2.3 2.3 信号的频域分析信号的频域分析 第二章、信号分析基础第二章、信号分析基础时域描述：时域描述：以时间为独立变量，直接观测或记录信以时间为独立变量，直接观测或记录信号，反映信号幅值随时间变化的关系。号，反映信号幅值随时间变化的关系。 机器振动问题：机器振动问题：评定振动烈度：评定振动烈度：（用振动速度的均方根值来（用振动速度的均方根值来作为判据）如速度信号采用时域描述，可很作为判据）如速度信号采用时域描述，可很快求得均方根值；快求得均方根值；寻找振源：寻找振源：需掌握振动信号的频率分量，应需掌握振动信号的频率分量，应采用频域描述。采用频域描述。频域参数对频域参数对应于设备转应于设备转速、固有频速、固有频率等参数，率等参数，物理意义更物理意义更明确。明确。局限：不能揭示信号的频率组成关系局限：不能揭示信号的频率组成关系信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域变换为频域信号信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。8563ASPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz傅里叶傅里叶变换变换X(t)= sin(2nft)0 t0 f2.3信号的频域分析信号的频域分析 频域描述：频域描述：以频率为独立变量来表示信号，研究信号的频以频率为独立变量来表示信号，研究信号的频率结构，即组成信号的各频率分量的幅值及相位的信息。率结构，即组成信号的各频率分量的幅值及相位的信息。 2.3信号的频域分析信号的频域分析 信号频谱信号频谱X(f)X(f)代表了信号代表了信号在不同频率分量成分的大在不同频率分量成分的大小，能够提供比时域信号小，能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息波形更直观，丰富的信息 时域分析与频域分析的关系时域分析与频域分析的关系时间时间幅值幅值频率频率时域分析时域分析频域频域分析分析2.3 信号的频域分析信号的频域分析 大型空气压缩机传动装置故障诊断大型空气压缩机传动装置故障诊断 时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。量大小。 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数有两种形式傅里叶级数有两种形式:三角函数形式：三角函数形式： 它表明周期函数由一个直流分量和无限个谐波分量组成，它表明周期函数由一个直流分量和无限个谐波分量组成，0称为基波角频率。称为基波角频率。 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析（1）周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析复指数形式：复指数形式：将三角函数形式中的正余弦用欧拉公式代换将三角函数形式中的正余弦用欧拉公式代换 -n替换了替换了n 带入并合并同入并合并同类项 则：则：式中，式中，Cn称复指数形式的付里叶系数。称复指数形式的付里叶系数。周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析也可推出：公式（1）和上式代入以下表达式，得周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析周期信号的频谱：周期信号的频谱：三角级数表达: An 幅频特性相频特性复指数表达: Cn Cn直流分量A0/2|C0|第第n次谐波的幅值次谐波的幅值第第n次谐波的相位次谐波的相位若把若把An和和Cn、 和和Cn与频率的相应关系用坐标表与频率的相应关系用坐标表 示出来，则称之为示出来，则称之为信号的频谱信号的频谱.两者都是频率函数周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析频谱图的概念频谱图的概念 工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以f fn n ( ( 0 0) )为横坐标，为横坐标， a an n 、b bn n 为纵坐标画图，称为纵坐标画图，称为实频虚频谱图。为实频虚频谱图。图例图例周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析 以以f fn n为横坐标，为横坐标，A An n、 为纵坐标画图，则称为为纵坐标画图，则称为幅值相位谱；幅值相位谱；周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析 以以f fn n为横坐标，为横坐标， 为纵坐标画图，则称为为纵坐标画图，则称为功率谱。功率谱。 