第第2章章 一元函数微分学及其应用一元函数微分学及其应用第第1节节 导数的概念导数的概念第第2节节 求导基本法则求导基本法则第第3节节 微分微分第第4节节 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用第第5节节 Taylor定理及其应用定理及其应用第第6节节 函数性态的研究函数性态的研究2008年11月12日1南京航空航天大学 理学院 数学系 第第4节节 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用1. 函数的极值函数的极值2. Fermat定理定理3. Rolle定理定理4. Lagrange定理定理5. Cauchy定理定理2008年11月12日2南京航空航天大学 理学院 数学系定义定义1 1类似定义极小值类似定义极小值, 极小值点极小值点. 极值和最值的区别极值和最值的区别(1)(1)极值为局部性质极值为局部性质, ,最值为整体性质最值为整体性质; ;1 1 函数的极值函数的极值2008年11月12日3南京航空航天大学 理学院 数学系2.Fermat2.Fermat定理定理( (费马费马) )Fermat定理的几何意义定理的几何意义2008年11月12日4南京航空航天大学 理学院 数学系注意：注意： 1 . Fermat定理的逆不一定成立。定理的逆不一定成立。例如例如,2008年11月12日5南京航空航天大学 理学院 数学系3. 3. 罗尔罗尔(Rolle)(Rolle)中值定理中值定理2008年11月12日6南京航空航天大学 理学院 数学系证明证明2008年11月12日7南京航空航天大学 理学院 数学系几何解释几何解释: :2008年11月12日8南京航空航天大学 理学院 数学系注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其结论可能不成立结论可能不成立.例如例如,2008年11月12日9南京航空航天大学 理学院 数学系例例1 1证明证明2008年11月12日10南京航空航天大学 理学院 数学系例例2 2证明证明思路：构造辅助函数思路：构造辅助函数2008年11月12日11南京航空航天大学 理学院 数学系EX.思路：构造辅助函数思路：构造辅助函数2008年11月12日13南京航空航天大学 理学院 数学系4 4 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定理中值定理2008年11月12日14南京航空航天大学 理学院 数学系几何解释几何解释:2008年11月12日15南京航空航天大学 理学院 数学系分析分析弦弦AB方程为方程为2008年11月12日16南京航空航天大学 理学院 数学系证明证明 (几何角度几何角度)2008年11月12日17南京航空航天大学 理学院 数学系 注注1.1.罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形情形. .注注2: Lagrange2: Lagrange中值定理的几种形式中值定理的几种形式2008年11月12日19南京航空航天大学 理学院 数学系推论推论1 1证明证明推论推论2 22008年11月12日20南京航空航天大学 理学院 数学系推论推论3 (导数极限定理导数极限定理)应用：利用导函数的极限来求区间端点或分段点的左右导数！应用：利用导函数的极限来求区间端点或分段点的左右导数！2008年11月12日21南京航空航天大学 理学院 数学系例例4 4证证2008年11月12日22南京航空航天大学 理学院 数学系例例5 (5 (证明不等式证明不等式) )证证由上式得由上式得2008年11月12日23南京航空航天大学 理学院 数学系例例6 6证明证明推论推论2008年11月12日24南京航空航天大学 理学院 数学系5 5 柯西中值定理柯西中值定理2008年11月12日25南京航空航天大学 理学院 数学系几何解释几何解释:证证 (几何角度几何角度)作辅助函数作辅助函数2008年11月12日26南京航空航天大学 理学院 数学系特别特别,Lagrange中值公式中值公式2008年11月12日27南京航空航天大学 理学院 数学系证证 (代数角度代数角度)2008年11月12日28南京航空航天大学 理学院 数学系例例7 7分析：结论可变形为分析：结论可变形为2008年11月12日29南京航空航天大学 理学院 数学系小结小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.2008年11月12日30南京航空航天大学 理学院 数学系1 1证证由介值定理由介值定理即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.