对数与对数运算一、学习目标1.在熟悉指数的基础上充分理解对数在熟悉指数的基础上充分理解对数的定义；的定义；2.熟练掌握指数式和对数式的互换；熟练掌握指数式和对数式的互换；3.能够求出一些特殊的对数式的值能够求出一些特殊的对数式的值. 对对数数的的创创始始人人是是苏苏格格兰兰数数学学家家纳纳皮皮尔尔（Napier，1550年年1617年年）.他他发发明明了了供供天天文文计计算算作作参参考考的的对对数数，并并于于1614年年在在爱爱丁丁堡堡出出版版了了奇奇妙妙的的对对数数定定律律说说明明书书，公公布布了了他他的的发发明明.恩恩格格斯斯把把对对数数的的发发明明与与解解析析几几何何的的创创始始，微微积积分分的的建建立立并并称称为为17世世纪纪数数学学的的三三大成就大成就. 二、知识铺垫一、实例：假若我国国民经济生产总值平均每年增长8%，则经过多少年国民生产总值是现在的两倍？ 设：经过设：经过x年国民生产总值是现在的两倍，年国民生产总值是现在的两倍，现在的国民生产总值是现在的国民生产总值是a. 根据题意得： 即：即：如何来计算这里的如何来计算这里的x？三、知识引入其中其中a叫做对数的底数叫做对数的底数, N叫做叫做真数真数. 1.对数的定义：对数的定义： 一般地，如果一般地，如果a ( a 0 , a 1 )的的b次幂次幂等于等于N，就是就是 那么数那么数b叫做以叫做以a为底为底N的的对数对数，四、讲授新课底数底数幂幂真数真数指数指数对数对数2.指数和对数的关系相互转化指数和对数的关系相互转化由对数的概念可知：由对数的概念可知：1. 负数和零没有对数；负数和零没有对数；注意：对数恒等式对数恒等式一般对数的两个特例：一般对数的两个特例：1.常用对数常用对数：以以10为底的对数为底的对数.并把并把 简记作简记作 . 2.自然对数自然对数：以无理数以无理数e = 2.71828为底的对数为底的对数.并把并把 简记作简记作 . 例例1将下列指数式写成对数式：将下列指数式写成对数式： 5.73)31(4)273(3)6412(2)6255(1)ma64=-解：解： 五、练习巩固例例2将下列对数式写成指数式：将下列对数式写成指数式： 解：解：例例3求下列各式的值：求下列各式的值： 例例4.计算：计算：练练 习习 P64 1P64 14 4作业：作业：1.P74 1.P74 习题习题2.2A2.2A组组1 1、2 22.2.优化探究优化探究P45 P45 自测评估自测评估 P46 P46对点演练对点演练1 13.3.优化探究优化探究P47P47知能提升知能提升1 1、2 2、6 6(1)对数的定义；对数的定义；(2)指数式和对数式的互换；指数式和对数式的互换；(3)求值求值.六、练习巩固思考题：思考题：(1) 对数式对数式中中x的取值范围是的取值范围是_(2) 若若log5log3(log2x)=1，x=_对数函数数函数的的图象和性象和性质： a1a10a10a10a0, a1)(4) 0x1时时, y1时时, y0(4) 0x0; x1时时, y0 (3) 过点过点(1,0), 即即x=1 时时, y=0 (1) 定义域定义域： (0,+)(2) 值域：值域：Rxyo(1, 0)xyo（1, 0)(5)在在(0,+)上是减函上是减函数数(5) 在在(0,+)上是增函上是增函数数对数函数的图象和性质 研究下列函数图象的关系研究下列函数图象的关系函数图象的应用函数图象的应用 的的 图象如图所示，那么图象如图所示，那么a,b,c的大小关系是的大小关系是 例例1：求下列函数的定义域（：求下列函数的定义域（a0且且a1）（1） （2）（3） (4)练习：（教材练习：（教材P73练习练习2） 例例2比较下列各组数中两个值的大小：比较下列各组数中两个值的大小： 练习：（教材练习：（教材P73练习练习3） 变式变式:比较下列各组中两个值的大小：比较下列各组中两个值的大小：3.3.已知已知， m,n为不等于为不等于1的正数，则下列关系中正确的是（的正数，则下列关系中正确的是（ ）（A）1mn (B)mn1 (C)1nm (D)nm0,与与0a10a0, a1)(4) 0x1时时, y1时时, y0(4) 0x0; x1时时, y0且且a1）的单调性）的单调性作业：作业：P75 A组组10 B组组 4 ，P82 A组组8 ， B组组11.已知函数已知函数 ,(1)当定义域为当定义域为R时时,求求a的取值范围的取值范围;(2)当值域为当值域为R时时,求求a的取值范围的取值范围.2.求函数求函数 的值域的值域 2.2.2对数函数及其性质对数函数及其性质（3）a1 0a10a0, a1)(4) 0x1时时, y1时时, y0(4) 0x0; x1时时, y0 (3) 过点过点(1,0), 即即x=1 时时, y=0 (1) 定义域定义域： (0,+)(2) 值域：值域：Rxyo(1, 0)xyo（1, 0)(5)在在(0,+)上是减函上是减函数数(5) 在在(0,+)上是增函上是增函数数对数函数的图象和性质 反函数的概念反函数的概念 设设A,B分别为函数分别为函数y=f(x)的定义域和值域，如的定义域和值域，如果由函数果由函数y=f(x)所解得所解得 也是一个函也是一个函数（即对任意一个数（即对任意一个 ，都有唯一的，都有唯一的 与之对应），那么就称函数与之对应），那么就称函数 是函是函数数y=f(x)的反函数，记作：的反函数，记作： 。习惯上，。习惯上，用用x表示自变量，表示自变量，y表示函数，因此的反函数表示函数，因此的反函数 通常改写成：通常改写成： 二二 反函数的概念反函数的概念 注注.y=f(x)的定义域、值域分别是反函数的定义域、值域分别是反函数 的值域、定义域的值域、定义域例例3 求下列函数的反函数求下列函数的反函数 （2）y=log2（4x） (x4) （1）y=0.2x+1 对数函数与指数函数的图象对数函数与指数函数的图象由于对数函数由于对数函数 与指数函数与指数函数 互为反函数，互为反函数， 所以所以 的图象与的图象与 的图象关于直线的图象关于直线 对称。对称。 小结：小结：1.指数函数与对数函数的关系.2.反函数的定义和图象的特点.2.已知 是R上的奇 函数,(1)求a的值;(2)求f(x)的反函数;练习：练习：1.