出认为是最重要（关于某评价准则）的一个（只选一个）指标记为 ；（ ）经过次挑选剩下的 评价指标记为 。 这样，就唯一确定了一个序关系 。对于某些问题来说，仅仅给出了序关系还不够，还要确定出各评价指标相对于某评价准则（或目标）的权重系数。2）给出）给出 与与 间相对重要程度的比间相对重要程度的比较判断较判断设专家关于评价指标 与 的重要性程度之比 的理性判断分别为 ， （1）当 较大时，可取 。 的赋值可参考下表。表表1 赋值参考表赋值参考表说明说明1.01.0指标指标 与指标与指标 具有同样重要性具有同样重要性具有同样重要性具有同样重要性 1.21.2指标指标 比指标比指标 稍微重要稍微重要稍微重要稍微重要 1.41.4指标指标 比指标比指标 明显重要明显重要明显重要明显重要 1.61.6指标指标 比指标比指标 强烈重要强烈重要强烈重要强烈重要 1.81.8指标指标 比指标比指标 极端重要极端重要极端重要极端重要 关于之间的数量约束 ，有下面的定理：定理定理1 若 具有序关系 ，则 与 必 须满足 ， （2）定理2 若专家（或决策者）给出 的理性赋值满足关系上式，则 为 （3）而 （4）证明证明 因为 ，对k从2到m求和，得 注意到 ， 得 故得证式（3），式（4）可由式（1）推出。证毕。3）权重系数的计算）权重系数的计算例：设某评价问题有4个评价指标为 ，专家认为 之间具有序关系 并给出 ， ，而所以故评价指标为 的权重系数为三、统计方法三、统计方法从收集到的指标的数据来看，数据本身提供的信息中也能确定合适的权，常见的有：用方差的倒数为权、变异系数为权和复相关系数的倒数为权等。这些方法的理论根据是统计中关于综合预测有如下一条定理：证证明明 利用的独立性，因此，这是一个条件极值问题。 注意到约束条件证证明明 利用证证明明 利用证证明明 利用证证明明 利用的独立性，证证明明 利用，因此，这是一个条件极值问题。 注意到约束条件的独立性，证证明明 利用定理定理4.1 设分别为真值的预测值，它们是相互独立的，并且，则它们的加权平均预测值，在，时，相应的方差达到最小值。定理定理4.1 设定理定理4.1 设分别为真值定理定理4.1 设分别为真值定理定理4.1 设的预测值，它们是相互独立的，并且分别为真值定理定理4.1 设的预测值，它们是相互独立的，并且分别为真值定理定理4.1 设，则它们的加权平均预测值的预测值，它们是相互独立的，并且分别为真值定理定理4.1 设，则它们的加权平均预测值的预测值，它们是相互独立的，并且分别为真值定理定理4.1 设，在，则它们的加权平均预测值的预测值，它们是相互独立的，并且分别为真值定理定理4.1 设，在，则它们的加权平均预测值的预测值，它们是相互独立的，并且分别为真值定理定理4.1 设，在，则它们的加权平均预测值的预测值，它们是相互独立的，并且分别为真值定理定理4.1 设时，相应的方差，在，则它们的加权平均预测值的预测值，它们是相互独立的，并且分别为真值定理定理4.1 设时，相应的方差，在，则它们的加权平均预测值的预测值，它们是相互独立的，并且分别为真值定理定理4.1 设达到最小值。时，相应的方差，在，则它们的加权平均预测值的预测值，它们是相互独立的，并且分别为真值定理定理4.1 设定理定理4.1 设定理定理4.1 设分别为真值定理定理4.1 设分别为真值定理定理4.1 设的预测值，它们是相互独立的，并且分别为真值定理定理4.1 设的预测值，它们是相互独立的，并且分别为真值定理定理4.1 设，则它们的加权平均预测值的预测值，它们是相互独立的，并且分别为真值定理定理4.1 设，则它们的加权平均预测值的预测值，它们是相互独立的，并且分别为真值定理定理4.1 设，则它们的加权平均预测值的预测值，它们是相互独立的，并且分别为真值定理定理4.1 设，在，则它们的加权平均预测值的预测值，它们是相互独立的，并且分别为真值定理定理4.1 设，在，则它们的加权平均预测值的预测值，它们是相互独立的，并且分别为真值定理定理4.1 设时，相应的方差，在，则它们的加权平均预测值的预测值，它们是相互独立的，并且分别为真值定理定理4.1 设时，相应的方差，在，则它们的加权平均预测值的预测值，它们是相互独立的，并且分别为真值定理定理4.1 设达到最小值。时，相应的方差，在，则它们的加权平均预测值的预测值，它们是相互独立的，并且分别为真值定理定理4.1 设因此后，就有，这样，就求得注意到记，则 就是的变异系数。记记记，则记，则记 就是，则记的变异系数。 就是，则记的变异系数。 就是，则记的变异系数。 就是，则记的变异系数。 就是的变异系数。 就是的变异系数。 