矛盾矛盾,2008年11月12日31南京航空航天大学 理学院 数学系2 设设f(x)在在a, b上可微，且上可微，且ab0，求证：，求证：(ab)证明证明 令令 a, b同号，故同号，故x=0不在不在(a, b)内内;(x),g(x)在在(a, b)内可微。内可微。由柯西中值定理由柯西中值定理2008年11月12日32南京航空航天大学 理学院 数学系2008年11月12日33南京航空航天大学 理学院 数学系 第第4节节 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用1. 函数的极值函数的极值2. Fermat定理定理3. Rolle定理定理4. Lagrange定理定理5. Cauchy定理定理6 L6 L Hospital Hospital法则法则2008年11月12日34南京航空航天大学 理学院 数学系微分中值定理微分中值定理函数的性态函数的性态导数的性态导数的性态函数之商的极限函数之商的极限导数之商的极限导数之商的极限 转化转化( 或或 型型)本节研究本节研究:洛必达法则洛必达法则洛必达洛必达(1661 1704)2008年11月12日35南京航空航天大学 理学院 数学系6 6 洛必达洛必达L L Hospital Hospital法则法则2008年11月12日36南京航空航天大学 理学院 数学系定义定义例如例如,2008年11月12日37南京航空航天大学 理学院 数学系(或为或为 )定理定理 4. 5定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. .之一, 条件条件 2) 作相应的修改作相应的修改 , 定理定理 4.5 仍然成立仍然成立.2008年11月12日38南京航空航天大学 理学院 数学系证证定义辅助函数定义辅助函数则有则有2008年11月12日39南京航空航天大学 理学院 数学系(或为或为 )定理定理 4. 6(洛必达法则洛必达法则) 2008年11月12日40南京航空航天大学 理学院 数学系1)的情形的情形从而从而2008年11月12日41南京航空航天大学 理学院 数学系例例1.1.2008年11月12日43南京航空航天大学 理学院 数学系注意注意: : 各种方法综合使用各种方法综合使用( (提出常数因子提出常数因子, , 等价代换等价代换, ,变量替换变量替换) ) 可多次连续使用可多次连续使用例例2.2.2008年11月12日44南京航空航天大学 理学院 数学系例例3 3解解2008年11月12日45南京航空航天大学 理学院 数学系注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合使用，效果更好. .例例4 4解解特别是等价特别是等价无穷小替换无穷小替换2008年11月12日46南京航空航天大学 理学院 数学系关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型！的类型！通分通分转化转化取倒数取倒数转化转化取对数取对数转化转化2008年11月12日47南京航空航天大学 理学院 数学系例例5 5解解步骤步骤:2008年11月12日48南京航空航天大学 理学院 数学系例例6 6解解步骤步骤:2008年11月12日49南京航空航天大学 理学院 数学系步骤步骤:2008年11月12日50南京航空航天大学 理学院 数学系例例7 7解解例例8 8解解2008年11月12日51南京航空航天大学 理学院 数学系例例9 9解解2008年11月12日52南京航空航天大学 理学院 数学系再次强调再次强调(3) (3) 及时化简，及时化简， (4) (4) 多次使用多次使用. .2008年11月12日53南京航空航天大学 理学院 数学系例例1010解解极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。2008年11月12日54南京航空航天大学 理学院 数学系以以HeineHeine定理为媒介定理为媒介, ,计算数列极限计算数列极限. .例例11.11.解：解：2008年11月12日55南京航空航天大学 理学院 数学系例例1212解解2008年11月12日56南京航空航天大学 理学院 数学系2008年11月12日57南京航空航天大学 理学院 数学系三、小结洛必达法则洛必达法则2008年11月12日58南京航空航天大学 理学院 数学系思考题思考题2008年11月12日59南京航空航天大学 理学院 数学系思考题解答思考题解答不一定不一定例例显然显然极限不存在极限不存在但但极限存在极限存在2008年11月12日60南京航空航天大学 理学院 数学系