频谱是构成信号的各频率分量的集合，它完频谱是构成信号的各频率分量的集合，它完整地表示了信号的频率结构，即信号由哪些整地表示了信号的频率结构，即信号由哪些谐波组成谐波组成、各谐波分量的、各谐波分量的幅值大小幅值大小与与初始相初始相位位，从而揭示了信号的频率信息。，从而揭示了信号的频率信息。周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析频谱分析的应用频谱分析的应用 频频谱谱分分析析主主要要用用于于识识别别信信号号中中的的周周期期分分量量，是是信号分析中最常用的一种手段。信号分析中最常用的一种手段。案例：案例：在齿轮箱故障诊断在齿轮箱故障诊断通过齿轮箱振动信号频谱分析，通过齿轮箱振动信号频谱分析，确定最大频率分量，然后根据确定最大频率分量，然后根据机床转速和传动链，找出故障机床转速和传动链，找出故障齿轮。齿轮。案例：案例：螺旋浆设计螺旋浆设计可以通过频谱分析确定螺旋浆可以通过频谱分析确定螺旋浆的固有频率和临界转速，确定的固有频率和临界转速，确定螺旋浆转速工作范围。螺旋浆转速工作范围。周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析例：例：求方波信号的频谱求方波信号的频谱 f(t)-T0/2T0/21周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析解解: 1) 展开为三角级数展开为三角级数: n为偶数为偶数(n不等于零不等于零)n为奇数为奇数 ，k=0,1, 2,3周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析2) 展成复指数级数展成复指数级数周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析p比较两个频谱可发现不同之处在于：复指数形式频谱中的比较两个频谱可发现不同之处在于：复指数形式频谱中的负频率完全是数学变换的结果，没有实际的物理意义，只负频率完全是数学变换的结果，没有实际的物理意义，只有把正负频率项成对地合并起来，才是实际的频谱函数。有把正负频率项成对地合并起来，才是实际的频谱函数。周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析这时就不能用傅立叶级数展开了，但是信号中各频率成分的这时就不能用傅立叶级数展开了，但是信号中各频率成分的比例关系还是存在的，因此我们还希望研究信号的频率成分，比例关系还是存在的，因此我们还希望研究信号的频率成分，这就需要借助于另外一种数学方法这就需要借助于另外一种数学方法傅立叶变换傅立叶变换。 非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析 第二章、信号分析基础第二章、信号分析基础 当周期当周期T0时，变成非周期信号，周期信号中时，变成非周期信号，周期信号中频谱谱线的频率间隔频谱谱线的频率间隔02/ T0 ， 趋于无穷趋于无穷小，谱线无限靠近，变量小，谱线无限靠近，变量连续取值以致谱线的顶点最后连续取值以致谱线的顶点最后演变成一条连续曲线。演变成一条连续曲线。非周期信号的频谱是连续的。非周期信号的频谱是连续的。从周期函数的傅立叶级数取从周期函数的傅立叶级数取T时的极限入手，对于周期信时的极限入手，对于周期信号：号： 非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析因为频线间隔：因为频线间隔：非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析当当T0时，时，0上式变为上式变为：由定由定积分定分定义：非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析式中：式中：或或=2=2f f代入上式代入上式, ,简化为简化为: :傅立叶变换傅立叶变换FTFT傅立叶反变换傅立叶反变换IFTIFT傅立叶变换傅立叶变换FTFT傅立叶反变换傅立叶反变换IFTIFT非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析一般的说，一般的说，F()是个复数是个复数 幅值谱密度幅值谱密度 相位谱密度相位谱密度 例：矩形窗函数非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析1周期函数中所包含的频率成分，是基频周期函数中所包含的频率成分，是基频0的整的整倍数。而非周期函数中包含了一系列从倍数。而非周期函数中包含了一系列从0到无穷大的到无穷大的所有频率成分，所有频率成分，是连续变量。是连续变量。周期信号与非周期信号频谱分析的比较周期信号与非周期信号频谱分析的比较非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析2周期函数的傅立叶系数周期函数的傅立叶系数Cn反映的是对应频率反映的是对应频率成分幅值的大小，而非周期函数的傅立叶变换成分幅值的大小，而非周期函数的傅立叶变换F()反映的是单位频率宽度上的振幅。