第第 八八 章章习习 题题 课课一、一、 多元函数基本概念多元函数基本概念 二、多元函数微分法二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用三、多元函数微分法的应用 主要内容主要内容1. 多元函数概念多元函数概念3.多元函数的连续性多元函数的连续性一、多元函数的基本概念一、多元函数的基本概念2. 多元函数的极限多元函数的极限 判断二重极限不存在的方法判断二重极限不存在的方法1) 函数函数2) 闭域上的多元连续函数的性质闭域上的多元连续函数的性质:有界定理有界定理 ;最值定理最值定理 ; 介值定理介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续一切多元初等函数在定义区域内连续 求极限的方法求极限的方法1. 偏导数的定义、几何意义及计算偏导数的定义、几何意义及计算3.复合函数求导的链式法则（分析复合结构）复合函数求导的链式法则（分析复合结构）二、多元函数的微分法二、多元函数的微分法2. 全微分的定义与计算全微分的定义与计算， 函数连续、可导与可微之间的关系函数连续、可导与可微之间的关系（链接）（链接）4.隐函数求导方法（方程隐函数求导方法（方程和和方程组方程组确定的隐函数求导确定的隐函数求导）方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算利用复合函数求导法则直接计算 ;方法方法2. 利用全微分形式不变性利用全微分形式不变性 ;方法方法3. 代公式代公式高阶偏导数高阶偏导数复合函数求高阶导数复合函数求高阶导数多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系（链接）（链接）函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续1.在几何中的应用在几何中的应用求曲线在切线及法平面求曲线在切线及法平面 (关键关键: 抓住切向量抓住切向量) 求曲面的切平面及法线求曲面的切平面及法线 (关键关键: 抓住法向量抓住法向量) 3. 极值与最值问题极值与最值问题 非条件非条件极值的求法极值的求法条件极值的求法条件极值的求法 (消元法消元法, 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法) 三、多元函数微分法的应用三、多元函数微分法的应用2. 方向导数方向导数梯度梯度求出求出 的表达式的表达式. 解解 令令即即则则且且例例1. 已知已知例例2 求下列二重极限：求下列二重极限：解：解：法二法二: 令令极限不存在极限不存在解解(1)(2)例例4 判断函数判断函数(3)不可微不可微例例5 5解解于是可得于是可得,有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数, 且且求求解解:例例7解解:解：解：利用拉格朗日乘数法可知利用拉格朗日乘数法可知比较得比较得已知平面上两定点已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ), 试在椭圆试在椭圆圆周上求一点圆周上求一点 C, 使使ABC 面积面积 S最大最大.解答提示解答提示: 设设 C 点坐标为点坐标为 (x , y),则则 例例11设拉格朗日函数设拉格朗日函数解方程组解方程组得驻点得驻点对应最大面积对应最大面积而而比较可知比较可知, 点点 C 与与 E 重合时重合时, 三角三角形形面积最大面积最大.（唯一驻点）（唯一驻点）练习题练习题1. 设函数 f 二阶连续可微, 求下列函数的二阶偏导数解答提示解答提示:第 1 题上求一点 , 使该点处的法线垂直于练习题：练习题：2. 在曲面并写出该法线方程 .提示提示: 设所求点为则法线方程为利用得平面法线垂直于平面点在曲面上