第四节第四节 几种特殊函数的积分几种特殊函数的积分一、有理函数的积分一、有理函数的积分二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分三、简单无理函数的积分三、简单无理函数的积分有理函数的定义：有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称为有理函数两个多项式的商表示的函数称为有理函数. .一、有理函数的积分一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是这有理函数是真分式真分式；这有理函数是这有理函数是假分式假分式；利用多项式除法利用多项式除法, , 假分式可以化成一个多项式和一个假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和真分式之和. .例如例如有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：特殊地：分解后为分解后为特殊地：特殊地：分解后为分解后为(2)(2)分母中若有因式分母中若有因式 则分解后为则分解后为，其中，其中真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法例例1 1代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数例例2 2例例3 3整理得整理得解解例例4解解例例5解解例例6说明说明将有理函数化为部分分式之和后，只出将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：现三类情况：多项式；多项式；讨论积分讨论积分则则记记这三类积分均可积出这三类积分均可积出, , 且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数. .结论结论 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数. .三角有理式的定义：三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分（万能置换公式）（万能置换公式）解解 由万能置换公式由万能置换公式例例7解法一解法一例例8解法二解法二 可以不用万能置换公式可以不用万能置换公式. .讨论类型讨论类型解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号. .解解 三、简单无理函数的积分三、简单无理函数的积分例例9解解 例例10