所以又称反映的是单位频率宽度上的振幅。所以又称F()为为频谱密度函数频谱密度函数。非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析2.4 2.4 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质a.a.奇偶虚实性奇偶虚实性第二章、信号分析基础第二章、信号分析基础实际信号一般为实函数，但其频谱是复函数实际信号一般为实函数，但其频谱是复函数其中：其中：若若x(t)是实函数，则幅频是实函数，则幅频 和和 实频实频Re 为偶函数，为偶函数， 相频相频 和和 虚频虚频Im 为奇函数为奇函数， 例子：求下图波形的频谱例子：求下图波形的频谱+X2(f)X1(f)用线性叠加定理简化用线性叠加定理简化2.4 2.4 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质b.b.线性叠加性线性叠加性 若若 x1(t) X1(f)x1(t) X1(f)，x2(t) X2(f) x2(t) X2(f) 则：则：c1x1(t)+c2x2(t) c1X1(f)+c2X2(f)c1x1(t)+c2x2(t) c1X1(f)+c2X2(f)c.c.对称性对称性 若若 x(t) X(f)x(t) X(f)，则则 X(tX(t) x(-f) ) x(-f) 2.4 2.4 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质证明：证明： 以以t替换替换t:以以f换换t:所以：所以：2.4 2.4 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质tx(t)fX(f)已知条件：已知条件：fx(f)tX(t)可推出：可推出：d. 时间尺度改变性时间尺度改变性 若若 x(t) X(f)，则则 x(kt) 1/kX(f/k)2.4 2.4 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质证明：证明：当时间尺度压缩时，频谱的频带当时间尺度压缩时，频谱的频带加宽加宽，幅值，幅值压低压低；当时间尺度扩张时，频谱的频带当时间尺度扩张时，频谱的频带变窄变窄，幅值，幅值增高增高；tx(t)X(f)fT/2-T/21/T-1/Ttx(t)X(f)fT-T1/2T-1/2Ttx(t)X(f)fT/4-T/42/T-2/T2.4 2.4 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质e. e. 时移性时移性 若若x(t) X(f)，则则 x(tt0) ej2ft0 X(f) 时间域信号沿时间轴时间域信号沿时间轴右移右移或或左移左移一个时间一个时间t0,移后时间信移后时间信号的频谱等于原信号频谱乘以因子号的频谱等于原信号频谱乘以因子ej2ft0，原幅值谱不变，原幅值谱不变，只是相角产生附加变化（只是相角产生附加变化（2ft0）f. f. 频移性频移性 若若x(t) X(f)，则，则x(t) ej2f0t X(f f0) 若频谱沿频率轴若频谱沿频率轴右移右移或或左移左移f0，则时域信号为原信号，则时域信号为原信号乘以因子乘以因子ej2ft0如方波相频谱，见书如方波相频谱，见书11表表g.g.卷积特性卷积特性1 卷积卷积两个函数两个函数x1(t)与与x2(t)的卷积定义为：的卷积定义为：记作：记作： 卷积积分是一种数学方法，在信号与系统的理论研究中占有重要卷积积分是一种数学方法，在信号与系统的理论研究中占有重要的地位。特别是关于信号的时间域与变换域分析，它是沟通时域频的地位。特别是关于信号的时间域与变换域分析，它是沟通时域频域的一个桥梁。域的一个桥梁。 在系统分析中，系统输入输出和系统特性的作用关系在时间在系统分析中，系统输入输出和系统特性的作用关系在时间域就体现为卷积积分的关系域就体现为卷积积分的关系 x(t)h(t) y(t)2.4 2.4 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质h(t)t00h(-)(1)反折x(t)0t2卷积积分的几何图形表示卷积积分的几何图形表示(2)平移0h(t1 -)(3)相乘0h(t1 -)x(t)0tx(t)0t(4)积分(1)反折；反折；(2)平移；平移；(3)相乘；相乘；(4)积分。积分。2.4 2.4 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质3卷积特卷积特性性若若x(t1) X1(f)x(t2) X2(f)则则证明：证明：h. h. 