就是，则的变异系数。 就是，则的变异系数。 就是记，则的变异系数。 就是这条定理表明，用方差的倒数作为权来综合各种相互独立的预测，效果好（方差达到最小）。然而，综合评价与预测还不一样，所以方差小的这个准则并不适用。于是就派生出变异系数法、复相关系数法。一组数据的变异系数是它的标准差除以均值的绝对值，即对数据于是对选的指标，利用被评价对象的数据，各个指标都有各自的变异系数。为了方便，用表示的变异系数，此时相应的权就是。 于是对选的指标于是对选的指标，利用被评价对象的数据，各个指标都有各自的变异系数。为了方便，用于是对选的指标，利用被评价对象的数据，各个指标都有各自的变异系数。为了方便，用于是对选的指标，此时，利用被评价对象的数据，各个指标都有各自的变异系数。为了方便，用于是对选的指标，此时，利用被评价对象的数据，各个指标都有各自的变异系数。为了方便，用于是对选的指标相应的权就是，此时，利用被评价对象的数据，各个指标都有各自的变异系数。为了方便，用于是对选的指标相应的权就是，此时，利用被评价对象的数据，各个指标都有各自的变异系数。为了方便，用于是对选的指标。 相应的权就是，此时，利用被评价对象的数据，各个指标都有各自的变异系数。为了方便，用于是对选的指标。 相应的权就是，此时，利用被评价对象的数据，各个指标都有各自的变异系数。为了方便，用于是对选的指标。 相应的权就是，此时，利用被评价对象的数据，各个指标都有各自的变异系数。为了方便，用于是对选的指标。 相应的权就是，此时，利用被评价对象的数据，各个指标都有各自的变异系数。为了方便，用于是对选的指标。 相应的权就是，此时，利用被评价对象的数据，各个指标都有各自的变异系数。为了方便，用于是对选的指标。 相应的权就是，此时，利用被评价对象的数据，各个指标都有各自的变异系数。为了方便，用于是对选的指标。 相应的权就是，此时，利用被评价对象的数据，各个指标都有各自的变异系数。为了方便，用于是对选的指标这种加权的方法是为了突出各指标的相对变化幅度，从评价的目的来看，就是区别被评价的对象，的值大，表示在不同的对象身上变化大，区别对象能力强，所以应给予重视。这种加权的方法是为了突出各指标的相对变化幅度，从评价的目的来看，就是区别被评价的对象，这种加权的方法是为了突出各指标的相对变化幅度，从评价的目的来看，就是区别被评价的对象，另一种是考虑复相关系数，每一个被选的指标，用其余的指标对它的相关程度复相关系数来考虑时，复相关系数简记为，它反映了非的那些指标能替代的能力。 另一种是考虑复相关系数，每一个被选的指标，用其余的指标对它的相关程度复相关系数另一种是考虑复相关系数，每一个被选的指标，用其余的指标对它的相关程度复相关系数另一种是考虑复相关系数，每一个被选的指标来考虑时，复相关系数简记为，用其余的指标对它的相关程度复相关系数另一种是考虑复相关系数，每一个被选的指标来考虑时，复相关系数简记为，用其余的指标对它的相关程度复相关系数另一种是考虑复相关系数，每一个被选的指标，它反映了非来考虑时，复相关系数简记为，用其余的指标对它的相关程度复相关系数另一种是考虑复相关系数，每一个被选的指标，它反映了非来考虑时，复相关系数简记为，用其余的指标对它的相关程度复相关系数另一种是考虑复相关系数，每一个被选的指标的那些指标能替代，它反映了非来考虑时，复相关系数简记为，用其余的指标对它的相关程度复相关系数另一种是考虑复相关系数，每一个被选的指标的那些指标能替代，它反映了非来考虑时，复相关系数简记为，用其余的指标对它的相关程度复相关系数另一种是考虑复相关系数，每一个被选的指标的能力。 的那些指标能替代，它反映了非来考虑时，复相关系数简记为，用其余的指标对它的相关程度复相关系数另一种是考虑复相关系数，每一个被选的指标当时，可以去掉，因为用非的值就可定出的值；当很小时，非的值并不能代替它，所以用作为权是合适的，它就是复相关系数倒数的绝对值。当当时，当时，当可以去掉，因为用非时，当可以去掉，因为用非时，当的值就可定出可以去掉，因为用非时，当的值就可定出可以去掉，因为用非时，当的值；当的值就可定出可以去掉，因为用非时，当的值；当的值就可定出可以去掉，因为用非时，当很小时，非的值；当的值就可定出可以去掉，因为用非时，当很小时，非的值；当的值就可定出可以去掉，因为用非时，当的值并不能代替它，所以用很小时，非的值；当的值就可定出可以去掉，因为用非时，当的值并不能代替它，所以用很小时，非的值；当的值就可定出可以去掉，因为用非时，当作为权是合适的，它就是复相关系数倒数的复相关系数倒数的绝对值绝对值。的值并不能代替它，所以用很小时，非的值；当的值就可定出可以去掉，因为用非时，当