二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 第三节不定积分一、定积分的换元法一、定积分的换元法 换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法和 分部积分法 第五五章 例例 计算解解: (1)公式:则 原式 =且(2)换元:(3)几何意义:P246-1一、定积分的换元法一、定积分的换元法 定理定理1 1. . 设函数设函数单值函数单值函数满足满足: :1)1)2) 2) 在在上上证证: : 所证等式两边被积函数都连续所证等式两边被积函数都连续, , 因此积分都存在因此积分都存在 , ,且它们的原函数也存在且它们的原函数也存在 . .是是的原函数的原函数 , , 因此有因此有则则则则说明: :1) 当 , 即区间换为定理 1 仍成立 .2) 必需注意换元必换限换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .3) 换元公式也可反过来使用 , 即或配元配元不换限例例1 1 计算计算解解令令原式原式例例2 2 计算计算解解令令或或P246-2例例3 3 计算计算解解P246-3例例4 4 计算计算解解原式原式或换元或换元:原式原式证证P247-5奇函数奇函数例例6 6 计算计算解解原式原式偶函数偶函数单位圆的面积单位圆的面积证证（1）设）设 P248-6（2）设）设由此计算由此计算:证证例例8 8 证明若函数证明若函数 f(x) 是周期为是周期为T 的连续函数，则的连续函数，则证证P248-7定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导二、定积分的分部积分法例例9 9 计算计算解解例例1010 计算计算解解例例1111 设设 求求解解例例1212 证明定积分公式证明定积分公式为正偶数为正偶数为大于为大于1 1的正奇数的正奇数证证P252-12积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式直到下标减到直到下标减到0或或1为止为止于是于是为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数例例1313 计算计算例例1414 计算计算解解是周期为是周期为 的函数的函数偶偶偶偶奇奇3. 几个公式几个公式1. 定积分的换元法定积分的换元法小 结 “换元要换限换元要换限”2. 定定积分的分部积分公式积分的分部积分公式为正偶数为正偶数为大于为大于1 1的正奇数的正奇数解解 令令思考与练习思考与练习1.提示提示: 令则思考题解答思考题解答计算中第二步是错误的计算中第二步是错误的.正确解法是正确解法是3. 设解法解法1解法解法2 对已知等式两边求导,思考思考: 若改题为提示提示: 两边求导, 得得解解