微分和积分特性微分和积分特性 若若x(t) X (f)虚轴（jw）代表 的振荡频率实轴（）代表 的振幅变化第二章、信号分析基础第二章、信号分析基础2.5 2.5 典型信号的频谱典型信号的频谱1）矩形窗函数）矩形窗函数(矩形脉冲信号矩形脉冲信号) 一个在时域有限区间内有值的信号，其频谱却延伸至无一个在时域有限区间内有值的信号，其频谱却延伸至无限频率。限频率。T/2T/2tw(t)1/T2/T3/T1/T 2/T 3/TW(f)在在f=01/T之之间的的谱峰幅峰幅值最大，成最大，成为主瓣，两主瓣，两侧其他各其他各谱峰的峰峰的峰值较低，成低，成为旁瓣。主瓣的旁瓣。主瓣的宽度度为2/T,与与时窗窗宽度度T成反比，成反比，时域窗域窗宽T越大，即截取信号越大，即截取信号时间愈大，主瓣愈大，主瓣宽度愈小。度愈小。若在时域中想截取信号的一段记录长度，则相当于若在时域中想截取信号的一段记录长度，则相当于原信号和原信号和矩形窗函数之乘积矩形窗函数之乘积，因而得到的频率将是原信号频域函数和，因而得到的频率将是原信号频域函数和sinc(t)函数的卷积，它将是连续的、频率无限延伸的频谱函数的卷积，它将是连续的、频率无限延伸的频谱以以2为周期并随周期并随t的增的增加而做衰减振加而做衰减振荡，偶函，偶函数，数，函数值专门可查函数值专门可查2.5 2.5 典型信号的频谱典型信号的频谱2） 单位脉冲函数（单位脉冲函数（ 函数函数）定义：定义：t(t)tS(t)在在时间内激发一个矩形脉冲时间内激发一个矩形脉冲S(t)，其面积为，其面积为1。当当0时，其极限就，其极限就称之为称之为函数。函数。 从时域看，即：从时域看，即：从面积（强度）看，即：从面积（强度）看，即：用它可描述一些作用时间极短、但取值极大的物理现象，如用它可描述一些作用时间极短、但取值极大的物理现象，如云层之间的放电，瞬时间的冲击力等。云层之间的放电，瞬时间的冲击力等。定义中积分等于定义中积分等于1，说明其强度为，说明其强度为1，若强度为，若强度为K的脉冲用的脉冲用k(t)表示。表示。若图中线段位于若图中线段位于t=t0点，则可定义点，则可定义函数的延迟为：函数的延迟为： ，积分值仍为，积分值仍为1。 函数的筛选性质（抽样、采样）函数的筛选性质（抽样、采样）：抽样性质：抽样性质：如果如果函数与某一连续函数函数与某一连续函数f(t)相乘，则乘积仅在相乘，则乘积仅在t=0处有处有值，其余为值，其余为0：或延时：或延时：表明是强度为表明是强度为f(0)的的函数函数2.5 2.5 典型信号的频谱典型信号的频谱由于经过此种处理，可将由于经过此种处理，可将f(t)在任何时刻的值提取出来，所以在任何时刻的值提取出来，所以称其为称其为筛选性质筛选性质，或，或抽样性质抽样性质。当对信号进行采样时，采样。当对信号进行采样时，采样的过程及采样后信号即可利用此种性质来进行描述，即的过程及采样后信号即可利用此种性质来进行描述，即 函数的傅立叶变换：函数的傅立叶变换：这说明这说明函数的频谱密度是常数函数的频谱密度是常数1，即，即函数是各种等强度函数是各种等强度的各种频率成分所组成的的各种频率成分所组成的(也叫均匀谱或白色谱也叫均匀谱或白色谱)。2.5 2.5 典型信号的频谱典型信号的频谱采样（积分）性质：采样（积分）性质： 函数与某一连续函数函数与某一连续函数f(t)相乘，并在相乘，并在（）积分，则：）积分，则：或延时：或延时：函数的卷积特性：函数的卷积特性：任何函数和任何函数和函数卷积就是一种最简单的卷积积分，函数卷积就是一种最简单的卷积积分，如：矩形函数如：矩形函数x(t)与与函数函数同理：同理：x(t)* (t-t0)t(t)x(t)ttx(t)* (t)t(t)x(t)tt(t+t0)(t-t0)x(t) *(t+t0)-t0t0-t0 t0卷积的结果就是卷积的结果就是发生在发生在函数的坐函数的坐标位置上简单地标位置上简单地将将x(t)重新构图，重新构图，这种特性可应用这种特性可应用于信号调理环节于信号调理环节中的调幅与解调中的调幅与解调2.5 2.5 典型信号的频谱典型信号的频谱2.5 2.5 典型信号的频谱典型信号的频谱脉冲序列的频谱（梳状函数）脉冲序列的频谱（梳状函数）n=0,1, 2.fs=1/Ts复指数形式复指数形式: :其中:Comb(t,Ts)Ts2Ts-Ts-2Ts01ttComb(t,Ts)Ts2Ts-Ts-2Ts01fComb(f,fs)1/Ts 2/Ts01/Ts-2/Ts -1/Ts所以：所以：根据频移特性：根据频移特性：故：故：3） 正、余弦函数正、余弦函数由于正、余弦函数不满足绝对可积条件，不能直接进行傅立叶变换，由于正、余弦函数不满足绝对可积条件，不能直接进行傅立叶变换，需引入需引入函数：函数：利用欧拉公式利用欧拉公式可认为可认为正、余弦函数是把频域中的两个正、余弦函数是把频域中的两个函数向不同方向函数向不同方向频移后，之差或之和的傅立叶逆变换频移后，之差或之和的傅立叶逆变换2.5 2.5 典型信号的频谱典型信号的频谱见书155fImX(f)tx(t)=sin2f0ttfx(t)=cos2f0tReX(f)-f0f0-f0 f02.5 2.5 典型信号的频谱典型信号的频谱